Theorem lcmdvds 16665

Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmdvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem lcmdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 23	. . . . . 6 ⊢ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)
2		breq1 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
3	2	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
4		oveq1 7417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (0 lcm 𝑁))
5		0z 12601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		lcmcom 16650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
7	5, 6	mpan 702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
8		lcm0val 16651	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
9	7, 8	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = 0)
10	4, 9	sylan9eqr 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
11	10	breq1d 5118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
12	3, 11	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
13	1, 12	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
14	13	3ad2antl3 1204	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
15	14	adantrd 496	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
16	15	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
17		breq1 5111	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
18	17	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
19		oveq2 7418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
20		lcm0val 16651	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
21	19, 20	sylan9eqr 2818	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
22	21	breq1d 5118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
23	18, 22	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
24	1, 23	mpbiri 261	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
25	24	3ad2antl2 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
26	25	adantld 495	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
27	26	ex 417	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
28		neanior 3049	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
29		lcmcl 16658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12615	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
31		dvds0 16328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
32	30, 31	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
33	32	a1d 26	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
34	33	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
35		breq2 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 𝑀 ∥ 0))
36		breq2 5112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 𝑁 ∥ 0))
37	35, 36	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) ↔ (𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0)))
38		breq2 5112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
39	37, 38	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 = 0 → (((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
40	39	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → (((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
41	34, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
42	41	adantrl 728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
43	42	adantllr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
44	43	adantlrr 733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
45	44	anassrs 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
46		nnabscl 15376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
47		nnabscl 15376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
48		nnabscl 15376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (abs‘𝐾) ∈ ℕ)
49		lcmgcdlem 16663	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = (abs‘((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁))) ∧ (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾))))
50	49	simprd 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
51	48, 50	sylani 615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
52	46, 47, 51	syl2an 607	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
53	52	expdimp 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
54		dvdsabsb 16332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝐾)))
55		zabscl 15363	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℤ)
56		absdvdsb 16331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
57	55, 56	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
58	54, 57	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
59	58	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
60		dvdsabsb 16332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 𝑁 ∥ (abs‘𝐾)))
61		absdvdsb 16331	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
62	55, 61	sylan2 604	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
63	60, 62	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
64	63	adantll 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
65	59, 64	anbi12d 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))))
66	65	bicomd 226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))
67		lcmabs 16662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
68	67	breq1d 5118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
69	68	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
70		dvdsabsb 16332	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
71	30, 70	sylan 591	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
72	69, 71	bitr4d 285	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
73	66, 72	imbi12d 347	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
74	73	adantrr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
75	74	adantllr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
76	75	adantlrr 733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
77	53, 76	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
78	77	anassrs 472	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≠ 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
79	45, 78	pm2.61dane 3043	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
80	79	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
81	80	an4s 672	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
82	28, 81	sylan2br 606	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
83	82	impancom 456	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
84	83	3impa 1125	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
85	84	3comr 1141	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
86	16, 27, 85	ecase3d 1048	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   class class class wbr 5108  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  0cc0 11099   · cmul 11104  ℕcn 12232  ℤcz 12590  abscabs 15284   ∥ cdvds 16309   gcd cgcd 16551   lcm clcm 16645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-exp 14097  df-cj 15149  df-re 15150  df-im 15151  df-sqrt 15285  df-abs 15286  df-dvds 16310  df-gcd 16552  df-lcm 16647

This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  16670  lcmftp  16693  lcmfunsnlem1  16694  lcmfunsnlem2lem1  16695  nzin  44976