MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmdvds 16570
Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmdvds ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))

Proof of Theorem lcmdvds
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)
2 breq1 5145 . . . . . . . 8 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
32adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
4 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (0 lcm ๐‘))
5 0z 12591 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
6 lcmcom 16555 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 lcm ๐‘) = (๐‘ lcm 0))
75, 6mpan 689 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = (๐‘ lcm 0))
8 lcm0val 16556 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ lcm 0) = 0)
97, 8eqtrd 2767 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = 0)
104, 9sylan9eqr 2789 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = 0)
1110breq1d 5152 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
123, 11imbi12d 344 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)))
131, 12mpbiri 258 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
14133ad2antl3 1185 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
1514adantrd 491 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
1615ex 412 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
17 breq1 5145 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
1817adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
19 oveq2 7422 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ lcm 0))
20 lcm0val 16556 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
2119, 20sylan9eqr 2789 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = 0)
2221breq1d 5152 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
2318, 22imbi12d 344 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)))
241, 23mpbiri 258 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
25243ad2antl2 1184 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
2625adantld 490 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
2726ex 412 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
28 neanior 3030 . . . . . 6 ((๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†” ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
29 lcmcl 16563 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3029nn0zd 12606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค)
31 dvds0 16240 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)
3332a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
3433adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
35 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐พ = 0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘€ โˆฅ 0))
36 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐พ = 0 โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘ โˆฅ 0))
3735, 36anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†” (๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0)))
38 breq2 5146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ = 0 โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
3937, 38imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ = 0 โ†’ (((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)))
4039adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ (((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)))
4134, 40mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4241adantrl 715 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4342adantllr 718 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4443adantlrr 720 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4544anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
46 nnabscl 15296 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
47 nnabscl 15296 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
48 nnabscl 15296 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
49 lcmgcdlem 16568 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) โˆง (((absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ))))
5049simprd 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5148, 50sylani 603 . . . . . . . . . . . . 13 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5246, 47, 51syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5352expdimp 452 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
54 dvdsabsb 16244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
55 zabscl 15284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
56 absdvdsb 16243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5755, 56sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5854, 57bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5958adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
60 dvdsabsb 16244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
61 absdvdsb 16243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6255, 61sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6360, 62bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6463adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6559, 64anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†” ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))))
6665bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ)))
67 lcmabs 16567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
6867breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
70 dvdsabsb 16244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
7130, 70sylan 579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
7269, 71bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
7366, 72imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7473adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7574adantllr 718 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7675adantlrr 720 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7753, 76mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
7877anassrs 467 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โ‰  0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
7945, 78pm2.61dane 3024 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
8079ex 412 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
8180an4s 659 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
8228, 81sylan2br 594 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
8382impancom 451 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
84833impa 1108 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
85843comr 1123 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
8616, 27, 85ecase3d 1032 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099   โ‰  wne 2935   class class class wbr 5142  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  0cc0 11130   ยท cmul 11135  โ„•cn 12234  โ„คcz 12580  abscabs 15205   โˆฅ cdvds 16222   gcd cgcd 16460   lcm clcm 16550
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9457  df-inf 9458  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-dvds 16223  df-gcd 16461  df-lcm 16552
This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  16575  lcmftp  16598  lcmfunsnlem1  16599  lcmfunsnlem2lem1  16600  nzin  43678
  Copyright terms: Public domain W3C validator