Theorem lcmdvds 16578

Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
lcmdvds	⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))

Proof of Theorem lcmdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		id 22	. . . . . 6 ⊢ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)
2		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
3	2	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
4		oveq1 7424	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (0 lcm 𝑁))
5		0z 12599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 ∈ ℤ
6		lcmcom 16563	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
7	5, 6	mpan 688	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = (𝑁 lcm 0))
8		lcm0val 16564	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 lcm 0) = 0)
9	7, 8	eqtrd 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 lcm 𝑁) = 0)
10	4, 9	sylan9eqr 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
11	10	breq1d 5158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
12	3, 11	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
13	1, 12	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
14	13	3ad2antl3 1184	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
15	14	adantrd 490	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
16	15	ex 411	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
17		breq1 5151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
18	17	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
19		oveq2 7425	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑀 lcm 𝑁) = (𝑀 lcm 0))
20		lcm0val 16564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 lcm 0) = 0)
21	19, 20	sylan9eqr 2787	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑀 lcm 𝑁) = 0)
22	21	breq1d 5158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ 0 ∥ 𝐾))
23	18, 22	imbi12d 343	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ (0 ∥ 𝐾 → 0 ∥ 𝐾)))
24	1, 23	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
25	24	3ad2antl2 1183	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → (𝑁 ∥ 𝐾 → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
26	25	adantld 489	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
27	26	ex 411	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
28		neanior 3025	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0) ↔ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0))
29		lcmcl 16571	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℕ0)
30	29	nn0zd 12614	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ)
31		dvds0 16248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)
33	32	a1d 25	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
34	33	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
35		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 𝑀 ∥ 0))
36		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 = 0 → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 𝑁 ∥ 0))
37	35, 36	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) ↔ (𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0)))
38		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 = 0 → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0))
39	37, 38	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 = 0 → (((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
40	39	adantl 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → (((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾) ↔ ((𝑀 ∥ 0 ∧ 𝑁 ∥ 0) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 0)))
41	34, 40	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
42	41	adantrl 714	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
43	42	adantllr 717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
44	43	adantlrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 = 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
45	44	anassrs 466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
46		nnabscl 15304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
47		nnabscl 15304	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
48		nnabscl 15304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) → (abs‘𝐾) ∈ ℕ)
49		lcmgcdlem 16576	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) · ((abs‘𝑀) gcd (abs‘𝑁))) = (abs‘((abs‘𝑀) · (abs‘𝑁))) ∧ (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾))))
50	49	simprd 494	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((abs‘𝐾) ∈ ℕ ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
51	48, 50	sylani 602	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
52	46, 47, 51	syl2an 594	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0) ∧ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
53	52	expdimp 451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)))
54		dvdsabsb 16252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝐾)))
55		zabscl 15292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (abs‘𝐾) ∈ ℤ)
56		absdvdsb 16251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
57	55, 56	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
58	54, 57	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
59	58	adantlr 713	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾)))
60		dvdsabsb 16252	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ 𝑁 ∥ (abs‘𝐾)))
61		absdvdsb 16251	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ (abs‘𝐾) ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
62	55, 61	sylan2 591	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ (abs‘𝐾) ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
63	60, 62	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
64	63	adantll 712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ 𝐾 ↔ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
65	59, 64	anbi12d 630	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾))))
66	65	bicomd 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ (𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾)))
67		lcmabs 16575	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) = (𝑀 lcm 𝑁))
68	67	breq1d 5158	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
69	68	adantr 479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
70		dvdsabsb 16252	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑀 lcm 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
71	30, 70	sylan 578	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾 ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ (abs‘𝐾)))
72	69, 71	bitr4d 281	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾) ↔ (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
73	66, 72	imbi12d 343	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
74	73	adantrr 715	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
75	74	adantllr 717	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
76	75	adantlrr 719	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝐾) ∧ (abs‘𝑁) ∥ (abs‘𝐾)) → ((abs‘𝑀) lcm (abs‘𝑁)) ∥ (abs‘𝐾)) ↔ ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
77	53, 76	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
78	77	anassrs 466	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ≠ 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
79	45, 78	pm2.61dane 3019	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))
80	79	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
81	80	an4s 658	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
82	28, 81	sylan2br 593	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
83	82	impancom 450	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
84	83	3impa 1107	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
85	84	3comr 1122	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (¬ (𝑀 = 0 ∨ 𝑁 = 0) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾)))
86	16, 27, 85	ecase3d 1031	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀 ∥ 𝐾 ∧ 𝑁 ∥ 𝐾) → (𝑀 lcm 𝑁) ∥ 𝐾))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930   class class class wbr 5148  ‘cfv 6547  (class class class)co 7417  0cc0 11138   · cmul 11143  ℕcn 12242  ℤcz 12588  abscabs 15213   ∥ cdvds 16230   gcd cgcd 16468   lcm clcm 16558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-dvds 16231  df-gcd 16469  df-lcm 16560

This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  16583  lcmftp  16606  lcmfunsnlem1  16607  lcmfunsnlem2lem1  16608  nzin  43820