MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcmdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmdvds 16549
Description: The lcm of two integers divides any integer the two divide. (Contributed by Steve Rodriguez, 20-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lcmdvds ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))

Proof of Theorem lcmdvds
StepHypRef Expression
1 id 22 . . . . . 6 (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)
2 breq1 5151 . . . . . . . 8 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
32adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
4 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (๐‘€ = 0 โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (0 lcm ๐‘))
5 0z 12573 . . . . . . . . . . 11 0 โˆˆ โ„ค
6 lcmcom 16534 . . . . . . . . . . 11 ((0 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (0 lcm ๐‘) = (๐‘ lcm 0))
75, 6mpan 688 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = (๐‘ lcm 0))
8 lcm0val 16535 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ lcm 0) = 0)
97, 8eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 lcm ๐‘) = 0)
104, 9sylan9eqr 2794 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = 0)
1110breq1d 5158 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
123, 11imbi12d 344 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)))
131, 12mpbiri 257 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
14133ad2antl3 1187 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
1514adantrd 492 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘€ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
1615ex 413 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
17 breq1 5151 . . . . . . . 8 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
1817adantl 482 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
19 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = (๐‘€ lcm 0))
20 lcm0val 16535 . . . . . . . . 9 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm 0) = 0)
2119, 20sylan9eqr 2794 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) = 0)
2221breq1d 5158 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” 0 โˆฅ ๐พ))
2318, 22imbi12d 344 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” (0 โˆฅ ๐พ โ†’ 0 โˆฅ ๐พ)))
241, 23mpbiri 257 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
25243ad2antl2 1186 . . . 4 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
2625adantld 491 . . 3 (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
2726ex 413 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
28 neanior 3035 . . . . . 6 ((๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†” ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0))
29 lcmcl 16542 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„•0)
3029nn0zd 12588 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค)
31 dvds0 16219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)
3332a1d 25 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
3433adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
35 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐พ = 0 โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘€ โˆฅ 0))
36 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐พ = 0 โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘ โˆฅ 0))
3735, 36anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ = 0 โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†” (๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0)))
38 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐พ = 0 โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0))
3937, 38imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐พ = 0 โ†’ (((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)))
4039adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ (((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ) โ†” ((๐‘€ โˆฅ 0 โˆง ๐‘ โˆฅ 0) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ 0)))
4134, 40mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4241adantrl 714 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4342adantllr 717 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4443adantlrr 719 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ = 0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
4544anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
46 nnabscl 15276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„•)
47 nnabscl 15276 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
48 nnabscl 15276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โ†’ (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„•)
49 lcmgcdlem 16547 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) ยท ((absโ€˜๐‘€) gcd (absโ€˜๐‘))) = (absโ€˜((absโ€˜๐‘€) ยท (absโ€˜๐‘))) โˆง (((absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ))))
5049simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„• โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5148, 50sylani 604 . . . . . . . . . . . . 13 (((absโ€˜๐‘€) โˆˆ โ„• โˆง (absโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5246, 47, 51syl2an 596 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0) โˆง ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5352expdimp 453 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
54 dvdsabsb 16223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
55 zabscl 15264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค)
56 absdvdsb 16222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5755, 56sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5854, 57bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
5958adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘€ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
60 dvdsabsb 16223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” ๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
61 absdvdsb 16222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง (absโ€˜๐พ) โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6255, 61sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6360, 62bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6463adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐พ โ†” (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6559, 64anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†” ((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ))))
6665bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” (๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ)))
67 lcmabs 16546 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) = (๐‘€ lcm ๐‘))
6867breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
6968adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
70 dvdsabsb 16223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘€ lcm ๐‘) โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
7130, 70sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)))
7269, 71bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โ†” (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
7366, 72imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7473adantrr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7574adantllr 717 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7675adantlrr 719 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((((absโ€˜๐‘€) โˆฅ (absโ€˜๐พ) โˆง (absโ€˜๐‘) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†’ ((absโ€˜๐‘€) lcm (absโ€˜๐‘)) โˆฅ (absโ€˜๐พ)) โ†” ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
7753, 76mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง (๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
7877anassrs 468 . . . . . . . . 9 (((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โ‰  0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
7945, 78pm2.61dane 3029 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
8079ex 413 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โ‰  0) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
8180an4s 658 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘€ โ‰  0 โˆง ๐‘ โ‰  0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
8228, 81sylan2br 595 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0)) โ†’ (๐พ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
8382impancom 452 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
84833impa 1110 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐พ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
85843comr 1125 . 2 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (ยฌ (๐‘€ = 0 โˆจ ๐‘ = 0) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ)))
8616, 27, 85ecase3d 1032 1 ((๐พ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘€ โˆฅ ๐พ โˆง ๐‘ โˆฅ ๐พ) โ†’ (๐‘€ lcm ๐‘) โˆฅ ๐พ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112   ยท cmul 11117  โ„•cn 12216  โ„คcz 12562  abscabs 15185   โˆฅ cdvds 16201   gcd cgcd 16439   lcm clcm 16529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-lcm 16531
This theorem is referenced by:  lcmdvdsb  16554  lcmftp  16577  lcmfunsnlem1  16578  lcmfunsnlem2lem1  16579  nzin  43379
  Copyright terms: Public domain W3C validator