Theorem mulscld 28526

Description: The surreals are closed under multiplication. Theorem 8(i) of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
mulscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
mulscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No)

Proof of Theorem mulscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		mulscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3		mulscl 28525	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  Nocsur 28002   ·_s cmuls 28497

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-1o 8479  df-2o 8480  df-nadd 8678  df-no 28005  df-lts 28006  df-bday 28007  df-les 28107  df-slts 28149  df-cuts 28151  df-0s 28198  df-made 28218  df-old 28219  df-left 28221  df-right 28222  df-norec 28329  df-norec2 28340  df-adds 28351  df-negs 28412  df-subs 28413  df-muls 28498

This theorem is used by:  lemulsd  28529  mulscom  28530  mulsge0d  28537  sltmuls1  28538  sltmuls2  28539  mulsuniflem  28540  addsdilem3  28544  addsdilem4  28545  subsdid  28549  mulnegs1d  28551  mul2negsd  28553  mulsasslem3  28556  muls4d  28559  mulsunif2lem  28560  ltmuls2  28562  lemuls2d  28565  lemuls1d  28566  ltmulnegs1d  28567  mulscan2dlem  28569  mulscan2d  28570  ltmuls12ad  28574  norecdiv  28581  divsasswd  28594  precsexlem8  28605  precsexlem9  28606  precsexlem10  28607  precsexlem11  28608  divmuldivsd  28623  divdivs1d  28624  divsrecd  28625  divscan3d  28627  onmulscl  28669  eucliddivs  28767  n0seo  28812  zseo  28813  pw2recs  28829  pw2divscan3d  28832  pw2divscan4d  28835  pw2divsrecd  28838  halfcut  28849  addhalfcut  28850  bdaypw2n0bndlem  28854  bdayfinbndlem1  28858  z12bdaylem1  28861  z12bdaylem2  28862  z12addscl  28868  z12zsodd  28873  z12sge0  28874