Theorem mulscld 28408

Description: The surreals are closed under multiplication. Theorem 8(i) of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
mulscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem mulscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		mulscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		mulscl 28407	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417   No csur 27884   ·_s cmuls 28379

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-1o 8459  df-2o 8460  df-nadd 8658  df-no 27887  df-lts 27888  df-bday 27889  df-les 27989  df-slts 28031  df-cuts 28033  df-0s 28080  df-made 28100  df-old 28101  df-left 28103  df-right 28104  df-norec 28211  df-norec2 28222  df-adds 28233  df-negs 28294  df-subs 28295  df-muls 28380

This theorem is used by:  lemulsd  28411  mulscom  28412  mulsge0d  28419  sltmuls1  28420  sltmuls2  28421  mulsuniflem  28422  addsdilem3  28426  addsdilem4  28427  subsdid  28431  mulnegs1d  28433  mul2negsd  28435  mulsasslem3  28438  muls4d  28441  mulsunif2lem  28442  ltmuls2  28444  lemuls2d  28447  lemuls1d  28448  ltmulnegs1d  28449  mulscan2dlem  28451  mulscan2d  28452  ltmuls12ad  28456  norecdiv  28463  divsasswd  28476  precsexlem8  28487  precsexlem9  28488  precsexlem10  28489  precsexlem11  28490  divmuldivsd  28505  divdivs1d  28506  divsrecd  28507  divscan3d  28509  onmulscl  28551  eucliddivs  28649  n0seo  28694  zseo  28695  pw2recs  28711  pw2divscan3d  28714  pw2divscan4d  28717  pw2divsrecd  28720  halfcut  28731  addhalfcut  28732  bdaypw2n0bndlem  28736  bdayfinbndlem1  28740  z12bdaylem1  28743  z12bdaylem2  28744  z12addscl  28750  z12zsodd  28755  z12sge0  28756