Theorem mulscld 28075

Description: The surreals are closed under multiplication. Theorem 8(i) of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
mulscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem mulscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		mulscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		mulscl 28074	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352   No csur 27579   ·_s cmuls 28046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-ot 4584  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-1o 8391  df-2o 8392  df-nadd 8587  df-no 27582  df-slt 27583  df-bday 27584  df-sle 27685  df-sslt 27722  df-scut 27724  df-0s 27769  df-made 27789  df-old 27790  df-left 27792  df-right 27793  df-norec 27882  df-norec2 27893  df-adds 27904  df-negs 27964  df-subs 27965  df-muls 28047

This theorem is referenced by:  slemuld  28078  mulscom  28079  mulsge0d  28086  ssltmul1  28087  ssltmul2  28088  mulsuniflem  28089  addsdilem3  28093  addsdilem4  28094  subsdid  28098  mulnegs1d  28100  mul2negsd  28102  mulsasslem3  28105  muls4d  28108  mulsunif2lem  28109  sltmul2  28111  slemul2d  28114  slemul1d  28115  sltmulneg1d  28116  mulscan2dlem  28118  mulscan2d  28119  sltmul12ad  28123  norecdiv  28130  divsasswd  28143  precsexlem8  28153  precsexlem9  28154  precsexlem10  28155  precsexlem11  28156  divmuldivsd  28171  divdivs1d  28172  divsrecd  28173  divscan3d  28175  onmulscl  28212  eucliddivs  28302  n0seo  28345  zseo  28346  pw2recs  28362  pw2divscan3d  28365  pw2divscan4d  28368  pw2divsrecd  28371  halfcut  28379  addhalfcut  28380  zs12addscl  28388  zs12zodd  28393  zs12ge0  28394  zs12bday  28395