Theorem mulscld 28038

Description: The surreals are closed under multiplication. Theorem 8(i) of [Conway] p. 19. (Contributed by Scott Fenton, 6-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
mulscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
mulscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem mulscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		mulscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		mulscl 28037	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387   No csur 27551   ·_s cmuls 28009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-ot 4598  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-1o 8434  df-2o 8435  df-nadd 8630  df-no 27554  df-slt 27555  df-bday 27556  df-sle 27657  df-sslt 27693  df-scut 27695  df-0s 27736  df-made 27755  df-old 27756  df-left 27758  df-right 27759  df-norec 27845  df-norec2 27856  df-adds 27867  df-negs 27927  df-subs 27928  df-muls 28010

This theorem is referenced by:  slemuld  28041  mulscom  28042  mulsge0d  28049  ssltmul1  28050  ssltmul2  28051  mulsuniflem  28052  addsdilem3  28056  addsdilem4  28057  subsdid  28061  mulnegs1d  28063  mul2negsd  28065  mulsasslem3  28068  muls4d  28071  mulsunif2lem  28072  sltmul2  28074  slemul2d  28077  slemul1d  28078  sltmulneg1d  28079  mulscan2dlem  28081  mulscan2d  28082  sltmul12ad  28086  norecdiv  28093  divsasswd  28106  precsexlem8  28116  precsexlem9  28117  precsexlem10  28118  precsexlem11  28119  divmuldivsd  28134  divdivs1d  28135  divsrecd  28136  divscan3d  28138  onmulscl  28175  eucliddivs  28265  n0seo  28307  zseo  28308  pw2recs  28323  pw2divscan3d  28326  pw2divsrecd  28330  halfcut  28333  addhalfcut  28334  zs12ge0  28342  zs12bday  28343