Theorem pw2ge0divsd 28751

Description: Divison of a non-negative surreal by a power of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2gt0divsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2gt0divsd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2ge0divsd	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐴 ↔ 0s ≤s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2ge0divsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 28114	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
3		pw2gt0divsd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		pw2gt0divsd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5	3, 4	pw2divscld 28744	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
6		2no 28724	. . . 4 ⊢ 2s ∈ No
7		expscl 28736	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8	6, 4, 7	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
9		2nns 28723	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ ℕs
10		nnsgt0 28644	. . . . . 6 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0s <s 2s
12		expsgt0 28742	. . . . 5 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑁))
13	6, 11, 12	mp3an13 1481	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑁))
14	4, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s (2s↑s𝑁))
15	2, 5, 8, 14	lemuls2d 28479	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) ≤s ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
16		muls01 28417	. . . 4 ⊢ ((2s↑s𝑁) ∈ No → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
17	8, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
18	3, 4	pw2divscan2d 28747	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐴)
19	17, 18	breq12d 5116	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s 0s ) ≤s ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) ↔ 0s ≤s 𝐴))
20	15, 19	bitr2d 283	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐴 ↔ 0s ≤s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7409   No csur 27916   <s clts 27917   ≤s cles 28020   0_s c0s 28110   ·_s cmuls 28411   /_su cdivs 28492  ℕ_0scn0s 28617  ℕ_scnns 28618  2_sc2s 28715  ↑_scexps 28717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-nadd 8654  df-no 27919  df-lts 27920  df-bday 27921  df-les 28021  df-slts 28063  df-cuts 28065  df-0s 28112  df-1s 28113  df-made 28132  df-old 28133  df-left 28135  df-right 28136  df-norec 28243  df-norec2 28254  df-adds 28265  df-negs 28326  df-subs 28327  df-muls 28412  df-divs 28493  df-seqs 28589  df-n0s 28619  df-nns 28620  df-zs 28684  df-2s 28716  df-exps 28718

This theorem is used by:  bdayfinbndlem1  28772  z12sge0  28788