Theorem pw2ge0divsd 28459

Description: Divison of a non-negative surreal by a power of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2gt0divsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2gt0divsd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2ge0divsd	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐴 ↔ 0s ≤s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2ge0divsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 27822	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
3		pw2gt0divsd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		pw2gt0divsd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5	3, 4	pw2divscld 28452	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
6		2no 28432	. . . 4 ⊢ 2s ∈ No
7		expscl 28444	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8	6, 4, 7	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
9		2nns 28431	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ ℕs
10		nnsgt0 28352	. . . . . 6 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0s <s 2s
12		expsgt0 28450	. . . . 5 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑁))
13	6, 11, 12	mp3an13 1455	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑁))
14	4, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s (2s↑s𝑁))
15	2, 5, 8, 14	lemuls2d 28187	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) ≤s ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
16		muls01 28125	. . . 4 ⊢ ((2s↑s𝑁) ∈ No → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
17	8, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
18	3, 4	pw2divscan2d 28455	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐴)
19	17, 18	breq12d 5113	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s 0s ) ≤s ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) ↔ 0s ≤s 𝐴))
20	15, 19	bitr2d 280	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐴 ↔ 0s ≤s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  (class class class)co 7370   No csur 27624   <s clts 27625   ≤s cles 27729   0_s c0s 27818   ·_s cmuls 28119   /_su cdivs 28200  ℕ_0scn0s 28325  ℕ_scnns 28326  2_sc2s 28423  ↑_scexps 28425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-ot 4591  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-oadd 8413  df-nadd 8606  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-les 27730  df-slts 27771  df-cuts 27773  df-0s 27820  df-1s 27821  df-made 27840  df-old 27841  df-left 27843  df-right 27844  df-norec 27951  df-norec2 27962  df-adds 27973  df-negs 28034  df-subs 28035  df-muls 28120  df-divs 28201  df-seqs 28297  df-n0s 28327  df-nns 28328  df-zs 28392  df-2s 28424  df-exps 28426

This theorem is referenced by:  bdayfinbndlem1  28480  z12sge0  28496