Theorem pw2ge0divsd 28709

Description: Divison of a non-negative surreal by a power of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2gt0divsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2gt0divsd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2ge0divsd	⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐴 ↔ 0s ≤s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2ge0divsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 28072	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
3		pw2gt0divsd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		pw2gt0divsd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5	3, 4	pw2divscld 28702	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
6		2no 28682	. . . 4 ⊢ 2s ∈ No
7		expscl 28694	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8	6, 4, 7	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
9		2nns 28681	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ ℕs
10		nnsgt0 28602	. . . . . 6 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0s <s 2s
12		expsgt0 28700	. . . . 5 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑁))
13	6, 11, 12	mp3an13 1481	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑁))
14	4, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s (2s↑s𝑁))
15	2, 5, 8, 14	lemuls2d 28437	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) ≤s ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
16		muls01 28375	. . . 4 ⊢ ((2s↑s𝑁) ∈ No → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
17	8, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
18	3, 4	pw2divscan2d 28705	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐴)
19	17, 18	breq12d 5120	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s 0s ) ≤s ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) ↔ 0s ≤s 𝐴))
20	15, 19	bitr2d 283	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s ≤s 𝐴 ↔ 0s ≤s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5107  (class class class)co 7416   No csur 27874   <s clts 27875   ≤s cles 27978   0_s c0s 28068   ·_s cmuls 28369   /_su cdivs 28450  ℕ_0scn0s 28575  ℕ_scnns 28576  2_sc2s 28673  ↑_scexps 28675

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-nadd 8657  df-no 27877  df-lts 27878  df-bday 27879  df-les 27979  df-slts 28021  df-cuts 28023  df-0s 28070  df-1s 28071  df-made 28090  df-old 28091  df-left 28093  df-right 28094  df-norec 28201  df-norec2 28212  df-adds 28223  df-negs 28284  df-subs 28285  df-muls 28370  df-divs 28451  df-seqs 28547  df-n0s 28577  df-nns 28578  df-zs 28642  df-2s 28674  df-exps 28676

This theorem is used by:  bdayfinbndlem1  28730  z12sge0  28746