MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leaddsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leaddsub 11636
Description: 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
leaddsub ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))

Proof of Theorem leaddsub
StepHypRef Expression
1 ltsubadd 11630 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
213com13 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
3 resubcl 11470 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵) ∈ ℝ)
4 ltnle 11239 . . . . 5 (((𝐶𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
53, 4stoic3 1779 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
653com13 1125 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
7 readdcl 11139 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8 ltnle 11239 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
97, 8sylan2 594 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
1093impb 1116 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
11103coml 1128 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
122, 6, 113bitr3rd 310 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
1312con4bid 317 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶𝐴 ≤ (𝐶𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11055   + caddc 11059   < clt 11194  cle 11195  cmin 11390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393
This theorem is referenced by:  leaddsub2  11637  lesub  11639  lesub2  11655  subge0  11673  lesub3d  11778  div4p1lem1div2  12413  eluzp1m1  12794  eluzsub  12798  eluzsubiOLD  12802  fzen  13464  fznatpl1  13501  expmulnbnd  14144  hashdvds  16652  sylow1lem5  19389  gsumbagdiaglemOLD  21356  gsumbagdiaglem  21359  voliunlem2  24931  itg2split  25130  dvfsumlem3  25408  pilem2  25827  logimul  25985  emcllem2  26362  chtublem  26575  dchrisum0re  26877  pntlemg  26962  crctcshwlkn0  28808  logdivsqrle  33320  poimirlem7  36131  totbndbnd  36294  aks4d1p1p5  40578  aks4d1p1  40579  sticksstones10  40609  sticksstones12a  40611  sticksstones12  40612  metakunt16  40638  binomcxplemnn0  42717  fmtnodvds  45822  lighneallem4a  45886  nnolog2flm1  46762
  Copyright terms: Public domain W3C validator