Theorem leaddsub 11626

Description: 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
leaddsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))

Proof of Theorem leaddsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadd 11620	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
2	1	3com13 1125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) < 𝐴 ↔ 𝐶 < (𝐴 + 𝐵)))
3		resubcl 11458	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ)
4		ltnle 11225	. . . . 5 ⊢ (((𝐶 − 𝐵) ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
5	3, 4	stoic3 1778	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
6	5	3com13 1125	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 − 𝐵) < 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
7		readdcl 11121	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ)
8		ltnle 11225	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
9	7, 8	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
10	9	3impb 1115	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
11	10	3coml 1128	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 < (𝐴 + 𝐵) ↔ ¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶))
12	2, 6, 11	3bitr3rd 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ ¬ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))
13	12	con4bid 317	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 + 𝐵) ≤ 𝐶 ↔ 𝐴 ≤ (𝐶 − 𝐵)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037   + caddc 11041   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  leaddsub2  11627  lesub  11629  lesub2  11645  subge0  11663  lesub3d  11768  div4p1lem1div2  12432  eluzp1m1  12814  eluzsub  12818  fzen  13495  fznatpl1  13532  expmulnbnd  14197  hashdvds  16745  sylow1lem5  19577  gsumbagdiaglem  21910  voliunlem2  25518  itg2split  25716  dvfsumlem3  25995  pilem2  26417  logimul  26578  emcllem2  26960  chtublem  27174  dchrisum0re  27476  pntlemg  27561  crctcshwlkn0  29889  logdivsqrle  34794  poimirlem7  37948  totbndbnd  38110  aks4d1p1p5  42514  aks4d1p1  42515  primrootspoweq0  42545  sticksstones10  42594  sticksstones12a  42596  sticksstones12  42597  aks6d1c6lem3  42611  bcle2d  42618  binomcxplemnn0  44776  2timesltsqm1  47827  fmtnodvds  48007  lighneallem4a  48071  nnolog2flm1  49066