Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lhp2atne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lhp2atne 38710
Description: Inequality for joins with 2 different atoms under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
lhp2atnle.l = (le‘𝐾)
lhp2atnle.j = (join‘𝐾)
lhp2atnle.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2atnle.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lhp2atne ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑃 𝑈) ≠ (𝑄 𝑉))

Proof of Theorem lhp2atne
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 simp12 1204 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
3 simp3 1138 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑈𝑉)
4 simp2l 1199 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑈𝐴𝑈 𝑊))
5 simp2r 1200 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑉𝐴𝑉 𝑊))
6 lhp2atnle.l . . . 4 = (le‘𝐾)
7 lhp2atnle.j . . . 4 = (join‘𝐾)
8 lhp2atnle.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 lhp2atnle.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
106, 7, 8, 9lhp2atnle 38709 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
111, 2, 3, 4, 5, 10syl311anc 1384 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → ¬ 𝑉 (𝑃 𝑈))
12 simp11l 1284 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
13 simp13 1205 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑄𝐴)
14 simp2rl 1242 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑉𝐴)
156, 7, 8hlatlej2 38051 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑉𝐴) → 𝑉 (𝑄 𝑉))
1612, 13, 14, 15syl3anc 1371 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → 𝑉 (𝑄 𝑉))
1716adantr 481 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑃 𝑈) = (𝑄 𝑉)) → 𝑉 (𝑄 𝑉))
18 simpr 485 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑃 𝑈) = (𝑄 𝑉)) → (𝑃 𝑈) = (𝑄 𝑉))
1917, 18breqtrrd 5169 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) ∧ (𝑃 𝑈) = (𝑄 𝑉)) → 𝑉 (𝑃 𝑈))
2019ex 413 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → ((𝑃 𝑈) = (𝑄 𝑉) → 𝑉 (𝑃 𝑈)))
2120necon3bd 2953 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (¬ 𝑉 (𝑃 𝑈) → (𝑃 𝑈) ≠ (𝑄 𝑉)))
2211, 21mpd 15 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ 𝑄𝐴) ∧ ((𝑈𝐴𝑈 𝑊) ∧ (𝑉𝐴𝑉 𝑊)) ∧ 𝑈𝑉) → (𝑃 𝑈) ≠ (𝑄 𝑉))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2939   class class class wbr 5141  cfv 6532  (class class class)co 7393  lecple 17186  joincjn 18246  Atomscatm 37938  HLchlt 38025  LHypclh 38660
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37851  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026  df-psubsp 38179  df-pmap 38180  df-padd 38472  df-lhyp 38664
This theorem is referenced by:  cdlemg31b0N  39370  cdlemk47  39625
  Copyright terms: Public domain W3C validator