Theorem lhp2atne 38710

Description: Inequality for joins with 2 different atoms under co-atom 𝑊. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
lhp2atnle.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lhp2atnle.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
lhp2atnle.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
lhp2atnle.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lhp2atne	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑃 ∨ 𝑈) ≠ (𝑄 ∨ 𝑉))

Proof of Theorem lhp2atne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1203	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simp12 1204	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
3		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → 𝑈 ≠ 𝑉)
4		simp2l 1199	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊))
5		simp2r 1200	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊))
6		lhp2atnle.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
7		lhp2atnle.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
8		lhp2atnle.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		lhp2atnle.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10	6, 7, 8, 9	lhp2atnle 38709	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) → ¬ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
11	1, 2, 3, 4, 5, 10	syl311anc 1384	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → ¬ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
12		simp11l 1284	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → 𝐾 ∈ HL)
13		simp13 1205	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → 𝑄 ∈ 𝐴)
14		simp2rl 1242	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → 𝑉 ∈ 𝐴)
15	6, 7, 8	hlatlej2 38051	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ∈ 𝐴) → 𝑉 ≤ (𝑄 ∨ 𝑉))
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → 𝑉 ≤ (𝑄 ∨ 𝑉))
17	16	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) = (𝑄 ∨ 𝑉)) → 𝑉 ≤ (𝑄 ∨ 𝑉))
18		simpr 485	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) = (𝑄 ∨ 𝑉)) → (𝑃 ∨ 𝑈) = (𝑄 ∨ 𝑉))
19	17, 18	breqtrrd 5169	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) ∧ (𝑃 ∨ 𝑈) = (𝑄 ∨ 𝑉)) → 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈))
20	19	ex 413	. . 3 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → ((𝑃 ∨ 𝑈) = (𝑄 ∨ 𝑉) → 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈)))
21	20	necon3bd 2953	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (¬ 𝑉 ≤ (𝑃 ∨ 𝑈) → (𝑃 ∨ 𝑈) ≠ (𝑄 ∨ 𝑉)))
22	11, 21	mpd 15	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ ((𝑈 ∈ 𝐴 ∧ 𝑈 ≤ 𝑊) ∧ (𝑉 ∈ 𝐴 ∧ 𝑉 ≤ 𝑊)) ∧ 𝑈 ≠ 𝑉) → (𝑃 ∨ 𝑈) ≠ (𝑄 ∨ 𝑉))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939   class class class wbr 5141  ‘cfv 6532  (class class class)co 7393  lecple 17186  joincjn 18246  Atomscatm 37938  HLchlt 38025  LHypclh 38660

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7708

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6484  df-fun 6534  df-fn 6535  df-f 6536  df-f1 6537  df-fo 6538  df-f1o 6539  df-fv 6540  df-riota 7349  df-ov 7396  df-oprab 7397  df-mpo 7398  df-1st 7957  df-2nd 7958  df-proset 18230  df-poset 18248  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18367  df-clat 18434  df-oposet 37851  df-ol 37853  df-oml 37854  df-covers 37941  df-ats 37942  df-atl 37973  df-cvlat 37997  df-hlat 38026  df-psubsp 38179  df-pmap 38180  df-padd 38472  df-lhyp 38664

This theorem is referenced by:  cdlemg31b0N  39370  cdlemk47  39625