Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemk47 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemk47 40650
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. Line 2, p. 120. 𝐺, 𝐼 stand for g, h. 𝑋 represents tau. (Contributed by NM, 22-Jul-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk5.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemk5.l = (le‘𝐾)
cdlemk5.j = (join‘𝐾)
cdlemk5.m = (meet‘𝐾)
cdlemk5.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemk5.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemk5.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemk5.z 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
cdlemk5.y 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
cdlemk5.x 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
Assertion
Ref Expression
cdlemk47 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) = (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
Distinct variable groups:   ,𝑔   ,𝑔   𝐵,𝑔   𝑃,𝑔   𝑅,𝑔   𝑇,𝑔   𝑔,𝑍   𝑔,𝑏,𝐺,𝑧   ,𝑏,𝑧   ,𝑏   𝑧,𝑔,   ,𝑏,𝑧   𝐴,𝑏,𝑔,𝑧   𝐵,𝑏,𝑧   𝐹,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝐺   𝐻,𝑏,𝑔,𝑧   𝐾,𝑏,𝑔,𝑧   𝑁,𝑏,𝑔,𝑧   𝑃,𝑏,𝑧   𝑅,𝑏,𝑧   𝑇,𝑏,𝑧   𝑊,𝑏,𝑔,𝑧   𝑧,𝑌   𝐺,𝑏   𝐼,𝑏,𝑔,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑋(𝑧,𝑔,𝑏)   𝑌(𝑔,𝑏)   𝑍(𝑧,𝑏)

Proof of Theorem cdlemk47
StepHypRef Expression
1 simp11l 1281 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐾 ∈ HL)
2 simp11 1200 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3 simp12 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
4 simp13 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
5 simp21 1203 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝑁𝑇)
6 simp22 1204 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
7 simp23 1205 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))
8 cdlemk5.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
9 cdlemk5.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
10 cdlemk5.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
11 cdlemk5.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
12 cdlemk5.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 cdlemk5.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdlemk5.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
15 cdlemk5.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
16 cdlemk5.z . . . . . 6 𝑍 = ((𝑃 (𝑅𝑏)) ((𝑁𝑃) (𝑅‘(𝑏𝐹))))
17 cdlemk5.y . . . . . 6 𝑌 = ((𝑃 (𝑅𝑔)) (𝑍 (𝑅‘(𝑔𝑏))))
18 cdlemk5.x . . . . . 6 𝑋 = (𝑧𝑇𝑏𝑇 ((𝑏 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝐹) ∧ (𝑅𝑏) ≠ (𝑅𝑔)) → (𝑧𝑃) = 𝑌))
198, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemk35s 40638 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
202, 3, 4, 5, 6, 7, 19syl132anc 1385 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇)
219, 12, 13, 14ltrnel 39840 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺 / 𝑔𝑋𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) 𝑊))
222, 20, 6, 21syl3anc 1368 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) 𝑊))
2322simpld 493 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
24 simp31 1206 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐼𝑇)
25 simp32 1207 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵))
268, 12, 13, 14, 15trlnidat 39874 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐼) ∈ 𝐴)
272, 24, 25, 26syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐼) ∈ 𝐴)
2824, 25jca 510 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)))
298, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemk35s 40638 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
302, 3, 28, 5, 6, 7, 29syl132anc 1385 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇)
31 simp22l 1289 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝑃𝐴)
329, 12, 13, 14ltrnat 39841 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼 / 𝑔𝑋𝑇𝑃𝐴) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
332, 30, 31, 32syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
34 simp13l 1285 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺𝑇)
35 simp13r 1286 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → 𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))
368, 12, 13, 14, 15trlnidat 39874 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵)) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
372, 34, 35, 36syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐴)
3813, 14ltrnco 40420 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐼𝑇) → (𝐺𝐼) ∈ 𝑇)
392, 34, 24, 38syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) ∈ 𝑇)
4034, 24jca 510 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝑇𝐼𝑇))
41 simp33 1208 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))
428, 13, 14, 15trlconid 40426 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐼𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼)) → (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵))
432, 40, 41, 42syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵))
4439, 43jca 510 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺𝐼) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵)))
458, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemk35s 40638 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ ((𝐺𝐼) ∈ 𝑇 ∧ (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ 𝑁𝑇) ∧ ((𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑇)
462, 3, 44, 5, 6, 7, 45syl132anc 1385 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑇)
479, 12, 13, 14ltrnat 39841 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑇𝑃𝐴) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
482, 46, 31, 47syl3anc 1368 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴)
4924, 25, 433jca 1125 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵)))
508, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemk46 40649 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)))
5149, 50syld3an3 1406 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)))
528, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18cdlemk45 40648 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝐺𝐼) ≠ ( I ↾ 𝐵))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))
5349, 52syld3an3 1406 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))
549, 13, 14, 15trlle 39885 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐼𝑇) → (𝑅𝐼) 𝑊)
552, 24, 54syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐼) 𝑊)
5627, 55jca 510 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝑅𝐼) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐼) 𝑊))
579, 13, 14, 15trlle 39885 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) 𝑊)
582, 34, 57syl2anc 582 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐺) 𝑊)
5937, 58jca 510 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊))
6041necomd 2986 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → (𝑅𝐼) ≠ (𝑅𝐺))
619, 10, 12, 13lhp2atne 39735 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ ¬ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) 𝑊) ∧ (𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (((𝑅𝐼) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐼) 𝑊) ∧ ((𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) 𝑊)) ∧ (𝑅𝐼) ≠ (𝑅𝐺)) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ≠ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))
622, 22, 33, 56, 59, 60, 61syl321anc 1389 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ≠ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))
639, 10, 11, 122atm 39228 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐼) ∈ 𝐴) ∧ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐴 ∧ ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ∧ ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)) ∧ ((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ≠ ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺)))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) = (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
641, 23, 27, 33, 37, 48, 51, 53, 62, 63syl333anc 1399 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐹𝑇𝐹 ≠ ( I ↾ 𝐵)) ∧ (𝐺𝑇𝐺 ≠ ( I ↾ 𝐵))) ∧ (𝑁𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐹) = (𝑅𝑁)) ∧ (𝐼𝑇𝐼 ≠ ( I ↾ 𝐵) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐼))) → ((𝐺𝐼) / 𝑔𝑋𝑃) = (((𝐺 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐼)) ((𝐼 / 𝑔𝑋𝑃) (𝑅𝐺))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wral 3051  csb 3892   class class class wbr 5155   I cid 5581  ccnv 5683  cres 5686  ccom 5688  cfv 6556  crio 7381  (class class class)co 7426  Basecbs 17215  lecple 17275  joincjn 18338  meetcmee 18339  Atomscatm 38963  HLchlt 39050  LHypclh 39685  LTrncltrn 39802  trLctrl 39859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-riotaBAD 38653
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-iin 5006  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-id 5582  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-undef 8290  df-map 8859  df-proset 18322  df-poset 18340  df-plt 18357  df-lub 18373  df-glb 18374  df-join 18375  df-meet 18376  df-p0 18452  df-p1 18453  df-lat 18459  df-clat 18526  df-oposet 38876  df-ol 38878  df-oml 38879  df-covers 38966  df-ats 38967  df-atl 38998  df-cvlat 39022  df-hlat 39051  df-llines 39199  df-lplanes 39200  df-lvols 39201  df-lines 39202  df-psubsp 39204  df-pmap 39205  df-padd 39497  df-lhyp 39689  df-laut 39690  df-ldil 39805  df-ltrn 39806  df-trl 39860
This theorem is referenced by:  cdlemk52  40655
  Copyright terms: Public domain W3C validator