MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efcllem 16021
Description: Lemma for efcl 16026. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 15829 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
efcllem (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12864 . 2 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 eqid 2733 . 2 (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด)))) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))
3 halfre 12426 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„
43a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
5 halflt1 12430 . . 3 (1 / 2) < 1
65a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) < 1)
7 2re 12286 . . . 4 2 โˆˆ โ„
8 abscl 15225 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9 remulcl 11195 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
107, 8, 9sylancr 588 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
117a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
12 0le2 12314 . . . . 5 0 โ‰ค 2
1312a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค 2)
14 absge0 15234 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
1511, 8, 13, 14mulge0d 11791 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
16 flge0nn0 13785 . . 3 (((2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท (absโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0)
1710, 15, 16syl2anc 585 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0)
18 eftval.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1918eftval 16020 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
2019adantl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
21 eftcl 16017 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2220, 21eqeltrd 2834 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
238adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
24 eluznn0 12901 . . . . . . 7 (((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2517, 24sylan 581 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
26 nn0p1nn 12511 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2823, 27nndivred 12266 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
293a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
3023, 25reexpcld 14128 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
3125faccld 14244 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3230, 31nndivred 12266 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
33 expcl 14045 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3425, 33syldan 592 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3534absge0d 15391 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
36 absexp 15251 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3725, 36syldan 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3835, 37breqtrd 5175 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3931nnred 12227 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4031nngt0d 12261 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
41 divge0 12083 . . . . 5 (((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4230, 38, 39, 40, 41syl22anc 838 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4310adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
44 peano2nn0 12512 . . . . . . . . . . 11 ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4517, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4645nn0red 12533 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„)
4746adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„)
4827nnred 12227 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
49 flltp1 13765 . . . . . . . . 9 ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1))
5043, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1))
51 eluzp1p1 12850 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด)))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1)))
5251adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1)))
53 eluzle 12835 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
5543, 47, 48, 50, 54ltletrd 11374 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < (๐‘˜ + 1))
5623recnd 11242 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
57 2cn 12287 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
58 mulcom 11196 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
5956, 57, 58sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
6027nncnd 12228 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
6160mullidd 11232 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (1 ยท (๐‘˜ + 1)) = (๐‘˜ + 1))
6255, 59, 613brtr4d 5181 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) < (1 ยท (๐‘˜ + 1)))
63 2rp 12979 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
65 1red 11215 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6627nnrpd 13014 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
6723, 64, 65, 66lt2mul2divd 13085 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท 2) < (1 ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2)))
6862, 67mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2))
69 ltle 11302 . . . . . 6 ((((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2)))
7028, 3, 69sylancl 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2)))
7168, 70mpd 15 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2))
7228, 29, 32, 42, 71lemul2ad 12154 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
73 peano2nn0 12512 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
7425, 73syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
7518eftval 16020 . . . . . 6 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
7674, 75syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
7776fveq2d 6896 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
78 absexp 15251 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
7974, 78syldan 592 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
8056, 25expp1d 14112 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
8179, 80eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
8274faccld 14244 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
8382nnred 12227 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
8482nnnn0d 12532 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•0)
8584nn0ge0d 12535 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
8683, 85absidd 15369 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1))) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
87 facp1 14238 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
8825, 87syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
8986, 88eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
9081, 89oveq12d 7427 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)) / ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
91 expcl 14045 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9274, 91syldan 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9382nncnd 12228 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9482nnne0d 12262 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰  0)
9592, 93, 94absdivd 15402 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
9630recnd 11242 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9731nncnd 12228 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9831nnne0d 12262 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰  0)
9927nnne0d 12262 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
10096, 97, 56, 60, 98, 99divmuldivd 12031 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)) / ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
10190, 95, 1003eqtr4d 2783 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))))
10277, 101eqtrd 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))))
103 halfcn 12427 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
10425, 22syldan 592 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
105104abscld 15383 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
106105recnd 11242 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
107 mulcom 11196 . . . . 5 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
108103, 106, 107sylancr 588 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
10925, 19syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
110109fveq2d 6896 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
111 eftabs 16019 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
11225, 111syldan 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
113110, 112eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
114113oveq1d 7424 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
115108, 114eqtrd 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
11672, 102, 1153brtr4d 5181 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
1171, 2, 4, 6, 17, 22, 116cvgrat 15829 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149   โ†ฆ cmpt 5232  dom cdm 5677  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„•0cn0 12472  โ„คโ‰ฅcuz 12822  โ„+crp 12974  โŒŠcfl 13755  seqcseq 13966  โ†‘cexp 14027  !cfa 14233  abscabs 15181   โ‡ cli 15428
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  eff  16025  efcvg  16028  reefcl  16030  efaddlem  16036  eftlcvg  16049  effsumlt  16054  eflegeo  16064  eirrlem  16147  expfac  44373
  Copyright terms: Public domain W3C validator