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Theorem efcllem 16109
Description: Lemma for efcl 16114. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 15915 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
efcllem (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12917 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 eqid 2734 . 2 (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) = (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))
3 halfre 12477 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℝ)
5 halflt1 12481 . . 3 (1 / 2) < 1
65a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) < 1)
7 2re 12337 . . . 4 2 ∈ ℝ
8 abscl 15313 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 remulcl 11237 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
117a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
12 0le2 12365 . . . . 5 0 ≤ 2
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
14 absge0 15322 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
1511, 8, 13, 14mulge0d 11837 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴)))
16 flge0nn0 13856 . . 3 (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴))) → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
1710, 15, 16syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18 eftval.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1918eftval 16108 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
2019adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
21 eftcl 16105 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2220, 21eqeltrd 2838 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
238adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24 eluznn0 12956 . . . . . . 7 (((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2517, 24sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26 nn0p1nn 12562 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2823, 27nndivred 12317 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
293a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
3023, 25reexpcld 14199 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
3125faccld 14319 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3230, 31nndivred 12317 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
33 expcl 14116 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3425, 33syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3534absge0d 15479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
36 absexp 15339 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3725, 36syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3835, 37breqtrd 5173 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3931nnred 12278 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
4031nngt0d 12312 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 < (!‘𝑘))
41 divge0 12134 . . . . 5 (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4230, 38, 39, 40, 41syl22anc 839 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4310adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
44 peano2nn0 12563 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
4517, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
4645nn0red 12585 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
4746adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
4827nnred 12278 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
49 flltp1 13836 . . . . . . . . 9 ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
5043, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
51 eluzp1p1 12903 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
5251adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
53 eluzle 12888 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
5543, 47, 48, 50, 54ltletrd 11418 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
5623recnd 11286 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
57 2cn 12338 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
58 mulcom 11238 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
5956, 57, 58sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
6027nncnd 12279 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
6160mullidd 11276 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
6255, 59, 613brtr4d 5179 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
63 2rp 13036 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 2 ∈ ℝ+)
65 1red 11259 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 1 ∈ ℝ)
6627nnrpd 13072 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
6723, 64, 65, 66lt2mul2divd 13143 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
6862, 67mpbid 232 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
69 ltle 11346 . . . . . 6 ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
7028, 3, 69sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
7168, 70mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
7228, 29, 32, 42, 71lemul2ad 12205 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
73 peano2nn0 12563 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
7425, 73syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
7518eftval 16108 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
7674, 75syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
7776fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
78 absexp 15339 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
7974, 78syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
8056, 25expp1d 14183 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
8179, 80eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
8274faccld 14319 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
8382nnred 12278 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8482nnnn0d 12584 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
8584nn0ge0d 12587 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
8683, 85absidd 15457 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87 facp1 14313 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
8825, 87syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
8986, 88eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
9081, 89oveq12d 7448 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91 expcl 14116 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9274, 91syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9382nncnd 12279 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9482nnne0d 12313 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
9592, 93, 94absdivd 15490 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
9630recnd 11286 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
9731nncnd 12279 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
9831nnne0d 12313 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
9927nnne0d 12313 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
10096, 97, 56, 60, 98, 99divmuldivd 12081 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
10190, 95, 1003eqtr4d 2784 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
10277, 101eqtrd 2774 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
103 halfcn 12478 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℂ
10425, 22syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
105104abscld 15471 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
106105recnd 11286 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
107 mulcom 11238 . . . . 5 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)))
108103, 106, 107sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)))
10925, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
110109fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
111 eftabs 16107 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11225, 111syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113110, 112eqtrd 2774 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
114113oveq1d 7445 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115108, 114eqtrd 2774 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
11672, 102, 1153brtr4d 5179 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
1171, 2, 4, 6, 17, 22, 116cvgrat 15915 1 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292  cle 11293   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cuz 12875  +crp 13031  cfl 13826  seqcseq 14038  cexp 14098  !cfa 14308  abscabs 15269  cli 15516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  eff  16113  efcvg  16117  reefcl  16119  efaddlem  16125  eftlcvg  16138  effsumlt  16143  eflegeo  16153  eirrlem  16236  expfac  45612
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