MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efcllem 15965
Description: Lemma for efcl 15970. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 15773 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
efcllem (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12810 . 2 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 eqid 2733 . 2 (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด)))) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))
3 halfre 12372 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„
43a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
5 halflt1 12376 . . 3 (1 / 2) < 1
65a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) < 1)
7 2re 12232 . . . 4 2 โˆˆ โ„
8 abscl 15169 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9 remulcl 11141 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
107, 8, 9sylancr 588 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
117a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
12 0le2 12260 . . . . 5 0 โ‰ค 2
1312a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค 2)
14 absge0 15178 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
1511, 8, 13, 14mulge0d 11737 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
16 flge0nn0 13731 . . 3 (((2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท (absโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0)
1710, 15, 16syl2anc 585 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0)
18 eftval.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1918eftval 15964 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
2019adantl 483 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
21 eftcl 15961 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2220, 21eqeltrd 2834 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
238adantr 482 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
24 eluznn0 12847 . . . . . . 7 (((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2517, 24sylan 581 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
26 nn0p1nn 12457 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2823, 27nndivred 12212 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
293a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
3023, 25reexpcld 14074 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
3125faccld 14190 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3230, 31nndivred 12212 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
33 expcl 13991 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3425, 33syldan 592 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3534absge0d 15335 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
36 absexp 15195 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3725, 36syldan 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3835, 37breqtrd 5132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3931nnred 12173 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4031nngt0d 12207 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
41 divge0 12029 . . . . 5 (((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4230, 38, 39, 40, 41syl22anc 838 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4310adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
44 peano2nn0 12458 . . . . . . . . . . 11 ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4517, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4645nn0red 12479 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„)
4746adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„)
4827nnred 12173 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
49 flltp1 13711 . . . . . . . . 9 ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1))
5043, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1))
51 eluzp1p1 12796 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด)))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1)))
5251adantl 483 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1)))
53 eluzle 12781 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
5543, 47, 48, 50, 54ltletrd 11320 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < (๐‘˜ + 1))
5623recnd 11188 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
57 2cn 12233 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
58 mulcom 11142 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
5956, 57, 58sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
6027nncnd 12174 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
6160mulid2d 11178 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (1 ยท (๐‘˜ + 1)) = (๐‘˜ + 1))
6255, 59, 613brtr4d 5138 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) < (1 ยท (๐‘˜ + 1)))
63 2rp 12925 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
65 1red 11161 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6627nnrpd 12960 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
6723, 64, 65, 66lt2mul2divd 13031 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท 2) < (1 ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2)))
6862, 67mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2))
69 ltle 11248 . . . . . 6 ((((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2)))
7028, 3, 69sylancl 587 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2)))
7168, 70mpd 15 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2))
7228, 29, 32, 42, 71lemul2ad 12100 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
73 peano2nn0 12458 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
7425, 73syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
7518eftval 15964 . . . . . 6 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
7674, 75syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
7776fveq2d 6847 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
78 absexp 15195 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
7974, 78syldan 592 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
8056, 25expp1d 14058 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
8179, 80eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
8274faccld 14190 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
8382nnred 12173 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
8482nnnn0d 12478 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•0)
8584nn0ge0d 12481 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
8683, 85absidd 15313 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1))) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
87 facp1 14184 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
8825, 87syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
8986, 88eqtrd 2773 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
9081, 89oveq12d 7376 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)) / ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
91 expcl 13991 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9274, 91syldan 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9382nncnd 12174 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9482nnne0d 12208 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰  0)
9592, 93, 94absdivd 15346 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
9630recnd 11188 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9731nncnd 12174 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9831nnne0d 12208 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰  0)
9927nnne0d 12208 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
10096, 97, 56, 60, 98, 99divmuldivd 11977 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)) / ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
10190, 95, 1003eqtr4d 2783 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))))
10277, 101eqtrd 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))))
103 halfcn 12373 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
10425, 22syldan 592 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
105104abscld 15327 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
106105recnd 11188 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
107 mulcom 11142 . . . . 5 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
108103, 106, 107sylancr 588 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
10925, 19syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
110109fveq2d 6847 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
111 eftabs 15963 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
11225, 111syldan 592 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
113110, 112eqtrd 2773 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
114113oveq1d 7373 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
115108, 114eqtrd 2773 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
11672, 102, 1153brtr4d 5138 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
1171, 2, 4, 6, 17, 22, 116cvgrat 15773 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  dom cdm 5634  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  โ„cr 11055  0cc0 11056  1c1 11057   + caddc 11059   ยท cmul 11061   < clt 11194   โ‰ค cle 11195   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  2c2 12213  โ„•0cn0 12418  โ„คโ‰ฅcuz 12768  โ„+crp 12920  โŒŠcfl 13701  seqcseq 13912  โ†‘cexp 13973  !cfa 14179  abscabs 15125   โ‡ cli 15372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-pm 8771  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-ico 13276  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577
This theorem is referenced by:  eff  15969  efcvg  15972  reefcl  15974  efaddlem  15980  eftlcvg  15993  effsumlt  15998  eflegeo  16008  eirrlem  16091  expfac  43984
  Copyright terms: Public domain W3C validator