Theorem efcllem 15960

Description: Lemma for efcl 15965. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 15768 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcllem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12805	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		eqid 2736	. 2 ⊢ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) = (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))
3		halfre 12367	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℝ)
5		halflt1 12371	. . 3 ⊢ (1 / 2) < 1
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) < 1)
7		2re 12227	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		abscl 15163	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		remulcl 11136	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
12		0le2 12255	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
14		absge0 15172	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
15	11, 8, 13, 14	mulge0d 11732	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴)))
16		flge0nn0 13725	. . 3 ⊢ (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴))) → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
17	10, 15, 16	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18		eftval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
19	18	eftval 15959	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
20	19	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
21		eftcl 15956	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
22	20, 21	eqeltrd 2838	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	8	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24		eluznn0 12842	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	17, 24	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26		nn0p1nn 12452	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
28	23, 27	nndivred 12207	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
29	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
30	23, 25	reexpcld 14068	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
31	25	faccld 14184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	30, 31	nndivred 12207	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
33		expcl 13985	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
34	25, 33	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
35	34	absge0d 15329	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
36		absexp 15189	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
37	25, 36	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
38	35, 37	breqtrd 5131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
39	31	nnred 12168	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
40	31	nngt0d 12202	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 < (!‘𝑘))
41		divge0 12024	. . . . 5 ⊢ (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
42	30, 38, 39, 40, 41	syl22anc 837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
43	10	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 12453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
45	17, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
46	45	nn0red 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
47	46	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
48	27	nnred 12168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
49		flltp1 13705	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
50	43, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
51		eluzp1p1 12791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
52	51	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
53		eluzle 12776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
55	43, 47, 48, 50, 54	ltletrd 11315	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
56	23	recnd 11183	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
57		2cn 12228	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
58		mulcom 11137	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
59	56, 57, 58	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
60	27	nncnd 12169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
61	60	mulid2d 11173	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
62	55, 59, 61	3brtr4d 5137	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
63		2rp 12920	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 2 ∈ ℝ+)
65		1red 11156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 1 ∈ ℝ)
66	27	nnrpd 12955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
67	23, 64, 65, 66	lt2mul2divd 13026	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
68	62, 67	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
69		ltle 11243	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
70	28, 3, 69	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
71	68, 70	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
72	28, 29, 32, 42, 71	lemul2ad 12095	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
73		peano2nn0 12453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
74	25, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
75	18	eftval 15959	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
76	74, 75	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
77	76	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
78		absexp 15189	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
79	74, 78	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
80	56, 25	expp1d 14052	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
81	79, 80	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
82	74	faccld 14184	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
83	82	nnred 12168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
84	82	nnnn0d 12473	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
85	84	nn0ge0d 12476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
86	83, 85	absidd 15307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87		facp1 14178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
88	25, 87	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
89	86, 88	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
90	81, 89	oveq12d 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91		expcl 13985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
92	74, 91	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
93	82	nncnd 12169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
94	82	nnne0d 12203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
95	92, 93, 94	absdivd 15340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
96	30	recnd 11183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
97	31	nncnd 12169	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
98	31	nnne0d 12203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
99	27	nnne0d 12203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
100	96, 97, 56, 60, 98, 99	divmuldivd 11972	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
101	90, 95, 100	3eqtr4d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
102	77, 101	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
103		halfcn 12368	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	25, 22	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
105	104	abscld 15321	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
107		mulcom 11137	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
108	103, 106, 107	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
109	25, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
110	109	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
111		eftabs 15958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
112	25, 111	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113	110, 112	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
114	113	oveq1d 7372	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115	108, 114	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
116	72, 102, 115	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
117	1, 2, 4, 6, 17, 22, 116	cvgrat 15768	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5633  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189   ≤ cle 11190   / cdiv 11812  ℕcn 12153  2c2 12208  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12915  ⌊cfl 13695  seqcseq 13906  ↑cexp 13967  !cfa 14173  abscabs 15119   ⇝ cli 15366

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-ico 13270  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571

This theorem is referenced by:  eff  15964  efcvg  15967  reefcl  15969  efaddlem  15975  eftlcvg  15988  effsumlt  15993  eflegeo  16003  eirrlem  16086  expfac  43888