Theorem efcllem 16012

Description: Lemma for efcl 16017. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 15818 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcllem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12801	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) = (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))
3		halfre 12366	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℝ)
5		halflt1 12370	. . 3 ⊢ (1 / 2) < 1
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) < 1)
7		2re 12231	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		abscl 15213	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		remulcl 11123	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
12		0le2 12259	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
14		absge0 15222	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
15	11, 8, 13, 14	mulge0d 11726	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴)))
16		flge0nn0 13752	. . 3 ⊢ (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴))) → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
17	10, 15, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18		eftval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
19	18	eftval 16011	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
21		eftcl 16008	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
22	20, 21	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24		eluznn0 12842	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	17, 24	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26		nn0p1nn 12452	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
28	23, 27	nndivred 12211	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
29	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
30	23, 25	reexpcld 14098	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
31	25	faccld 14219	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	30, 31	nndivred 12211	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
33		expcl 14014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
34	25, 33	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
35	34	absge0d 15382	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
36		absexp 15239	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
37	25, 36	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
38	35, 37	breqtrd 5126	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
39	31	nnred 12172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
40	31	nngt0d 12206	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 < (!‘𝑘))
41		divge0 12023	. . . . 5 ⊢ (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
42	30, 38, 39, 40, 41	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
43	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 12453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
45	17, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
46	45	nn0red 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
48	27	nnred 12172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
49		flltp1 13732	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
50	43, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
51		eluzp1p1 12791	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
53		eluzle 12776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
55	43, 47, 48, 50, 54	ltletrd 11305	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
56	23	recnd 11172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
57		2cn 12232	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
58		mulcom 11124	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
59	56, 57, 58	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
60	27	nncnd 12173	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
61	60	mullidd 11162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
62	55, 59, 61	3brtr4d 5132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
63		2rp 12922	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 2 ∈ ℝ+)
65		1red 11145	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 1 ∈ ℝ)
66	27	nnrpd 12959	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
67	23, 64, 65, 66	lt2mul2divd 13030	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
68	62, 67	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
69		ltle 11233	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
70	28, 3, 69	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
71	68, 70	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
72	28, 29, 32, 42, 71	lemul2ad 12094	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
73		peano2nn0 12453	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
74	25, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
75	18	eftval 16011	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
76	74, 75	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
77	76	fveq2d 6846	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
78		absexp 15239	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
79	74, 78	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
80	56, 25	expp1d 14082	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
81	79, 80	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
82	74	faccld 14219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
83	82	nnred 12172	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
84	82	nnnn0d 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
85	84	nn0ge0d 12477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
86	83, 85	absidd 15358	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87		facp1 14213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
88	25, 87	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
89	86, 88	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
90	81, 89	oveq12d 7386	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91		expcl 14014	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
92	74, 91	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
93	82	nncnd 12173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
94	82	nnne0d 12207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
95	92, 93, 94	absdivd 15393	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
96	30	recnd 11172	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
97	31	nncnd 12173	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
98	31	nnne0d 12207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
99	27	nnne0d 12207	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
100	96, 97, 56, 60, 98, 99	divmuldivd 11970	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
101	90, 95, 100	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
102	77, 101	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
103		halfcn 12367	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	25, 22	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
105	104	abscld 15374	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 11172	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
107		mulcom 11124	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
108	103, 106, 107	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
109	25, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
110	109	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
111		eftabs 16010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
112	25, 111	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113	110, 112	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
114	113	oveq1d 7383	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115	108, 114	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
116	72, 102, 115	3brtr4d 5132	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
117	1, 2, 4, 6, 17, 22, 116	cvgrat 15818	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5632  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12917  ⌊cfl 13722  seqcseq 13936  ↑cexp 13996  !cfa 14208  abscabs 15169   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-pm 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-ico 13279  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622

This theorem is referenced by:  eff  16016  efcvg  16020  reefcl  16022  efaddlem  16028  eftlcvg  16043  effsumlt  16048  eflegeo  16058  eirrlem  16141  expfac  46009