Theorem efcllem 16033

Description: Lemma for efcl 16038. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 15839 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcllem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 12817	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		eqid 2737	. 2 ⊢ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) = (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))
3		halfre 12381	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℝ)
5		halflt1 12385	. . 3 ⊢ (1 / 2) < 1
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) < 1)
7		2re 12246	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		abscl 15231	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		remulcl 11114	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancr 588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
12		0le2 12274	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
14		absge0 15240	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
15	11, 8, 13, 14	mulge0d 11718	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴)))
16		flge0nn0 13770	. . 3 ⊢ (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴))) → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
17	10, 15, 16	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18		eftval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
19	18	eftval 16032	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
20	19	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
21		eftcl 16029	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
22	20, 21	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24		eluznn0 12858	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	17, 24	sylan 581	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26		nn0p1nn 12467	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
28	23, 27	nndivred 12222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
29	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
30	23, 25	reexpcld 14116	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
31	25	faccld 14237	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	30, 31	nndivred 12222	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
33		expcl 14032	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
34	25, 33	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
35	34	absge0d 15400	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
36		absexp 15257	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
37	25, 36	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
38	35, 37	breqtrd 5112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
39	31	nnred 12180	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
40	31	nngt0d 12217	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 < (!‘𝑘))
41		divge0 12016	. . . . 5 ⊢ (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
42	30, 38, 39, 40, 41	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
43	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 12468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
45	17, 44	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
46	45	nn0red 12490	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
47	46	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
48	27	nnred 12180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
49		flltp1 13750	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
50	43, 49	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
51		eluzp1p1 12807	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
52	51	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
53		eluzle 12792	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
55	43, 47, 48, 50, 54	ltletrd 11297	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
56	23	recnd 11164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
57		2cn 12247	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
58		mulcom 11115	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
59	56, 57, 58	sylancl 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
60	27	nncnd 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
61	60	mullidd 11154	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
62	55, 59, 61	3brtr4d 5118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
63		2rp 12938	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 2 ∈ ℝ+)
65		1red 11136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 1 ∈ ℝ)
66	27	nnrpd 12975	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
67	23, 64, 65, 66	lt2mul2divd 13046	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
68	62, 67	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
69		ltle 11225	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
70	28, 3, 69	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
71	68, 70	mpd 15	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
72	28, 29, 32, 42, 71	lemul2ad 12087	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
73		peano2nn0 12468	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
74	25, 73	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
75	18	eftval 16032	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
76	74, 75	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
77	76	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
78		absexp 15257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
79	74, 78	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
80	56, 25	expp1d 14100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
81	79, 80	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
82	74	faccld 14237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
83	82	nnred 12180	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
84	82	nnnn0d 12489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
85	84	nn0ge0d 12492	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
86	83, 85	absidd 15376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87		facp1 14231	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
88	25, 87	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
89	86, 88	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
90	81, 89	oveq12d 7378	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91		expcl 14032	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
92	74, 91	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
93	82	nncnd 12181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
94	82	nnne0d 12218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
95	92, 93, 94	absdivd 15411	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
96	30	recnd 11164	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
97	31	nncnd 12181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
98	31	nnne0d 12218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
99	27	nnne0d 12218	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
100	96, 97, 56, 60, 98, 99	divmuldivd 11963	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
101	90, 95, 100	3eqtr4d 2782	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
102	77, 101	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
103		halfcn 12382	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	25, 22	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
105	104	abscld 15392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 11164	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
107		mulcom 11115	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
108	103, 106, 107	sylancr 588	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
109	25, 19	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
110	109	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
111		eftabs 16031	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
112	25, 111	syldan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113	110, 112	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
114	113	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115	108, 114	eqtrd 2772	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
116	72, 102, 115	3brtr4d 5118	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
117	1, 2, 4, 6, 17, 22, 116	cvgrat 15839	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5624  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤ_≥cuz 12779  ℝ⁺crp 12933  ⌊cfl 13740  seqcseq 13954  ↑cexp 14014  !cfa 14226  abscabs 15187   ⇝ cli 15437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-ico 13295  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640

This theorem is referenced by:  eff  16037  efcvg  16041  reefcl  16043  efaddlem  16049  eftlcvg  16064  effsumlt  16069  eflegeo  16079  eirrlem  16162  expfac  46103