Theorem efcllem 16248

Description: Lemma for efcl 16253. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 16057 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcllem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13006	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) = (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))
3		halfre 12562	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℝ)
5		halflt1 12566	. . 3 ⊢ (1 / 2) < 1
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) < 1)
7		2re 12420	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		abscl 15450	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		remulcl 11288	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
12		0le2 12448	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
14		absge0 15459	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
15	11, 8, 13, 14	mulge0d 11896	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴)))
16		flge0nn0 13963	. . 3 ⊢ (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴))) → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
17	10, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18		eftval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
19	18	eftval 16247	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
20	19	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
21		eftcl 16244	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
22	20, 21	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24		eluznn0 13047	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	17, 24	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26		nn0p1nn 12648	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
28	23, 27	nndivred 12395	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
29	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
30	23, 25	reexpcld 14309	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
31	25	faccld 14431	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	30, 31	nndivred 12395	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
33		expcl 14225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
34	25, 33	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
35	34	absge0d 15619	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
36		absexp 15476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
37	25, 36	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
38	35, 37	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
39	31	nnred 12353	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
40	31	nngt0d 12390	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 < (!‘𝑘))
41		divge0 12189	. . . . 5 ⊢ (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
42	30, 38, 39, 40, 41	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
43	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 12649	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
45	17, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
46	45	nn0red 12671	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
47	46	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
48	27	nnred 12353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
49		flltp1 13943	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
50	43, 49	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
51		eluzp1p1 12996	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
52	51	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
53		eluzle 12981	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
55	43, 47, 48, 50, 54	ltletrd 11473	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
56	23	recnd 11340	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
57		2cn 12421	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
58		mulcom 11289	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
59	56, 57, 58	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
60	27	nncnd 12354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
61	60	mullidd 11330	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
62	55, 59, 61	3brtr4d 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
63		2rp 13128	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 2 ∈ ℝ+)
65		1red 11312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 1 ∈ ℝ)
66	27	nnrpd 13165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
67	23, 64, 65, 66	lt2mul2divd 13236	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
68	62, 67	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
69		ltle 11401	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
70	28, 3, 69	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
71	68, 70	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
72	28, 29, 32, 42, 71	lemul2ad 12260	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
73		peano2nn0 12649	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
74	25, 73	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
75	18	eftval 16247	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
76	74, 75	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
77	76	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
78		absexp 15476	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
79	74, 78	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
80	56, 25	expp1d 14293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
81	79, 80	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
82	74	faccld 14431	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
83	82	nnred 12353	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
84	82	nnnn0d 12670	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
85	84	nn0ge0d 12673	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
86	83, 85	absidd 15595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87		facp1 14425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
88	25, 87	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
89	86, 88	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
90	81, 89	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91		expcl 14225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
92	74, 91	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
93	82	nncnd 12354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
94	82	nnne0d 12391	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
95	92, 93, 94	absdivd 15630	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
96	30	recnd 11340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
97	31	nncnd 12354	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
98	31	nnne0d 12391	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
99	27	nnne0d 12391	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
100	96, 97, 56, 60, 98, 99	divmuldivd 12137	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
101	90, 95, 100	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
102	77, 101	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
103		halfcn 12563	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	25, 22	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
105	104	abscld 15611	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 11340	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
107		mulcom 11289	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
108	103, 106, 107	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
109	25, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
110	109	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
111		eftabs 16246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
112	25, 111	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113	110, 112	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
114	113	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115	108, 114	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
116	72, 102, 115	3brtr4d 5136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
117	1, 2, 4, 6, 17, 22, 116	cvgrat 16057	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208   < clt 11346   ≤ cle 11347   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  ℕ₀cn0 12609  ℤ_≥cuz 12968  ℝ⁺crp 13123  ⌊cfl 13933  seqcseq 14147  ↑cexp 14207  !cfa 14420  abscabs 15406   ⇝ cli 15656

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-rp 13124  df-ico 13485  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859

This theorem is used by:  eff  16252  efcvg  16256  reefcl  16258  efaddlem  16264  eftlcvg  16279  effsumlt  16284  eflegeo  16294  eirrlem  16377  expfac  46760