MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efcllem 16025
Description: Lemma for efcl 16030. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 15833 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
Assertion
Ref Expression
efcllem (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Distinct variable group:   ๐ด,๐‘›
Allowed substitution hint:   ๐น(๐‘›)

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable ๐‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12868 . 2 โ„•0 = (โ„คโ‰ฅโ€˜0)
2 eqid 2730 . 2 (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด)))) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))
3 halfre 12430 . . 3 (1 / 2) โˆˆ โ„
43a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
5 halflt1 12434 . . 3 (1 / 2) < 1
65a1i 11 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 / 2) < 1)
7 2re 12290 . . . 4 2 โˆˆ โ„
8 abscl 15229 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
9 remulcl 11197 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
107, 8, 9sylancr 585 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
117a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 2 โˆˆ โ„)
12 0le2 12318 . . . . 5 0 โ‰ค 2
1312a1i 11 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค 2)
14 absge0 15238 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜๐ด))
1511, 8, 13, 14mulge0d 11795 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ 0 โ‰ค (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
16 flge0nn0 13789 . . 3 (((2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค (2 ยท (absโ€˜๐ด))) โ†’ (โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0)
1710, 15, 16syl2anc 582 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0)
18 eftval.1 . . . . 5 ๐น = (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ดโ†‘๐‘›) / (!โ€˜๐‘›)))
1918eftval 16024 . . . 4 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
2019adantl 480 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
21 eftcl 16021 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
2220, 21eqeltrd 2831 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
238adantr 479 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
24 eluznn0 12905 . . . . . . 7 (((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
2517, 24sylan 578 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
26 nn0p1nn 12515 . . . . . 6 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•)
2823, 27nndivred 12270 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
293a1i 11 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (1 / 2) โˆˆ โ„)
3023, 25reexpcld 14132 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
3125faccld 14248 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„•)
3230, 31nndivred 12270 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
33 expcl 14049 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3425, 33syldan 589 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐ดโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
3534absge0d 15395 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)))
36 absexp 15255 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3725, 36syldan 589 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘๐‘˜)) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3835, 37breqtrd 5173 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜))
3931nnred 12231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„)
4031nngt0d 12265 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 < (!โ€˜๐‘˜))
41 divge0 12087 . . . . 5 (((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜)) โˆง ((!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (!โ€˜๐‘˜))) โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4230, 38, 39, 40, 41syl22anc 835 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
4310adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
44 peano2nn0 12516 . . . . . . . . . . 11 ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) โˆˆ โ„•0 โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4517, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„•0)
4645nn0red 12537 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„)
4746adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โˆˆ โ„)
4827nnred 12231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„)
49 flltp1 13769 . . . . . . . . 9 ((2 ยท (absโ€˜๐ด)) โˆˆ โ„ โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1))
5043, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1))
51 eluzp1p1 12854 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด)))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1)))
5251adantl 480 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1)))
53 eluzle 12839 . . . . . . . . 9 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1)) โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))) + 1) โ‰ค (๐‘˜ + 1))
5543, 47, 48, 50, 54ltletrd 11378 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (2 ยท (absโ€˜๐ด)) < (๐‘˜ + 1))
5623recnd 11246 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
57 2cn 12291 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
58 mulcom 11198 . . . . . . . 8 (((absโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
5956, 57, 58sylancl 584 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) = (2 ยท (absโ€˜๐ด)))
6027nncnd 12232 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„‚)
6160mullidd 11236 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (1 ยท (๐‘˜ + 1)) = (๐‘˜ + 1))
6255, 59, 613brtr4d 5179 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) ยท 2) < (1 ยท (๐‘˜ + 1)))
63 2rp 12983 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„+
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 2 โˆˆ โ„+)
65 1red 11219 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6627nnrpd 13018 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„+)
6723, 64, 65, 66lt2mul2divd 13089 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) ยท 2) < (1 ยท (๐‘˜ + 1)) โ†” ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2)))
6862, 67mpbid 231 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2))
69 ltle 11306 . . . . . 6 ((((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„ โˆง (1 / 2) โˆˆ โ„) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2)))
7028, 3, 69sylancl 584 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) < (1 / 2) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2)))
7168, 70mpd 15 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1)) โ‰ค (1 / 2))
7228, 29, 32, 42, 71lemul2ad 12158 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
73 peano2nn0 12516 . . . . . . 7 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
7425, 73syl 17 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0)
7518eftval 16024 . . . . . 6 ((๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
7674, 75syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐นโ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1))))
7776fveq2d 6894 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
78 absexp 15255 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
7974, 78syldan 589 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)))
8056, 25expp1d 14116 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘(๐‘˜ + 1)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
8179, 80eqtrd 2770 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)))
8274faccld 14248 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•)
8382nnred 12231 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„)
8482nnnn0d 12536 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„•0)
8584nn0ge0d 12539 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ 0 โ‰ค (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
8683, 85absidd 15373 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1))) = (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))
87 facp1 14242 . . . . . . . 8 (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
8825, 87syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
8986, 88eqtrd 2770 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1)))
9081, 89oveq12d 7429 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)) / ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
91 expcl 14049 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘˜ + 1) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9274, 91syldan 589 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9382nncnd 12232 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โˆˆ โ„‚)
9482nnne0d 12266 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜(๐‘˜ + 1)) โ‰  0)
9592, 93, 94absdivd 15406 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((absโ€˜(๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1))) / (absโ€˜(!โ€˜(๐‘˜ + 1)))))
9630recnd 11246 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9731nncnd 12232 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
9831nnne0d 12266 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (!โ€˜๐‘˜) โ‰  0)
9927nnne0d 12266 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐‘˜ + 1) โ‰  0)
10096, 97, 56, 60, 98, 99divmuldivd 12035 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) ยท (absโ€˜๐ด)) / ((!โ€˜๐‘˜) ยท (๐‘˜ + 1))))
10190, 95, 1003eqtr4d 2780 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘(๐‘˜ + 1)) / (!โ€˜(๐‘˜ + 1)))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))))
10277, 101eqtrd 2770 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท ((absโ€˜๐ด) / (๐‘˜ + 1))))
103 halfcn 12431 . . . . 5 (1 / 2) โˆˆ โ„‚
10425, 22syldan 589 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) โˆˆ โ„‚)
105104abscld 15387 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„)
106105recnd 11246 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚)
107 mulcom 11198 . . . . 5 (((1 / 2) โˆˆ โ„‚ โˆง (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
108103, 106, 107sylancr 585 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
10925, 19syl 17 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (๐นโ€˜๐‘˜) = ((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
110109fveq2d 6894 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))))
111 eftabs 16023 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
11225, 111syldan 589 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜((๐ดโ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜))) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
113110, 112eqtrd 2770 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) = (((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)))
114113oveq1d 7426 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
115108, 114eqtrd 2770 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))) = ((((absโ€˜๐ด)โ†‘๐‘˜) / (!โ€˜๐‘˜)) ยท (1 / 2)))
11672, 102, 1153brtr4d 5179 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(โŒŠโ€˜(2 ยท (absโ€˜๐ด))))) โ†’ (absโ€˜(๐นโ€˜(๐‘˜ + 1))) โ‰ค ((1 / 2) ยท (absโ€˜(๐นโ€˜๐‘˜))))
1171, 2, 4, 6, 17, 22, 116cvgrat 15833 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ seq0( + , ๐น) โˆˆ dom โ‡ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   class class class wbr 5147   โ†ฆ cmpt 5230  dom cdm 5675  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„•0cn0 12476  โ„คโ‰ฅcuz 12826  โ„+crp 12978  โŒŠcfl 13759  seqcseq 13970  โ†‘cexp 14031  !cfa 14237  abscabs 15185   โ‡ cli 15432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637
This theorem is referenced by:  eff  16029  efcvg  16032  reefcl  16034  efaddlem  16040  eftlcvg  16053  effsumlt  16058  eflegeo  16068  eirrlem  16151  expfac  44671
  Copyright terms: Public domain W3C validator