Theorem efcllem 16243

Description: Lemma for efcl 16248. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 16052 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)

Hypothesis

Ref	Expression
eftval.1	⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))

Assertion

Ref	Expression
efcllem	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Distinct variable group:   𝐴,𝑛

Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0uz 13003	. 2 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
2		eqid 2760	. 2 ⊢ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) = (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))
3		halfre 12559	. . 3 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℝ)
5		halflt1 12563	. . 3 ⊢ (1 / 2) < 1
6	5	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) < 1)
7		2re 12417	. . . 4 ⊢ 2 ∈ ℝ
8		abscl 15445	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9		remulcl 11285	. . . 4 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
10	7, 8, 9	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
11	7	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
12		0le2 12445	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ 2
13	12	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
14		absge0 15454	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
15	11, 8, 13, 14	mulge0d 11893	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴)))
16		flge0nn0 13960	. . 3 ⊢ (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴))) → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
17	10, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18		eftval.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴↑𝑛) / (!‘𝑛)))
19	18	eftval 16242	. . . 4 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
20	19	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
21		eftcl 16239	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
22	20, 21	eqeltrd 2860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
23	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24		eluznn0 13044	. . . . . . 7 ⊢ (((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	17, 24	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26		nn0p1nn 12645	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
27	25, 26	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
28	23, 27	nndivred 12392	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
29	3	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
30	23, 25	reexpcld 14306	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
31	25	faccld 14428	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
32	30, 31	nndivred 12392	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
33		expcl 14222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
34	25, 33	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑𝑘) ∈ ℂ)
35	34	absge0d 15614	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴↑𝑘)))
36		absexp 15471	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
37	25, 36	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
38	35, 37	breqtrd 5130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
39	31	nnred 12350	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
40	31	nngt0d 12387	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 < (!‘𝑘))
41		divge0 12186	. . . . 5 ⊢ (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
42	30, 38, 39, 40, 41	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
43	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 12646	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
45	17, 44	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
46	45	nn0red 12668	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
47	46	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
48	27	nnred 12350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
49		flltp1 13940	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
50	43, 49	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
51		eluzp1p1 12993	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
52	51	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
53		eluzle 12978	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ≥‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
54	52, 53	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
55	43, 47, 48, 50, 54	ltletrd 11470	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
56	23	recnd 11337	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
57		2cn 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
58		mulcom 11286	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
59	56, 57, 58	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
60	27	nncnd 12351	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
61	60	mullidd 11327	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
62	55, 59, 61	3brtr4d 5136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
63		2rp 13125	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
64	63	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 2 ∈ ℝ+)
65		1red 11309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 1 ∈ ℝ)
66	27	nnrpd 13162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
67	23, 64, 65, 66	lt2mul2divd 13233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
68	62, 67	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
69		ltle 11398	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
70	28, 3, 69	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
71	68, 70	mpd 16	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
72	28, 29, 32, 42, 71	lemul2ad 12257	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
73		peano2nn0 12646	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
74	25, 73	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
75	18	eftval 16242	. . . . . 6 ⊢ ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
76	74, 75	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
77	76	fveq2d 6889	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
78		absexp 15471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
79	74, 78	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
80	56, 25	expp1d 14290	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
81	79, 80	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
82	74	faccld 14428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
83	82	nnred 12350	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
84	82	nnnn0d 12667	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
85	84	nn0ge0d 12670	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
86	83, 85	absidd 15590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87		facp1 14422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
88	25, 87	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
89	86, 88	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
90	81, 89	oveq12d 7438	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91		expcl 14222	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
92	74, 91	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
93	82	nncnd 12351	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
94	82	nnne0d 12388	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
95	92, 93, 94	absdivd 15625	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
96	30	recnd 11337	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
97	31	nncnd 12351	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
98	31	nnne0d 12388	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
99	27	nnne0d 12388	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
100	96, 97, 56, 60, 98, 99	divmuldivd 12134	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
101	90, 95, 100	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
102	77, 101	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
103		halfcn 12560	. . . . 5 ⊢ (1 / 2) ∈ ℂ
104	25, 22	syldan 603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
105	104	abscld 15606	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℝ)
106	105	recnd 11337	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ)
107		mulcom 11286	. . . . 5 ⊢ (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
108	103, 106, 107	sylancr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)))
109	25, 19	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘𝑘) = ((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘)))
110	109	fveq2d 6889	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))))
111		eftabs 16241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
112	25, 111	syldan 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113	110, 112	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
114	113	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐹‘𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115	108, 114	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
116	72, 102, 115	3brtr4d 5136	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹‘𝑘))))
117	1, 2, 4, 6, 17, 22, 116	cvgrat 16052	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  2c2 12397  ℕ₀cn0 12606  ℤ_≥cuz 12965  ℝ⁺crp 13120  ⌊cfl 13930  seqcseq 14144  ↑cexp 14204  !cfa 14417  abscabs 15401   ⇝ cli 15651

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-er 8717  df-pm 8850  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-ico 13482  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-fac 14418  df-hash 14475  df-shft 15220  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854

This theorem is used by:  eff  16247  efcvg  16251  reefcl  16253  efaddlem  16259  eftlcvg  16274  effsumlt  16279  eflegeo  16289  eirrlem  16372  expfac  46667