MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efcllem 15787
Description: Lemma for efcl 15792. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 15595 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
efcllem (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12620 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 eqid 2738 . 2 (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) = (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))
3 halfre 12187 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℝ)
5 halflt1 12191 . . 3 (1 / 2) < 1
65a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) < 1)
7 2re 12047 . . . 4 2 ∈ ℝ
8 abscl 14990 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 remulcl 10956 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
117a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
12 0le2 12075 . . . . 5 0 ≤ 2
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
14 absge0 14999 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
1511, 8, 13, 14mulge0d 11552 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴)))
16 flge0nn0 13540 . . 3 (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴))) → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
1710, 15, 16syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18 eftval.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1918eftval 15786 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
2019adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
21 eftcl 15783 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2220, 21eqeltrd 2839 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
238adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24 eluznn0 12657 . . . . . . 7 (((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2517, 24sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26 nn0p1nn 12272 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2823, 27nndivred 12027 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
293a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
3023, 25reexpcld 13881 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
3125faccld 13998 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3230, 31nndivred 12027 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
33 expcl 13800 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3425, 33syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3534absge0d 15156 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
36 absexp 15016 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3725, 36syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3835, 37breqtrd 5100 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3931nnred 11988 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
4031nngt0d 12022 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 < (!‘𝑘))
41 divge0 11844 . . . . 5 (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4230, 38, 39, 40, 41syl22anc 836 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4310adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
44 peano2nn0 12273 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
4517, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
4645nn0red 12294 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
4827nnred 11988 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
49 flltp1 13520 . . . . . . . . 9 ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
5043, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
51 eluzp1p1 12610 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
5251adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
53 eluzle 12595 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
5543, 47, 48, 50, 54ltletrd 11135 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
5623recnd 11003 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
57 2cn 12048 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
58 mulcom 10957 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
5956, 57, 58sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
6027nncnd 11989 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
6160mulid2d 10993 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
6255, 59, 613brtr4d 5106 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
63 2rp 12735 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 2 ∈ ℝ+)
65 1red 10976 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 1 ∈ ℝ)
6627nnrpd 12770 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
6723, 64, 65, 66lt2mul2divd 12841 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
6862, 67mpbid 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
69 ltle 11063 . . . . . 6 ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
7028, 3, 69sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
7168, 70mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
7228, 29, 32, 42, 71lemul2ad 11915 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
73 peano2nn0 12273 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
7425, 73syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
7518eftval 15786 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
7674, 75syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
7776fveq2d 6778 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
78 absexp 15016 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
7974, 78syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
8056, 25expp1d 13865 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
8179, 80eqtrd 2778 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
8274faccld 13998 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
8382nnred 11988 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8482nnnn0d 12293 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
8584nn0ge0d 12296 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
8683, 85absidd 15134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87 facp1 13992 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
8825, 87syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
8986, 88eqtrd 2778 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
9081, 89oveq12d 7293 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91 expcl 13800 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9274, 91syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9382nncnd 11989 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9482nnne0d 12023 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
9592, 93, 94absdivd 15167 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
9630recnd 11003 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
9731nncnd 11989 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
9831nnne0d 12023 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
9927nnne0d 12023 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
10096, 97, 56, 60, 98, 99divmuldivd 11792 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
10190, 95, 1003eqtr4d 2788 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
10277, 101eqtrd 2778 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
103 halfcn 12188 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℂ
10425, 22syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
105104abscld 15148 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
106105recnd 11003 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
107 mulcom 10957 . . . . 5 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)))
108103, 106, 107sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)))
10925, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
110109fveq2d 6778 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
111 eftabs 15785 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11225, 111syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113110, 112eqtrd 2778 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
114113oveq1d 7290 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115108, 114eqtrd 2778 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
11672, 102, 1153brtr4d 5106 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
1171, 2, 4, 6, 17, 22, 116cvgrat 15595 1 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1539  wcel 2106   class class class wbr 5074  cmpt 5157  dom cdm 5589  cfv 6433  (class class class)co 7275  cc 10869  cr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009  cle 11010   / cdiv 11632  cn 11973  2c2 12028  0cn0 12233  cuz 12582  +crp 12730  cfl 13510  seqcseq 13721  cexp 13782  !cfa 13987  abscabs 14945  cli 15193
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-pm 8618  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-ico 13085  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398
This theorem is referenced by:  eff  15791  efcvg  15794  reefcl  15796  efaddlem  15802  eftlcvg  15815  effsumlt  15820  eflegeo  15830  eirrlem  15913  expfac  43198
  Copyright terms: Public domain W3C validator