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Theorem efcllem 16113
Description: Lemma for efcl 16118. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 15919 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
efcllem (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12920 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 eqid 2737 . 2 (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) = (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))
3 halfre 12480 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℝ)
5 halflt1 12484 . . 3 (1 / 2) < 1
65a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) < 1)
7 2re 12340 . . . 4 2 ∈ ℝ
8 abscl 15317 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 remulcl 11240 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
117a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
12 0le2 12368 . . . . 5 0 ≤ 2
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
14 absge0 15326 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
1511, 8, 13, 14mulge0d 11840 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴)))
16 flge0nn0 13860 . . 3 (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴))) → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
1710, 15, 16syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18 eftval.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1918eftval 16112 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
2019adantl 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
21 eftcl 16109 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2220, 21eqeltrd 2841 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
238adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24 eluznn0 12959 . . . . . . 7 (((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2517, 24sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26 nn0p1nn 12565 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2823, 27nndivred 12320 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
293a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
3023, 25reexpcld 14203 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
3125faccld 14323 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3230, 31nndivred 12320 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
33 expcl 14120 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3425, 33syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3534absge0d 15483 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
36 absexp 15343 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3725, 36syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3835, 37breqtrd 5169 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3931nnred 12281 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
4031nngt0d 12315 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 < (!‘𝑘))
41 divge0 12137 . . . . 5 (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4230, 38, 39, 40, 41syl22anc 839 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4310adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
44 peano2nn0 12566 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
4517, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
4645nn0red 12588 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
4746adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
4827nnred 12281 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
49 flltp1 13840 . . . . . . . . 9 ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
5043, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
51 eluzp1p1 12906 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
5251adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
53 eluzle 12891 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
5543, 47, 48, 50, 54ltletrd 11421 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
5623recnd 11289 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
57 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
58 mulcom 11241 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
5956, 57, 58sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
6027nncnd 12282 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
6160mullidd 11279 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
6255, 59, 613brtr4d 5175 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
63 2rp 13039 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 2 ∈ ℝ+)
65 1red 11262 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 1 ∈ ℝ)
6627nnrpd 13075 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
6723, 64, 65, 66lt2mul2divd 13146 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
6862, 67mpbid 232 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
69 ltle 11349 . . . . . 6 ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
7028, 3, 69sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
7168, 70mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
7228, 29, 32, 42, 71lemul2ad 12208 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
73 peano2nn0 12566 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
7425, 73syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
7518eftval 16112 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
7674, 75syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
7776fveq2d 6910 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
78 absexp 15343 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
7974, 78syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
8056, 25expp1d 14187 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
8179, 80eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
8274faccld 14323 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
8382nnred 12281 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8482nnnn0d 12587 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
8584nn0ge0d 12590 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
8683, 85absidd 15461 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87 facp1 14317 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
8825, 87syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
8986, 88eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
9081, 89oveq12d 7449 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91 expcl 14120 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9274, 91syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9382nncnd 12282 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9482nnne0d 12316 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
9592, 93, 94absdivd 15494 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
9630recnd 11289 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
9731nncnd 12282 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
9831nnne0d 12316 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
9927nnne0d 12316 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
10096, 97, 56, 60, 98, 99divmuldivd 12084 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
10190, 95, 1003eqtr4d 2787 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
10277, 101eqtrd 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
103 halfcn 12481 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℂ
10425, 22syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
105104abscld 15475 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
106105recnd 11289 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
107 mulcom 11241 . . . . 5 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)))
108103, 106, 107sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)))
10925, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
110109fveq2d 6910 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
111 eftabs 16111 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11225, 111syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113110, 112eqtrd 2777 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
114113oveq1d 7446 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115108, 114eqtrd 2777 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
11672, 102, 1153brtr4d 5175 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
1171, 2, 4, 6, 17, 22, 116cvgrat 15919 1 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cuz 12878  +crp 13034  cfl 13830  seqcseq 14042  cexp 14102  !cfa 14312  abscabs 15273  cli 15520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-pm 8869  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-ico 13393  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-fac 14313  df-hash 14370  df-shft 15106  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723
This theorem is referenced by:  eff  16117  efcvg  16121  reefcl  16123  efaddlem  16129  eftlcvg  16142  effsumlt  16147  eflegeo  16157  eirrlem  16240  expfac  45672
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