MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efcllem 16017
Description: Lemma for efcl 16022. The series that defines the exponential function converges, in the case where its argument is nonzero. The ratio test cvgrat 15825 is used to show convergence. (Contributed by NM, 26-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.) (Proof shortened by AV, 9-Jul-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
eftval.1 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
Assertion
Ref Expression
efcllem (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Distinct variable group:   𝐴,𝑛
Allowed substitution hint:   𝐹(𝑛)

Proof of Theorem efcllem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0uz 12860 . 2 0 = (ℤ‘0)
2 eqid 2732 . 2 (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) = (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))
3 halfre 12422 . . 3 (1 / 2) ∈ ℝ
43a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) ∈ ℝ)
5 halflt1 12426 . . 3 (1 / 2) < 1
65a1i 11 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (1 / 2) < 1)
7 2re 12282 . . . 4 2 ∈ ℝ
8 abscl 15221 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
9 remulcl 11191 . . . 4 ((2 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝐴) ∈ ℝ) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
107, 8, 9sylancr 587 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
117a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℝ)
12 0le2 12310 . . . . 5 0 ≤ 2
1312a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ 2)
14 absge0 15230 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘𝐴))
1511, 8, 13, 14mulge0d 11787 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴)))
16 flge0nn0 13781 . . 3 (((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (2 · (abs‘𝐴))) → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
1710, 15, 16syl2anc 584 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0)
18 eftval.1 . . . . 5 𝐹 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐴𝑛) / (!‘𝑛)))
1918eftval 16016 . . . 4 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
2019adantl 482 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
21 eftcl 16013 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℂ)
2220, 21eqeltrd 2833 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
238adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℝ)
24 eluznn0 12897 . . . . . . 7 (((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
2517, 24sylan 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
26 nn0p1nn 12507 . . . . . 6 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2725, 26syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ)
2823, 27nndivred 12262 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
293a1i 11 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 / 2) ∈ ℝ)
3023, 25reexpcld 14124 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ)
3125faccld 14240 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℕ)
3230, 31nndivred 12262 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) ∈ ℝ)
33 expcl 14041 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3425, 33syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴𝑘) ∈ ℂ)
3534absge0d 15387 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (abs‘(𝐴𝑘)))
36 absexp 15247 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3725, 36syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴𝑘)) = ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3835, 37breqtrd 5173 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘))
3931nnred 12223 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℝ)
4031nngt0d 12257 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 < (!‘𝑘))
41 divge0 12079 . . . . 5 (((((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((abs‘𝐴)↑𝑘)) ∧ ((!‘𝑘) ∈ ℝ ∧ 0 < (!‘𝑘))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4230, 38, 39, 40, 41syl22anc 837 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
4310adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ)
44 peano2nn0 12508 . . . . . . . . . . 11 ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
4517, 44syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
4645nn0red 12529 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
4827nnred 12223 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ)
49 flltp1 13761 . . . . . . . . 9 ((2 · (abs‘𝐴)) ∈ ℝ → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
5043, 49syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1))
51 eluzp1p1 12846 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴)))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
5251adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)))
53 eluzle 12831 . . . . . . . . 9 ((𝑘 + 1) ∈ (ℤ‘((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1)) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((⌊‘(2 · (abs‘𝐴))) + 1) ≤ (𝑘 + 1))
5543, 47, 48, 50, 54ltletrd 11370 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (2 · (abs‘𝐴)) < (𝑘 + 1))
5623recnd 11238 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘𝐴) ∈ ℂ)
57 2cn 12283 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
58 mulcom 11192 . . . . . . . 8 (((abs‘𝐴) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
5956, 57, 58sylancl 586 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) = (2 · (abs‘𝐴)))
6027nncnd 12224 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℂ)
6160mullidd 11228 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (1 · (𝑘 + 1)) = (𝑘 + 1))
6255, 59, 613brtr4d 5179 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)))
63 2rp 12975 . . . . . . . 8 2 ∈ ℝ+
6463a1i 11 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 2 ∈ ℝ+)
65 1red 11211 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 1 ∈ ℝ)
6627nnrpd 13010 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℝ+)
6723, 64, 65, 66lt2mul2divd 13081 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) · 2) < (1 · (𝑘 + 1)) ↔ ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2)))
6862, 67mpbid 231 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2))
69 ltle 11298 . . . . . 6 ((((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ∈ ℝ ∧ (1 / 2) ∈ ℝ) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
7028, 3, 69sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) < (1 / 2) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2)))
7168, 70mpd 15 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1)) ≤ (1 / 2))
7228, 29, 32, 42, 71lemul2ad 12150 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) ≤ ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
73 peano2nn0 12508 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ℕ0 → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
7425, 73syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ∈ ℕ0)
7518eftval 16016 . . . . . 6 ((𝑘 + 1) ∈ ℕ0 → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
7674, 75syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹‘(𝑘 + 1)) = ((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1))))
7776fveq2d 6892 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))))
78 absexp 15247 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
7974, 78syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)))
8056, 25expp1d 14108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑(𝑘 + 1)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
8179, 80eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)))
8274faccld 14240 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ)
8382nnred 12223 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℝ)
8482nnnn0d 12528 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℕ0)
8584nn0ge0d 12531 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → 0 ≤ (!‘(𝑘 + 1)))
8683, 85absidd 15365 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = (!‘(𝑘 + 1)))
87 facp1 14234 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ ℕ0 → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
8825, 87syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
8986, 88eqtrd 2772 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(!‘(𝑘 + 1))) = ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1)))
9081, 89oveq12d 7423 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
91 expcl 14041 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑘 + 1) ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9274, 91syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐴↑(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9382nncnd 12224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ∈ ℂ)
9482nnne0d 12258 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘(𝑘 + 1)) ≠ 0)
9592, 93, 94absdivd 15398 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((abs‘(𝐴↑(𝑘 + 1))) / (abs‘(!‘(𝑘 + 1)))))
9630recnd 11238 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘𝐴)↑𝑘) ∈ ℂ)
9731nncnd 12224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ∈ ℂ)
9831nnne0d 12258 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (!‘𝑘) ≠ 0)
9927nnne0d 12258 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝑘 + 1) ≠ 0)
10096, 97, 56, 60, 98, 99divmuldivd 12027 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) · (abs‘𝐴)) / ((!‘𝑘) · (𝑘 + 1))))
10190, 95, 1003eqtr4d 2782 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴↑(𝑘 + 1)) / (!‘(𝑘 + 1)))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
10277, 101eqtrd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · ((abs‘𝐴) / (𝑘 + 1))))
103 halfcn 12423 . . . . 5 (1 / 2) ∈ ℂ
10425, 22syldan 591 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
105104abscld 15379 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℝ)
106105recnd 11238 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ)
107 mulcom 11192 . . . . 5 (((1 / 2) ∈ ℂ ∧ (abs‘(𝐹𝑘)) ∈ ℂ) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)))
108103, 106, 107sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)))
10925, 19syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (𝐹𝑘) = ((𝐴𝑘) / (!‘𝑘)))
110109fveq2d 6892 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))))
111 eftabs 16015 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
11225, 111syldan 591 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘((𝐴𝑘) / (!‘𝑘))) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
113110, 112eqtrd 2772 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹𝑘)) = (((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)))
114113oveq1d 7420 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((abs‘(𝐹𝑘)) · (1 / 2)) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
115108, 114eqtrd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))) = ((((abs‘𝐴)↑𝑘) / (!‘𝑘)) · (1 / 2)))
11672, 102, 1153brtr4d 5179 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(⌊‘(2 · (abs‘𝐴))))) → (abs‘(𝐹‘(𝑘 + 1))) ≤ ((1 / 2) · (abs‘(𝐹𝑘))))
1171, 2, 4, 6, 17, 22, 116cvgrat 15825 1 (𝐴 ∈ ℂ → seq0( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5675  cfv 6540  (class class class)co 7405  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   · cmul 11111   < clt 11244  cle 11245   / cdiv 11867  cn 12208  2c2 12263  0cn0 12468  cuz 12818  +crp 12970  cfl 13751  seqcseq 13962  cexp 14023  !cfa 14229  abscabs 15177  cli 15424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-ico 13326  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629
This theorem is referenced by:  eff  16021  efcvg  16024  reefcl  16026  efaddlem  16032  eftlcvg  16045  effsumlt  16050  eflegeo  16060  eirrlem  16143  expfac  44359
  Copyright terms: Public domain W3C validator