MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2mul2div Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2mul2div 12120
Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
lt2mul2div (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” (๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต)))

Proof of Theorem lt2mul2div
StepHypRef Expression
1 recn 11226 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 recn 11226 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3 mulcom 11222 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
41, 2, 3syl2an 594 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
54oveq1d 7430 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) = ((๐ท ยท ๐ถ) / ๐ต))
65adantl 480 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) = ((๐ท ยท ๐ถ) / ๐ต))
72ad2antll 727 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
81ad2antrl 726 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9 recn 11226 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
109adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11 gt0ne0 11707 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰  0)
1210, 11jca 510 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
1312adantr 479 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
14 divass 11918 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ) / ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต)))
157, 8, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ) / ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต)))
166, 15eqtrd 2765 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต)))
1716adantrrr 723 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต)))
1817adantll 712 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต)))
1918breq2d 5155 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ (๐ด < ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต))))
20 simpll 765 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21 remulcl 11221 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
2221adantrr 715 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
2322adantl 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
24 simplr 767 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
25 ltmuldiv 12115 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” ๐ด < ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต)))
2620, 23, 24, 25syl3anc 1368 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” ๐ด < ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต)))
27 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2827, 11jca 510 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0))
29 redivcl 11961 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
30293expb 1117 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
3128, 30sylan2 591 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
3231ancoms 457 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
3332ad2ant2lr 746 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
34 simprr 771 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))
35 ltdivmul 12117 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท)) โ†’ ((๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต))))
3620, 33, 34, 35syl3anc 1368 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต))))
3719, 26, 363bitr4d 310 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” (๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930   class class class wbr 5143  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134  โ„cr 11135  0cc0 11136   ยท cmul 11141   < clt 11276   / cdiv 11899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-div 11900
This theorem is referenced by:  lt2mul2divd  13115  icopnfhmeo  24884  nmoleub2lem3  25058  dvcvx  25969  log2ub  26897  chebbnd1lem3  27420  subfaclim  34854
  Copyright terms: Public domain W3C validator