MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2mul2div Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2mul2div 12040
Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
lt2mul2div (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” (๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต)))

Proof of Theorem lt2mul2div
StepHypRef Expression
1 recn 11148 . . . . . . . . 9 (๐ถ โˆˆ โ„ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
2 recn 11148 . . . . . . . . 9 (๐ท โˆˆ โ„ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3 mulcom 11144 . . . . . . . . 9 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
41, 2, 3syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
54oveq1d 7377 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) = ((๐ท ยท ๐ถ) / ๐ต))
65adantl 483 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) = ((๐ท ยท ๐ถ) / ๐ต))
72ad2antll 728 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
81ad2antrl 727 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
9 recn 11148 . . . . . . . . . 10 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
109adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11 gt0ne0 11627 . . . . . . . . 9 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โ‰  0)
1210, 11jca 513 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
1312adantr 482 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0))
14 divass 11838 . . . . . . 7 ((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ) / ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต)))
157, 8, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ท ยท ๐ถ) / ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต)))
166, 15eqtrd 2777 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต)))
1716adantrrr 724 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต)))
1817adantll 713 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) = (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต)))
1918breq2d 5122 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ (๐ด < ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต))))
20 simpll 766 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
21 remulcl 11143 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
2221adantrr 716 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
2322adantl 483 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
24 simplr 768 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต))
25 ltmuldiv 12035 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ ยท ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” ๐ด < ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต)))
2620, 23, 24, 25syl3anc 1372 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” ๐ด < ((๐ถ ยท ๐ท) / ๐ต)))
27 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2827, 11jca 513 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0))
29 redivcl 11881 . . . . . . 7 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
30293expb 1121 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โ‰  0)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
3128, 30sylan2 594 . . . . 5 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
3231ancoms 460 . . . 4 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
3332ad2ant2lr 747 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„)
34 simprr 772 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))
35 ltdivmul 12037 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ / ๐ต) โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท)) โ†’ ((๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต))))
3620, 33, 34, 35syl3anc 1372 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต) โ†” ๐ด < (๐ท ยท (๐ถ / ๐ต))))
3719, 26, 363bitr4d 311 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ต)) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ท))) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) < (๐ถ ยท ๐ท) โ†” (๐ด / ๐ท) < (๐ถ / ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058   ยท cmul 11063   < clt 11196   / cdiv 11819
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820
This theorem is referenced by:  lt2mul2divd  13033  icopnfhmeo  24322  nmoleub2lem3  24494  dvcvx  25400  log2ub  26315  chebbnd1lem3  26835  subfaclim  33822
  Copyright terms: Public domain W3C validator