MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lt2mul2div Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lt2mul2div 12097
Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
lt2mul2div (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lt2mul2div
StepHypRef Expression
1 recn 11204 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
2 recn 11204 . . . . . . . . 9 (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
3 mulcom 11200 . . . . . . . . 9 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
41, 2, 3syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
54oveq1d 7427 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵))
65adantl 481 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵))
72ad2antll 726 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
81ad2antrl 725 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9 recn 11204 . . . . . . . . . 10 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
109adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
11 gt0ne0 11684 . . . . . . . . 9 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
1210, 11jca 511 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
1312adantr 480 . . . . . . 7 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
14 divass 11895 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
157, 8, 13, 14syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
166, 15eqtrd 2771 . . . . 5 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
1716adantrrr 722 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
1817adantll 711 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
1918breq2d 5160 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
20 simpll 764 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 remulcl 11199 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ)
2221adantrr 714 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ)
2322adantl 481 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ)
24 simplr 766 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
25 ltmuldiv 12092 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ 𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵)))
2620, 23, 24, 25syl3anc 1370 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ 𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵)))
27 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2827, 11jca 511 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
29 redivcl 11938 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
30293expb 1119 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
3128, 30sylan2 592 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
3231ancoms 458 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
3332ad2ant2lr 745 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
34 simprr 770 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
35 ltdivmul 12094 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
3620, 33, 34, 35syl3anc 1370 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
3719, 26, 363bitr4d 311 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939   class class class wbr 5148  (class class class)co 7412  cc 11112  cr 11113  0cc0 11114   · cmul 11119   < clt 11253   / cdiv 11876
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877
This theorem is referenced by:  lt2mul2divd  13090  icopnfhmeo  24689  nmoleub2lem3  24863  dvcvx  25773  log2ub  26691  chebbnd1lem3  27211  subfaclim  34478
  Copyright terms: Public domain W3C validator