Theorem lt2mul2div 11512

Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lt2mul2div	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lt2mul2div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 10621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
2		recn 10621	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
3		mulcom 10617	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
5	4	oveq1d 7165	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵))
6	5	adantl 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵))
7	2	ad2antll 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
8	1	ad2antrl 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9		recn 10621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		gt0ne0 11099	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
12	10, 11	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
13	12	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
14		divass 11310	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
15	7, 8, 13, 14	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
16	6, 15	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
17	16	adantrrr 723	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
18	17	adantll 712	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
19	18	breq2d 5071	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
20		simpll 765	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		remulcl 10616	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ)
22	21	adantrr 715	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ)
23	22	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ)
24		simplr 767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
25		ltmuldiv 11507	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ 𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵)))
26	20, 23, 24, 25	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ 𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵)))
27		simpl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	27, 11	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
29		redivcl 11353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
30	29	3expb 1116	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
31	28, 30	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
32	31	ancoms 461	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
33	32	ad2ant2lr 746	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
34		simprr 771	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
35		ltdivmul 11509	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
36	20, 33, 34, 35	syl3anc 1367	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
37	19, 26, 36	3bitr4d 313	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016   class class class wbr 5059  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531   · cmul 10536   < clt 10669   / cdiv 11291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292

This theorem is referenced by:  lt2mul2divd  12494  icopnfhmeo  23541  nmoleub2lem3  23713  dvcvx  24611  log2ub  25521  chebbnd1lem3  26041  subfaclim  32430