Theorem lt2mul2div 12094

Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by NM, 8-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
lt2mul2div	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Proof of Theorem lt2mul2div

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recn 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
2		recn 11191	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
3		mulcom 11187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
4	1, 2, 3	syl2an 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐷) = (𝐷 · 𝐶))
5	4	oveq1d 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵))
6	5	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵))
7	2	ad2antll 741	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
8	1	ad2antrl 740	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
9		recn 11191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
10	9	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
11		gt0ne0 11680	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
12	10, 11	jca 520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
13	12	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
14		divass 11891	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
15	7, 8, 13, 14	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐷 · 𝐶) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
16	6, 15	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
17	16	adantrrr 737	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
18	17	adantll 726	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) = (𝐷 · (𝐶 / 𝐵)))
19	18	breq2d 5122	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
20		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		remulcl 11186	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ)
22	21	adantrr 729	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ)
23	22	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ)
24		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵))
25		ltmuldiv 12089	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ 𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵)))
26	20, 23, 24, 25	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ 𝐴 < ((𝐶 · 𝐷) / 𝐵)))
27		simpl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
28	27, 11	jca 520	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
29		redivcl 11935	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
30	29	3expb 1138	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
31	28, 30	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
32	31	ancoms 463	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
33	32	ad2ant2lr 760	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ)
34		simprr 784	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))
35		ltdivmul 12091	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐶 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
36	20, 33, 34, 35	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵) ↔ 𝐴 < (𝐷 · (𝐶 / 𝐵))))
37	19, 26, 36	3bitr4d 314	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 · 𝐵) < (𝐶 · 𝐷) ↔ (𝐴 / 𝐷) < (𝐶 / 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   · cmul 11106   < clt 11244   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by:  lt2mul2divd  13130  icopnfhmeo  25083  nmoleub2lem3  25255  dvcvx  26160  log2ub  27092  chebbnd1lem3  27613  subfaclim  35658