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Theorem ioodvbdlimc1lem2 42093
Description: Limit at the lower bound of an open interval, for a function with bounded derivative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem2.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1lem2.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc1lem2.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
ioodvbdlimc1lem2.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
ioodvbdlimc1lem2.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc1lem2.dvbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
ioodvbdlimc1lem2.y 𝑌 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
ioodvbdlimc1lem2.m 𝑀 = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
ioodvbdlimc1lem2.s 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
ioodvbdlimc1lem2.r 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗)))
ioodvbdlimc1lem2.n 𝑁 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀)
ioodvbdlimc1lem2.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)))
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc1lem2 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐴))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑧,𝑦   𝐵,𝑗,𝑥,𝑧,𝑦   𝑗,𝐹,𝑥,𝑧,𝑦   𝑗,𝑀,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑧   𝑅,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑗,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥,𝑗,𝑧,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑗)   𝑅(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑦,𝑧,𝑗)

Proof of Theorem ioodvbdlimc1lem2
Dummy variables 𝑏 𝑘 𝑖 𝑙 𝑚 𝑤 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzssz 12252 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2 zssre 11976 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3973 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℝ)
5 ioodvbdlimc1lem2.m . . . . . . 7 𝑀 = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
6 ioodvbdlimc1lem2.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 ioodvbdlimc1lem2.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
86, 7resubcld 11056 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
9 ioodvbdlimc1lem2.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
107, 6posdifd 11215 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
119, 10mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1211gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
138, 12rereccld 11455 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
14 0red 10632 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
158, 11recgt0d 11562 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 / (𝐵𝐴)))
1614, 13, 15ltled 10776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (𝐵𝐴)))
17 flge0nn0 13178 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐵𝐴))) → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0)
1813, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0)
19 peano2nn0 11925 . . . . . . . 8 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
215, 20eqeltrid 2914 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2221nn0zd 12073 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 eqid 2818 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2423uzsup 13219 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → sup((ℤ𝑀), ℝ*, < ) = +∞)
2522, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup((ℤ𝑀), ℝ*, < ) = +∞)
26 ioodvbdlimc1lem2.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2726adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
287rexrd 10679 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
306rexrd 10679 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
327adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
33 eluzelre 12242 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
3433adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
35 0red 10632 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
36 0red 10632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 0 ∈ ℝ)
37 1red 10630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3836, 37readdcld 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (0 + 1) ∈ ℝ)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4036ltp1d 11558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 0 < (0 + 1))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < (0 + 1))
42 eluzel2 12236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4342zred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4513flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℤ)
4645zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
47 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4818nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))))
4914, 46, 47, 48leadd1dd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ≤ ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
5049, 5breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + 1) ≤ 𝑀)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ≤ 𝑀)
52 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑗)
5439, 44, 34, 51, 53letrd 10785 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
5535, 39, 34, 41, 54ltletrd 10788 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑗)
5655gt0ne0d 11192 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ≠ 0)
5734, 56rereccld 11455 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
5832, 57readdcld 10658 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
5934, 55elrpd 12416 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ+)
6059rpreccld 12429 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
6132, 60ltaddrpd 12452 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 < (𝐴 + (1 / 𝑗)))
6221nn0red 11944 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6314, 47readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
6446, 47readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
6514ltp1d 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
6614, 63, 64, 65, 49ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
6766, 5breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6867gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ≠ 0)
6962, 68rereccld 11455 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
7069adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
7132, 70readdcld 10658 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑀)) ∈ ℝ)
726adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
7362, 67elrpd 12416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
7473adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
75 1red 10630 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
76 0le1 11151 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
7776a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 1)
7874, 59, 75, 77, 53lediv2ad 12441 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑀))
7957, 70, 32, 78leadd2dd 11243 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ≤ (𝐴 + (1 / 𝑀)))
805eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) = 𝑀
8180oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . 12 (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) = (1 / 𝑀)
8281, 69eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ∈ ℝ)
8313, 15elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ+)
8464, 66elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℝ+)
85 1rp 12381 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
8685a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
87 fllelt 13155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ≤ (1 / (𝐵𝐴)) ∧ (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
8813, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ≤ (1 / (𝐵𝐴)) ∧ (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
8988simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
9083, 84, 86, 89ltdiv2dd 41437 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) < (1 / (1 / (𝐵𝐴))))
918recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
9291, 12recrecd 11401 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (1 / (𝐵𝐴))) = (𝐵𝐴))
9390, 92breqtrd 5083 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) < (𝐵𝐴))
9482, 8, 7, 93ltadd2dd 10787 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))) < (𝐴 + (𝐵𝐴)))
955oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . 12 (1 / 𝑀) = (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
9695oveq2i 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 + (1 / 𝑀)) = (𝐴 + (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 𝑀)) = (𝐴 + (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))))
987recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
996recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
10098, 99pncan3d 10988 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐴 + (𝐵𝐴)) = 𝐵)
101100eqcomd 2824 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 = (𝐴 + (𝐵𝐴)))
10294, 97, 1013brtr4d 5089 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐴 + (1 / 𝑀)) < 𝐵)
103102adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑀)) < 𝐵)
10458, 71, 72, 79, 103lelttrd 10786 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) < 𝐵)
10529, 31, 58, 61, 104eliood 41649 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
10627, 105ffvelrnd 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) ∈ ℝ)
107 ioodvbdlimc1lem2.s . . . . 5 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
108106, 107fmptd 6870 . . . 4 (𝜑𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
109 ioodvbdlimc1lem2.dmdv . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
110 ioodvbdlimc1lem2.dvbd . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
1117, 6, 9, 26, 109, 110dvbdfbdioo 42091 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
11262adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → 𝑀 ∈ ℝ)
113 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
114107fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) ∈ ℝ) → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
115113, 106, 114syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
116115fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))))
117116adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))))
118 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
119105adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
120 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐴 + (1 / 𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))))
121120breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐴 + (1 / 𝑗)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏))
122121rspccva 3619 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ∧ (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏)
123118, 119, 122syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏)
124117, 123eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)
125124a1d 25 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
126125ralrimiva 3179 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
127 breq1 5060 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑗𝑀𝑗))
128127imbi1d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ (𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
129128ralbidv 3194 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
130129rspcev 3620 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
131112, 126, 130syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
132131ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
133132reximdv 3270 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
134111, 133mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
1354, 25, 108, 134limsupre 41798 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℝ)
136135recnd 10657 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℂ)
137 eluzelre 12242 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
138137adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
139 0red 10632 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
14045peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℤ)
1415, 140eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
142141adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
143142zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
144143adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14567ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 𝑀)
146 ioodvbdlimc1lem2.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀)
147 ioodvbdlimc1lem2.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑌 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
148 ioomidp 41666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
1497, 6, 9, 148syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
150 ne0i 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
151149, 150syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
152 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
153152a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
154 dvfre 24475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
15526, 153, 154syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
156109feq2d 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
157155, 156mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
158157ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
159158recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
160159abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
161 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
162 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
163151, 160, 110, 161, 162suprnmpt 41306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )))
164163simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
165147, 164eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
166165adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℝ)
167 rpre 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
168167rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
169168adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
170167recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
171170adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
172 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
173 rpne0 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
174173adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
175 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
176175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
177171, 172, 174, 176divne0d 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ≠ 0)
178166, 169, 177redivcld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
179178flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℤ)
180179peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
181180, 142ifcld 4508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
182146, 181eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
183182zred 12075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ)
184183adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
185180zred 12075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
186 max1 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
187143, 185, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
188187, 146breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀𝑁)
189188adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑁)
190 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑗)
191190adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑗)
192144, 184, 138, 189, 191letrd 10785 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑗)
193139, 144, 138, 145, 192ltletrd 10788 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 𝑗)
194193gt0ne0d 11192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ≠ 0)
195138, 194rereccld 11455 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
196138, 193recgt0d 11562 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < (1 / 𝑗))
197195, 196elrpd 12416 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
198197adantr 481 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
199 ioodvbdlimc1lem2.ch . . . . . . . . 9 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)))
200199biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)))
201 simp-5l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → 𝜑)
202200, 201syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝜑)
203202, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
204200simplrd 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
205203, 204ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
206205recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
207202, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
208 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
209200, 208syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑥 ∈ ℝ+)
210 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
211142, 182, 188, 210syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
212202, 209, 211syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
213 uzss 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
214212, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
215 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
216200, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
217214, 216sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
218207, 217ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑆𝑗) ∈ ℝ)
219218recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑆𝑗) ∈ ℂ)
220202, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℂ)
221206, 219, 220npncand 11009 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) = ((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆)))
222221eqcomd 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆)) = (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))))
223222fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))))
224205, 218resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) ∈ ℝ)
225202, 135syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℝ)
226218, 225resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) ∈ ℝ)
227224, 226readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℝ)
228227recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℂ)
229228abscld 14784 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ∈ ℝ)
230224recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) ∈ ℂ)
231230abscld 14784 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) ∈ ℝ)
232226recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) ∈ ℂ)
233232abscld 14784 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℝ)
234231, 233readdcld 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ∈ ℝ)
235209rpred 12419 . . . . . . . . . . 11 (𝜒𝑥 ∈ ℝ)
236230, 232abstrid 14804 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))))
237235rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
238206, 219abssubd 14801 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) = (abs‘((𝑆𝑗) − (𝐹𝑧))))
239202, 217, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))))
240239fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))))
241202, 217, 106syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) ∈ ℝ)
242241, 205resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
243242recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
244243abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))) ∈ ℝ)
245202, 165syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑌 ∈ ℝ)
246202, 217, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
247152, 204sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑧 ∈ ℝ)
248246, 247resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧) ∈ ℝ)
249245, 248remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧)) ∈ ℝ)
250202, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐴 ∈ ℝ)
251202, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐵 ∈ ℝ)
252202, 109syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
253163simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
254147breq2i 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
255254ralbii 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
256253, 255sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
257202, 256syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
258 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑤 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
259258breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌))
260259cbvralvw 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
261257, 260sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌)
262247rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑧 ∈ ℝ*)
263202, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝐵 ∈ ℝ*)
264247, 250resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑧𝐴) ∈ ℝ)
265264recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑧𝐴) ∈ ℂ)
266265abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (abs‘(𝑧𝐴)) ∈ ℝ)
2673, 217sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑗 ∈ ℝ)
268202, 217, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑗 ≠ 0)
269267, 268rereccld 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
270264leabsd 14762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑧𝐴) ≤ (abs‘(𝑧𝐴)))
271200simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗))
272264, 266, 269, 270, 271lelttrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑧𝐴) < (1 / 𝑗))
273247, 250, 269ltsubadd2d 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝑧𝐴) < (1 / 𝑗) ↔ 𝑧 < (𝐴 + (1 / 𝑗))))
274272, 273mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝑧 < (𝐴 + (1 / 𝑗)))
275202, 217, 104syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) < 𝐵)
276262, 263, 246, 274, 275eliood 41649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ (𝑧(,)𝐵))
277250, 251, 203, 252, 245, 261, 204, 276dvbdfbdioolem1 42089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ((abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))) ≤ (𝑌 · ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧)) ∧ (abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))) ≤ (𝑌 · (𝐵𝐴))))
278277simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))) ≤ (𝑌 · ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧)))
279202, 217, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
280245, 279remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
281157, 149ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
282281recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
283282abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
284282absge0d 14792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
285 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
286147eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = 𝑌
287286a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = 𝑌)
288285, 287breq12d 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌))
289288rspcva 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌)
290149, 253, 289syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌)
29114, 283, 165, 284, 290letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
292202, 291syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 0 ≤ 𝑌)
293202, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝐴 ∈ ℝ*)
294 ioogtlb 41646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝐴 < 𝑧)
295293, 263, 204, 294syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝐴 < 𝑧)
296250, 247, 246, 295ltsub2dd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧) < ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝐴))
297202, 98syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒𝐴 ∈ ℂ)
298279recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℂ)
299297, 298pncan2d 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝐴) = (1 / 𝑗))
300296, 299breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧) < (1 / 𝑗))
301248, 269, 300ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧) ≤ (1 / 𝑗))
302248, 269, 245, 292, 301lemul2ad 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑌 · ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧)) ≤ (𝑌 · (1 / 𝑗)))
303280adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
304237adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
305 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑌 = 0 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) = (0 · (1 / 𝑗)))
306298mul02d 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (0 · (1 / 𝑗)) = 0)
307305, 306sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) = 0)
308209rphalfcld 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
309308rpgt0d 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → 0 < (𝑥 / 2))
310309adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒𝑌 = 0) → 0 < (𝑥 / 2))
311307, 310eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) < (𝑥 / 2))
312303, 304, 311ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
313245adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ ℝ)
314292adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 0 ≤ 𝑌)
315 neqne 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑌 = 0 → 𝑌 ≠ 0)
316315adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
317313, 314, 316ne0gt0d 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 0 < 𝑌)
318280adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
3193, 212sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑁 ∈ ℝ)
320 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
321202, 209, 143syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑀 ∈ ℝ)
322202, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → 0 < 𝑀)
323202, 209, 188syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑀𝑁)
324320, 321, 319, 322, 323ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 0 < 𝑁)
325324gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑁 ≠ 0)
326319, 325rereccld 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
327245, 326remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
328327adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
329237adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
330279adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
331326adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
332245adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
333292adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 ≤ 𝑌)
334319, 324elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑁 ∈ ℝ+)
335202, 217, 59syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑗 ∈ ℝ+)
336 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → 1 ∈ ℝ)
33776a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → 0 ≤ 1)
338216, 190syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒𝑁𝑗)
339334, 335, 336, 337, 338lediv2ad 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑁))
340339adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑁))
341330, 331, 332, 333, 340lemul2ad 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑌 · (1 / 𝑁)))
342235recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒𝑥 ∈ ℂ)
343 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → 2 ∈ ℂ)
344209rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒𝑥 ≠ 0)
345175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → 2 ≠ 0)
346342, 343, 344, 345divne0d 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → (𝑥 / 2) ≠ 0)
347245, 237, 346redivcld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
348347adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
349 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < 𝑌)
350309adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < (𝑥 / 2))
351332, 329, 349, 350divgt0d 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < (𝑌 / (𝑥 / 2)))
352348, 351elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ+)
353352rprecred 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℝ)
354334adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑁 ∈ ℝ+)
355 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 1 ∈ ℝ)
35676a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 ≤ 1)
357347flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜒 → (⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℤ)
358357peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
359358zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
360202, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (𝜒𝑀 ∈ ℤ)
361358, 360ifcld 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜒 → if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
362146, 361eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒𝑁 ∈ ℤ)
363362zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑁 ∈ ℝ)
364 flltp1 13158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1))
365347, 364syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1))
366202, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜒𝑀 ∈ ℝ)
367 max2 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
368366, 359, 367syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
369368, 146breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ 𝑁)
370347, 359, 363, 365, 369ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < 𝑁)
371347, 319, 370ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≤ 𝑁)
372371adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≤ 𝑁)
373352, 354, 355, 356, 372lediv2ad 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2))))
374331, 353, 332, 333, 373lemul2ad 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ≤ (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))))
375332recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
376348recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
377351gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≠ 0)
378375, 376, 377divrecd 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) = (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))))
379329recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
380349gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ≠ 0)
381346adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ≠ 0)
382375, 379, 380, 381ddcand 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) = (𝑥 / 2))
383378, 382eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))) = (𝑥 / 2))
384374, 383breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ≤ (𝑥 / 2))
385318, 328, 329, 341, 384letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
386317, 385syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
387312, 386pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
388249, 280, 237, 302, 387letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · ((𝐴 + (1 / 𝑗)) − 𝑧)) ≤ (𝑥 / 2))
389244, 249, 237, 278, 388letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘((𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) − (𝐹𝑧))) ≤ (𝑥 / 2))
390240, 389eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (𝐹𝑧))) ≤ (𝑥 / 2))
391238, 390eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) ≤ (𝑥 / 2))
392 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
393200, 392syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
394231, 233, 237, 237, 391, 393leltaddd 11250 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
3953422halvesd 11871 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
396394, 395breqtrd 5083 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < 𝑥)
397229, 234, 235, 236, 396lelttrd 10786 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < 𝑥)
398223, 397eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
399199, 398sylbir 236 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
400399adantrl 712 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗))) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
401400ex 413 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
402401ralrimiva 3179 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
403 brimralrspcev 5118 . . . . 5 (((1 / 𝑗) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
404198, 402, 403syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
405 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
406405iftrued 4471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑁)
407 uzid 12246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
408182, 407syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
409408adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
410406, 409eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
411410adantlr 711 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
412 iffalse 4472 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑁 → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑏)
413412adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑏)
414182ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
415 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ ℤ)
416414zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
417415zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ ℝ)
418 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → ¬ 𝑏𝑁)
419416, 417ltnled 10775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → (𝑁 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑁))
420418, 419mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 < 𝑏)
421416, 417, 420ltled 10776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁𝑏)
422 eluz2 12237 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑏))
423414, 415, 421, 422syl3anbrc 1335 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑁))
424413, 423eqeltrd 2910 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
425411, 424pm2.61dan 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
426425adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
427 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
428 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
429182adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
430429, 428ifcld 4508 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ ℤ)
431428zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
432429zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
433 max1 12566 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏))
434431, 432, 433syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏))
435 eluz2 12237 . . . . . . . . . 10 (if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
436428, 430, 434, 435syl3anbrc 1335 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏))
437436adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏))
438 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (𝑆𝑐) = (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
439438eleq1d 2894 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((𝑆𝑐) ∈ ℂ ↔ (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ))
440438fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))))
441440breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
442439, 441anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
443442rspccva 3619 . . . . . . . 8 ((∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏)) → ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
444427, 437, 443syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
445444simprd 496 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
446 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (𝑆𝑗) = (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
447446fvoveq1d 7167 . . . . . . . 8 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))))
448447breq1d 5067 . . . . . . 7 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
449448rspcev 3620 . . . . . 6 ((if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁) ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
450426, 445, 449syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
451 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
452451a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45326, 452fssd 6521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
454 dvcn 24445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
455452, 453, 153, 109, 454syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
456 cncffvrn 23433 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
457452, 455, 456syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
45826, 457mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
459 ioodvbdlimc1lem2.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗)))
460105, 459fmptd 6870 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
461 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))
462 climrel 14837 . . . . . . . . . . . . 13 Rel ⇝
463462a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Rel ⇝ )
464 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ∈ V
465464mptex 6977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴) ∈ V
466465a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴) ∈ V)
467 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴))
468 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐴 = 𝐴)
469 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
4707adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
471467, 468, 469, 470fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴)‘𝑚) = 𝐴)
47223, 141, 466, 98, 471climconst 14888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴) ⇝ 𝐴)
473464mptex 6977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐴 + (1 / 𝑗))) ∈ V
474459, 473eqeltri 2906 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 ∈ V
475474a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ V)
476 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
477 elnnnn0b 11929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑀))
47821, 67, 477sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
479 divcnvg 41784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) ⇝ 0)
480476, 478, 479syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) ⇝ 0)
481 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴))
482 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝐴 = 𝐴)
483 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
485481, 482, 483, 484fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴)‘𝑖) = 𝐴)
48698adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℂ)
487485, 486eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴)‘𝑖) ∈ ℂ)
488 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)))
489 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑖))
490489adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑖))
4913, 483sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
492 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
49362adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
49467adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑀)
495 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑖)
496495adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑖)
497492, 493, 491, 494, 496ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑖)
498497gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ≠ 0)
499491, 498rereccld 11455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
500488, 490, 483, 499fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖) = (1 / 𝑖))
501491recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℂ)
502501, 498reccld 11397 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑖) ∈ ℂ)
503500, 502eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖) ∈ ℂ)
504489oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑖 → (𝐴 + (1 / 𝑗)) = (𝐴 + (1 / 𝑖)))
505484, 499readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑖)) ∈ ℝ)
506459, 504, 483, 505fvmptd3 6783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑖) = (𝐴 + (1 / 𝑖)))
507485, 500oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴)‘𝑖) + ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖)) = (𝐴 + (1 / 𝑖)))
508506, 507eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑖) = (((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐴)‘𝑖) + ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖)))
50923, 141, 472, 475, 480, 487, 503, 508climadd 14976 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ⇝ (𝐴 + 0))
51098addid1d 10828 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐴 + 0) = 𝐴)
511509, 510breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐴)
512 releldm 5807 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel ⇝ ∧ 𝑅𝐴) → 𝑅 ∈ dom ⇝ )
513463, 511, 512syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ dom ⇝ )
514 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑘 → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑘))
515 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑘 → (𝑅𝑙) = (𝑅𝑘))
516515oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑅) − (𝑅𝑙)) = ((𝑅) − (𝑅𝑘)))
517516fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) = (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))))
518517breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
519514, 518raleqbidv 3399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑘 → (∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
520519cbvrabv 3489 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
521 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = 𝑖 → (𝑅) = (𝑅𝑖))
522521fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑖 → (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) = (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))))
523522breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑖 → ((abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
524523cbvralvw 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
525524rgenw 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
526 rabbi 3381 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))) ↔ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
527525, 526mpbi 231 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
528520, 527eqtri 2841 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
529528infeq1i 8930 . . . . . . . . . . 11 inf({𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < )
5307, 6, 9, 458, 109, 110, 22, 460, 461, 513, 529ioodvbdlimc1lem1 42092 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))))
531459fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐴 + (1 / 𝑗)) ∈ ℝ) → (𝑅𝑗) = (𝐴 + (1 / 𝑗)))
532113, 58, 531syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑗) = (𝐴 + (1 / 𝑗)))
533532eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐴 + (1 / 𝑗)) = (𝑅𝑗))
534533fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗))) = (𝐹‘(𝑅𝑗)))
535534mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
536107, 535syl5eq 2865 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
537536fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) = (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))))
538530, 536, 5373brtr4d 5089 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆))
539464mptex 6977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐴 + (1 / 𝑗)))) ∈ V
540107, 539eqeltri 2906 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ∈ V
541540a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ V)
542 eqidd 2819 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ℤ) → (𝑆𝑐) = (𝑆𝑐))
543541, 542clim 14839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆) ↔ ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))))
544538, 543mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎)))
545544simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))
546545adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))
547 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
548547rphalfcld 12431 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
549 breq2 5061 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑥 / 2) → ((abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
550549anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑥 / 2) → (((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ↔ ((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
551550rexralbidv 3298 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑥 / 2) → (∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
552551rspccva 3619 . . . . . 6 ((∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
553546, 548, 552syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
554450, 553r19.29a 3286 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
555404, 554r19.29a 3286 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
556555ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
557 ioosscn 41645 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
558557a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
559453, 558, 98ellimc3 24404 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐴) ↔ ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐴 ∧ (abs‘(𝑧𝐴)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))))
560136, 556, 559mpbir2and 709 1 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  Rel wrel 5553  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  supcsup 8892  infcinf 8893  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  (,)cioo 12726  cfl 13148  abscabs 14581  lim supclsp 14815  cli 14829  cnccncf 23411   lim climc 24387   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc1  42094
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