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Theorem ioodvbdlimc2lem 45949
Description: Limit at the upper bound of an open interval, for a function with bounded derivative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc2lem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc2lem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc2lem.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
ioodvbdlimc2lem.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
ioodvbdlimc2lem.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc2lem.dvbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
ioodvbdlimc2lem.y 𝑌 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
ioodvbdlimc2lem.m 𝑀 = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
ioodvbdlimc2lem.s 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
ioodvbdlimc2lem.r 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
ioodvbdlimc2lem.n 𝑁 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀)
ioodvbdlimc2lem.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)))
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc2lem (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑌   𝜑,𝑦,𝑧   𝑅,𝑗,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑧   𝑦,𝑀,𝑥,𝑗   𝑦,𝑆,𝑗,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧,𝑥,𝑗   𝐴,𝑗   𝑥,𝑆   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑧,𝐹,𝑗,𝑥,𝑦   𝜑,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑗)   𝑅(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑦,𝑧,𝑗)

Proof of Theorem ioodvbdlimc2lem
Dummy variables 𝑏 𝑘 𝑤 𝑚 𝑖 𝑎 𝑐 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzssz 12899 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2 zssre 12620 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3993 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℝ)
5 ioodvbdlimc2lem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
6 ioodvbdlimc2lem.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 ioodvbdlimc2lem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
86, 7resubcld 11691 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
9 ioodvbdlimc2lem.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
107, 6posdifd 11850 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
119, 10mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1211gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
138, 12rereccld 12094 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
14 0red 11264 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
158, 11recgt0d 12202 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 / (𝐵𝐴)))
1614, 13, 15ltled 11409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (𝐵𝐴)))
17 flge0nn0 13860 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐵𝐴))) → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0)
1813, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0)
19 peano2nn0 12566 . . . . . . . 8 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
215, 20eqeltrid 2845 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2221nn0zd 12639 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 eqid 2737 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2423uzsup 13903 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → sup((ℤ𝑀), ℝ*, < ) = +∞)
2522, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup((ℤ𝑀), ℝ*, < ) = +∞)
26 ioodvbdlimc2lem.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2726adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
287rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2928adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
306rexrd 11311 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3130adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
326adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
33 eluzelre 12889 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
3433adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
35 0red 11264 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
36 0red 11264 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 0 ∈ ℝ)
37 1red 11262 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3836, 37readdcld 11290 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (0 + 1) ∈ ℝ)
3938adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4036ltp1d 12198 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 0 < (0 + 1))
4140adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < (0 + 1))
42 eluzel2 12883 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4342zred 12722 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4443adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4513flcld 13838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℤ)
4645zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
47 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4818nn0ge0d 12590 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))))
4914, 46, 47, 48leadd1dd 11877 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ≤ ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
5049, 5breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + 1) ≤ 𝑀)
5150adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ≤ 𝑀)
52 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
5352adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑗)
5439, 44, 34, 51, 53letrd 11418 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
5535, 39, 34, 41, 54ltletrd 11421 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑗)
5655gt0ne0d 11827 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ≠ 0)
5734, 56rereccld 12094 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
5832, 57resubcld 11691 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
597adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6021nn0red 12588 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6114, 47readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
6246, 47readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
6314ltp1d 12198 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
6414, 61, 62, 63, 49ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
6564, 5breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6665gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ≠ 0)
6760, 66rereccld 12094 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
6867adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
6932, 68resubcld 11691 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑀)) ∈ ℝ)
705eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) = 𝑀
7170oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) = (1 / 𝑀)
7271, 67eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ∈ ℝ)
7313, 15elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ+)
7462, 64elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℝ+)
75 1rp 13038 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
77 fllelt 13837 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ≤ (1 / (𝐵𝐴)) ∧ (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
7813, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ≤ (1 / (𝐵𝐴)) ∧ (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
7978simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
8073, 74, 76, 79ltdiv2dd 45306 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) < (1 / (1 / (𝐵𝐴))))
818recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
8281, 12recrecd 12040 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (1 / (𝐵𝐴))) = (𝐵𝐴))
8380, 82breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) < (𝐵𝐴))
8472, 8, 6, 83ltsub2dd 11876 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) < (𝐵 − (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))))
856recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
867recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8785, 86nncand 11625 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
8871oveq2i 7442 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 − (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))) = (𝐵 − (1 / 𝑀))
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))) = (𝐵 − (1 / 𝑀)))
9084, 87, 893brtr3d 5174 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝐵 − (1 / 𝑀)))
9190adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 < (𝐵 − (1 / 𝑀)))
9260, 65elrpd 13074 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
9392adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
9434, 55elrpd 13074 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ+)
95 1red 11262 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
96 0le1 11786 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 1)
9893, 94, 95, 97, 53lediv2ad 13099 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑀))
9957, 68, 32, 98lesub2dd 11880 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑀)) ≤ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
10059, 69, 58, 91, 99ltletrd 11421 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 < (𝐵 − (1 / 𝑗)))
10194rpreccld 13087 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
10232, 101ltsubrpd 13109 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) < 𝐵)
10329, 31, 58, 100, 102eliood 45511 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
10427, 103ffvelcdmd 7105 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ ℝ)
105 ioodvbdlimc2lem.s . . . . 5 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
106104, 105fmptd 7134 . . . 4 (𝜑𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
107 ioodvbdlimc2lem.dmdv . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
108 ioodvbdlimc2lem.dvbd . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
1097, 6, 9, 26, 107, 108dvbdfbdioo 45945 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
11060adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → 𝑀 ∈ ℝ)
111 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
112105fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ ℝ) → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
113111, 104, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
114113fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) = (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
115114adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) = (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
116 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
117103adantlr 715 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
118 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵 − (1 / 𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
119118breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵 − (1 / 𝑗)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏))
120119rspccva 3621 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ∧ (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏)
121116, 117, 120syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏)
122115, 121eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)
123122a1d 25 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
124123ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
125 breq1 5146 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑗𝑀𝑗))
126125imbi1d 341 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ (𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
127126ralbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
128127rspcev 3622 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
129110, 124, 128syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
130129ex 412 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
131130reximdv 3170 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
132109, 131mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
1334, 25, 106, 132limsupre 45656 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℝ)
134133recnd 11289 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℂ)
135 eluzelre 12889 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
136135adantl 481 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
137 0red 11264 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
13845peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℤ)
1395, 138eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
140139adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
141140zred 12722 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
142141adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14365ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 𝑀)
144 ioodvbdlimc2lem.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀)
145 ioodvbdlimc2lem.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑌 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
146 ioomidp 45527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
1477, 6, 9, 146syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
148 ne0i 4341 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
150 ioossre 13448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
152 dvfre 25989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
15326, 151, 152syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
154107feq2d 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
155153, 154mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
156155ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
157156recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
158157abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
159 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
160 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
161149, 158, 108, 159, 160suprnmpt 45179 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )))
162161simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
163145, 162eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
164163adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℝ)
165 rpre 13043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
166165rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
167166adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
168165recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
169168adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
170 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
171 rpne0 13051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
172171adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
173 2ne0 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
175169, 170, 172, 174divne0d 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ≠ 0)
176164, 167, 175redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
177176flcld 13838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℤ)
178177peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
179178, 140ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
180144, 179eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
181180zred 12722 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ)
182181adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
183178zred 12722 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
184 max1 13227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
185141, 183, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
186185, 144breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀𝑁)
187186adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑁)
188 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑗)
189188adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑗)
190142, 182, 136, 187, 189letrd 11418 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑗)
191137, 142, 136, 143, 190ltletrd 11421 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 𝑗)
192191gt0ne0d 11827 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ≠ 0)
193136, 192rereccld 12094 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
194136, 191recgt0d 12202 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < (1 / 𝑗))
195193, 194elrpd 13074 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
196195adantr 480 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
197 ioodvbdlimc2lem.ch . . . . . . . . 9 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)))
198197biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)))
199 simp-5l 785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → 𝜑)
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝜑)
201200, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
202198simplrd 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
203201, 202ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
204203recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
205200, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
206 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
207198, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑥 ∈ ℝ+)
208 eluz2 12884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
209140, 180, 186, 208syl3anbrc 1344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
210200, 207, 209syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
211 uzss 12901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
213 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
214198, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
215212, 214sseldd 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
216205, 215ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑆𝑗) ∈ ℝ)
217216recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑆𝑗) ∈ ℂ)
218200, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℂ)
219204, 217, 218npncand 11644 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) = ((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆)))
220219eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆)) = (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))))
221220fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))))
222203, 216resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) ∈ ℝ)
223200, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℝ)
224216, 223resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) ∈ ℝ)
225222, 224readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℝ)
226225recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℂ)
227226abscld 15475 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ∈ ℝ)
228222recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) ∈ ℂ)
229228abscld 15475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) ∈ ℝ)
230224recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) ∈ ℂ)
231230abscld 15475 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℝ)
232229, 231readdcld 11290 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ∈ ℝ)
233207rpred 13077 . . . . . . . . . . 11 (𝜒𝑥 ∈ ℝ)
234228, 230abstrid 15495 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))))
235233rehalfcld 12513 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
236200, 215, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
237236oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
238237fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))))
239238, 229eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ∈ ℝ)
240200, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑌 ∈ ℝ)
241150, 202sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑧 ∈ ℝ)
242200, 215, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
243241, 242resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ ℝ)
244240, 243remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ∈ ℝ)
245200, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝐴 ∈ ℝ)
246200, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝐵 ∈ ℝ)
247200, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
248161simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
249145breq2i 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
250249ralbii 3093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
251248, 250sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
252200, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
253 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
254253breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌))
255254cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
256252, 255sylibr 234 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌)
257200, 215, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
258242rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ*)
259200, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐵 ∈ ℝ*)
2603, 215sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑗 ∈ ℝ)
261200, 215, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑗 ≠ 0)
262260, 261rereccld 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
263246, 241resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝐵𝑧) ∈ ℝ)
264241, 246resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑧𝐵) ∈ ℝ)
265264recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
266265abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
267263leabsd 15453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝐵𝑧) ≤ (abs‘(𝐵𝑧)))
268200, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝐵 ∈ ℂ)
269241recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑧 ∈ ℂ)
270268, 269abssubd 15492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (abs‘(𝐵𝑧)) = (abs‘(𝑧𝐵)))
271267, 270breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝐵𝑧) ≤ (abs‘(𝑧𝐵)))
272198simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗))
273263, 266, 262, 271, 272lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝐵𝑧) < (1 / 𝑗))
274246, 241, 262, 273ltsub23d 11868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) < 𝑧)
275200, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝐴 ∈ ℝ*)
276 iooltub 45523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
277275, 259, 202, 276syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑧 < 𝐵)
278258, 259, 241, 274, 277eliood 45511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑧 ∈ ((𝐵 − (1 / 𝑗))(,)𝐵))
279245, 246, 201, 247, 240, 256, 257, 278dvbdfbdioolem1 45943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑌 · (𝐵𝐴))))
280279simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))))
281200, 215, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
282240, 281remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
283155, 147ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
284283recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
285284abscld 15475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
286284absge0d 15483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
287 2fveq3 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
288145eqcomi 2746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = 𝑌
289288a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = 𝑌)
290287, 289breq12d 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌))
291290rspcva 3620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌)
292147, 248, 291syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌)
29314, 285, 163, 286, 292letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
294200, 293syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 0 ≤ 𝑌)
295281recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℂ)
296 sub31 45302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑗) ∈ ℂ) → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) = ((1 / 𝑗) − (𝐵𝑧)))
297269, 268, 295, 296syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) = ((1 / 𝑗) − (𝐵𝑧)))
298241, 246posdifd 11850 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝑧)))
299277, 298mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → 0 < (𝐵𝑧))
300263, 299elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝐵𝑧) ∈ ℝ+)
301281, 300ltsubrpd 13109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((1 / 𝑗) − (𝐵𝑧)) < (1 / 𝑗))
302297, 301eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) < (1 / 𝑗))
303243, 281, 302ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) ≤ (1 / 𝑗))
304243, 281, 240, 294, 303lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ (𝑌 · (1 / 𝑗)))
305282adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
306235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
307 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌 = 0 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) = (0 · (1 / 𝑗)))
308295mul02d 11459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (0 · (1 / 𝑗)) = 0)
309307, 308sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) = 0)
310207rphalfcld 13089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
311310rpgt0d 13080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 0 < (𝑥 / 2))
312311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → 0 < (𝑥 / 2))
313309, 312eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) < (𝑥 / 2))
314305, 306, 313ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
315240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ ℝ)
316294adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 0 ≤ 𝑌)
317 neqne 2948 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑌 = 0 → 𝑌 ≠ 0)
318317adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
319315, 316, 318ne0gt0d 11398 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 0 < 𝑌)
320282adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
3213, 210sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁 ∈ ℝ)
322 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
323200, 207, 141syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑀 ∈ ℝ)
324200, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 0 < 𝑀)
325200, 207, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑀𝑁)
326322, 323, 321, 324, 325ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → 0 < 𝑁)
327326gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁 ≠ 0)
328321, 327rereccld 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
329240, 328remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
330329adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
331235adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
332281adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
333328adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
334240adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
335294adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 ≤ 𝑌)
336321, 326elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁 ∈ ℝ+)
337200, 215, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑗 ∈ ℝ+)
338 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → 1 ∈ ℝ)
33996a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → 0 ≤ 1)
340214, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁𝑗)
341336, 337, 338, 339, 340lediv2ad 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑁))
342341adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑁))
343332, 333, 334, 335, 342lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑌 · (1 / 𝑁)))
344233recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑥 ∈ ℂ)
345 2cnd 12344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → 2 ∈ ℂ)
346207rpne0d 13082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑥 ≠ 0)
347173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → 2 ≠ 0)
348344, 345, 346, 347divne0d 12059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑥 / 2) ≠ 0)
349240, 235, 348redivcld 12095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
350349adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
351 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < 𝑌)
352311adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < (𝑥 / 2))
353334, 331, 351, 352divgt0d 12203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < (𝑌 / (𝑥 / 2)))
354350, 353elrpd 13074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ+)
355354rprecred 13088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℝ)
356336adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑁 ∈ ℝ+)
357 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 1 ∈ ℝ)
35896a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 ≤ 1)
359349flcld 13838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → (⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℤ)
360359peano2zd 12725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
361360zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
362200, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜒𝑀 ∈ ℤ)
363360, 362ifcld 4572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
364144, 363eqeltrid 2845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑁 ∈ ℤ)
365364zred 12722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑁 ∈ ℝ)
366 flltp1 13840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1))
367349, 366syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1))
368200, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒𝑀 ∈ ℝ)
369 max2 13229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
370368, 361, 369syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
371370, 144breqtrrdi 5185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ 𝑁)
372349, 361, 365, 367, 371ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < 𝑁)
373349, 321, 372ltled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≤ 𝑁)
374373adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≤ 𝑁)
375354, 356, 357, 358, 374lediv2ad 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2))))
376333, 355, 334, 335, 375lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ≤ (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))))
377334recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
378350recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
379353gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≠ 0)
380377, 378, 379divrecd 12046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) = (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))))
381331recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
382351gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ≠ 0)
383348adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ≠ 0)
384377, 381, 382, 383ddcand 12063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) = (𝑥 / 2))
385380, 384eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))) = (𝑥 / 2))
386376, 385breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ≤ (𝑥 / 2))
387320, 330, 331, 343, 386letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
388319, 387syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
389314, 388pm2.61dan 813 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
390244, 282, 235, 304, 389letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ (𝑥 / 2))
391239, 244, 235, 280, 390letrd 11418 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑥 / 2))
392238, 391eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) ≤ (𝑥 / 2))
393 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
394198, 393syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
395229, 231, 235, 235, 392, 394leltaddd 11885 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
3963442halvesd 12512 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
397395, 396breqtrd 5169 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < 𝑥)
398227, 232, 233, 234, 397lelttrd 11419 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < 𝑥)
399221, 398eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
400197, 399sylbir 235 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
401400adantrl 716 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗))) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
402401ex 412 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
403402ralrimiva 3146 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
404 brimralrspcev 5204 . . . . 5 (((1 / 𝑗) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
405196, 403, 404syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
406 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
407406iftrued 4533 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑁)
408 uzid 12893 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
409180, 408syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
410409adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
411407, 410eqeltrd 2841 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
412411adantlr 715 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
413 iffalse 4534 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑁 → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑏)
414413adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑏)
415180ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
416 simplr 769 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ ℤ)
417415zred 12722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
418416zred 12722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ ℝ)
419 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → ¬ 𝑏𝑁)
420417, 418ltnled 11408 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → (𝑁 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑁))
421419, 420mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 < 𝑏)
422417, 418, 421ltled 11409 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁𝑏)
423 eluz2 12884 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑏))
424415, 416, 422, 423syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑁))
425414, 424eqeltrd 2841 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
426412, 425pm2.61dan 813 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
427426adantr 480 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
428 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
429 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
430180adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
431430, 429ifcld 4572 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ ℤ)
432429zred 12722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
433430zred 12722 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
434 max1 13227 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏))
435432, 433, 434syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏))
436 eluz2 12884 . . . . . . . . . 10 (if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
437429, 431, 435, 436syl3anbrc 1344 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏))
438437adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏))
439 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (𝑆𝑐) = (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
440439eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((𝑆𝑐) ∈ ℂ ↔ (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ))
441439fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))))
442441breq1d 5153 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
443440, 442anbi12d 632 . . . . . . . . 9 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
444443rspccva 3621 . . . . . . . 8 ((∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏)) → ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
445428, 438, 444syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
446445simprd 495 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
447 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (𝑆𝑗) = (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
448447fvoveq1d 7453 . . . . . . . 8 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))))
449448breq1d 5153 . . . . . . 7 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
450449rspcev 3622 . . . . . 6 ((if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁) ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
451427, 446, 450syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
452 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
453452a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45426, 453fssd 6753 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
455 dvcn 25957 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
456453, 454, 151, 107, 455syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
457 cncfcdm 24924 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
458453, 456, 457syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
45926, 458mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
460 ioodvbdlimc2lem.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
461103, 460fmptd 7134 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
462 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))
463 climrel 15528 . . . . . . . . . . . . 13 Rel ⇝
464463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Rel ⇝ )
465 fvex 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ∈ V
466465mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) ∈ V
467466a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) ∈ V)
468 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵))
469 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐵 = 𝐵)
470 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
4716adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
472468, 469, 470, 471fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑚) = 𝐵)
47323, 22, 467, 85, 472climconst 15579 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) ⇝ 𝐵)
474465mptex 7243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ V
475460, 474eqeltri 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 ∈ V
476475a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ V)
477 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
478 elnnnn0b 12570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑀))
47921, 65, 478sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
480 divcnvg 45642 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) ⇝ 0)
481477, 479, 480syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) ⇝ 0)
482 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵))
483 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝐵 = 𝐵)
484 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
4856adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
486482, 483, 484, 485fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) = 𝐵)
487486, 485eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
488487recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
489 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)))
490 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑖))
491490adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑖))
4923, 484sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
493 0red 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
49460adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
49565adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑀)
496 eluzle 12891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑖)
497496adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑖)
498493, 494, 492, 495, 497ltletrd 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑖)
499498gt0ne0d 11827 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ≠ 0)
500492, 499rereccld 12094 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
501489, 491, 484, 500fvmptd 7023 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖) = (1 / 𝑖))
502492recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℂ)
503502, 499reccld 12036 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑖) ∈ ℂ)
504501, 503eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖) ∈ ℂ)
505490oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
506 ovex 7464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 − (1 / 𝑖)) ∈ V
507505, 460, 506fvmpt 7016 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑅𝑖) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
508507adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑖) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
509486, 501oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) − ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖)) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
510508, 509eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑖) = (((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) − ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖)))
51123, 22, 473, 476, 481, 488, 504, 510climsub 15670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ⇝ (𝐵 − 0))
51285subid1d 11609 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
513511, 512breqtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐵)
514 releldm 5955 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel ⇝ ∧ 𝑅𝐵) → 𝑅 ∈ dom ⇝ )
515464, 513, 514syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ dom ⇝ )
516 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑘 → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑘))
517 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑘 → (𝑅𝑙) = (𝑅𝑘))
518517oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑅) − (𝑅𝑙)) = ((𝑅) − (𝑅𝑘)))
519518fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) = (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))))
520519breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
521516, 520raleqbidv 3346 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑘 → (∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
522521cbvrabv 3447 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
523 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = 𝑖 → (𝑅) = (𝑅𝑖))
524523fvoveq1d 7453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑖 → (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) = (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))))
525524breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑖 → ((abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
526525cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
527526rgenw 3065 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
528 rabbi 3467 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))) ↔ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
529527, 528mpbi 230 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
530522, 529eqtri 2765 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
531530infeq1i 9518 . . . . . . . . . . 11 inf({𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < )
5327, 6, 9, 459, 107, 108, 22, 461, 462, 515, 531ioodvbdlimc1lem1 45946 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))))
533460fvmpt2 7027 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ) → (𝑅𝑗) = (𝐵 − (1 / 𝑗)))
534111, 58, 533syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑗) = (𝐵 − (1 / 𝑗)))
535534eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) = (𝑅𝑗))
536535fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))) = (𝐹‘(𝑅𝑗)))
537536mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
538105, 537eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
539538fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) = (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))))
540532, 538, 5393brtr4d 5175 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆))
541465mptex 7243 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ∈ V
542105, 541eqeltri 2837 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ∈ V
543542a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ V)
544 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ℤ) → (𝑆𝑐) = (𝑆𝑐))
545543, 544clim 15530 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆) ↔ ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))))
546540, 545mpbid 232 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎)))
547546simprd 495 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))
548547adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))
549 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
550549rphalfcld 13089 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
551 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑥 / 2) → ((abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
552551anbi2d 630 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑥 / 2) → (((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ↔ ((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
553552rexralbidv 3223 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑥 / 2) → (∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
554553rspccva 3621 . . . . . 6 ((∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
555548, 550, 554syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
556451, 555r19.29a 3162 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
557405, 556r19.29a 3162 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
558557ralrimiva 3146 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
559 ioosscn 13449 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
560559a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
561454, 560, 85ellimc3 25914 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))))
562134, 558, 561mpbir2and 713 1 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  Vcvv 3480  wss 3951  c0 4333  ifcif 4525   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  Rel wrel 5690  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  supcsup 9480  infcinf 9481  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  cuz 12878  +crp 13034  (,)cioo 13387  cfl 13830  abscabs 15273  lim supclsp 15506  cli 15520  cnccncf 24902   lim climc 25897   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc2  45950
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