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Theorem ioodvbdlimc2lem 42574
Description: Limit at the upper bound of an open interval, for a function with bounded derivative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc2lem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc2lem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc2lem.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
ioodvbdlimc2lem.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
ioodvbdlimc2lem.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc2lem.dvbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
ioodvbdlimc2lem.y 𝑌 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
ioodvbdlimc2lem.m 𝑀 = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
ioodvbdlimc2lem.s 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
ioodvbdlimc2lem.r 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
ioodvbdlimc2lem.n 𝑁 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀)
ioodvbdlimc2lem.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)))
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc2lem (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑧,𝑦   𝐵,𝑗,𝑥,𝑧,𝑦   𝑗,𝐹,𝑥,𝑧,𝑦   𝑗,𝑀,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑧   𝑅,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑗,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥,𝑗,𝑧,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑗)   𝑅(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑦,𝑧,𝑗)

Proof of Theorem ioodvbdlimc2lem
Dummy variables 𝑏 𝑘 𝑖 𝑙 𝑤 𝑚 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzssz 12252 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2 zssre 11976 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3924 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℝ)
5 ioodvbdlimc2lem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
6 ioodvbdlimc2lem.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 ioodvbdlimc2lem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
86, 7resubcld 11057 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
9 ioodvbdlimc2lem.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
107, 6posdifd 11216 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
119, 10mpbid 235 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1211gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
138, 12rereccld 11456 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
14 0red 10633 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
158, 11recgt0d 11563 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 / (𝐵𝐴)))
1614, 13, 15ltled 10777 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (𝐵𝐴)))
17 flge0nn0 13185 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐵𝐴))) → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0)
1813, 16, 17syl2anc 587 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0)
19 peano2nn0 11925 . . . . . . . 8 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
215, 20eqeltrid 2894 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2221nn0zd 12073 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 eqid 2798 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2423uzsup 13226 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → sup((ℤ𝑀), ℝ*, < ) = +∞)
2522, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup((ℤ𝑀), ℝ*, < ) = +∞)
26 ioodvbdlimc2lem.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2726adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
287rexrd 10680 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2928adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
306rexrd 10680 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3130adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
326adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
33 eluzelre 12242 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
3433adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
35 0red 10633 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
36 0red 10633 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 0 ∈ ℝ)
37 1red 10631 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3836, 37readdcld 10659 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (0 + 1) ∈ ℝ)
3938adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4036ltp1d 11559 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 0 < (0 + 1))
4140adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < (0 + 1))
42 eluzel2 12236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4342zred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4443adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4513flcld 13163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℤ)
4645zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
47 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4818nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))))
4914, 46, 47, 48leadd1dd 11243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ≤ ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
5049, 5breqtrrdi 5072 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + 1) ≤ 𝑀)
5150adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ≤ 𝑀)
52 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
5352adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑗)
5439, 44, 34, 51, 53letrd 10786 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
5535, 39, 34, 41, 54ltletrd 10789 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑗)
5655gt0ne0d 11193 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ≠ 0)
5734, 56rereccld 11456 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
5832, 57resubcld 11057 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
597adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6021nn0red 11944 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6114, 47readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
6246, 47readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
6314ltp1d 11559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
6414, 61, 62, 63, 49ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
6564, 5breqtrrdi 5072 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6665gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ≠ 0)
6760, 66rereccld 11456 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
6867adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
6932, 68resubcld 11057 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑀)) ∈ ℝ)
705eqcomi 2807 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) = 𝑀
7170oveq2i 7146 . . . . . . . . . . . 12 (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) = (1 / 𝑀)
7271, 67eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ∈ ℝ)
7313, 15elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ+)
7462, 64elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℝ+)
75 1rp 12381 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
77 fllelt 13162 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ≤ (1 / (𝐵𝐴)) ∧ (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
7813, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ≤ (1 / (𝐵𝐴)) ∧ (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
7978simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
8073, 74, 76, 79ltdiv2dd 41924 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) < (1 / (1 / (𝐵𝐴))))
818recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
8281, 12recrecd 11402 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (1 / (𝐵𝐴))) = (𝐵𝐴))
8380, 82breqtrd 5056 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) < (𝐵𝐴))
8472, 8, 6, 83ltsub2dd 11242 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) < (𝐵 − (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))))
856recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
867recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8785, 86nncand 10991 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
8871oveq2i 7146 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 − (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))) = (𝐵 − (1 / 𝑀))
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))) = (𝐵 − (1 / 𝑀)))
9084, 87, 893brtr3d 5061 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝐵 − (1 / 𝑀)))
9190adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 < (𝐵 − (1 / 𝑀)))
9260, 65elrpd 12416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
9392adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
9434, 55elrpd 12416 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ+)
95 1red 10631 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
96 0le1 11152 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 1)
9893, 94, 95, 97, 53lediv2ad 12441 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑀))
9957, 68, 32, 98lesub2dd 11246 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑀)) ≤ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
10059, 69, 58, 91, 99ltletrd 10789 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 < (𝐵 − (1 / 𝑗)))
10194rpreccld 12429 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
10232, 101ltsubrpd 12451 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) < 𝐵)
10329, 31, 58, 100, 102eliood 42133 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
10427, 103ffvelrnd 6829 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ ℝ)
105 ioodvbdlimc2lem.s . . . . 5 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
106104, 105fmptd 6855 . . . 4 (𝜑𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
107 ioodvbdlimc2lem.dmdv . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
108 ioodvbdlimc2lem.dvbd . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
1097, 6, 9, 26, 107, 108dvbdfbdioo 42570 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
11060adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → 𝑀 ∈ ℝ)
111 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
112105fvmpt2 6756 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ ℝ) → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
113111, 104, 112syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
114113fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) = (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
115114adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) = (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
116 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
117103adantlr 714 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
118 2fveq3 6650 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵 − (1 / 𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
119118breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵 − (1 / 𝑗)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏))
120119rspccva 3570 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ∧ (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏)
121116, 117, 120syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏)
122115, 121eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)
123122a1d 25 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
124123ralrimiva 3149 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
125 breq1 5033 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑗𝑀𝑗))
126125imbi1d 345 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ (𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
127126ralbidv 3162 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
128127rspcev 3571 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
129110, 124, 128syl2anc 587 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
130129ex 416 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
131130reximdv 3232 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
132109, 131mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
1334, 25, 106, 132limsupre 42281 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℝ)
134133recnd 10658 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℂ)
135 eluzelre 12242 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
136135adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
137 0red 10633 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
13845peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℤ)
1395, 138eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
140139adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
141140zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
142141adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14365ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 𝑀)
144 ioodvbdlimc2lem.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀)
145 ioodvbdlimc2lem.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑌 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
146 ioomidp 42149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
1477, 6, 9, 146syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
148 ne0i 4250 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
150 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
152 dvfre 24554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
15326, 151, 152syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
154107feq2d 6473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
155153, 154mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
156155ffvelrnda 6828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
157156recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
158157abscld 14788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
159 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
160 eqid 2798 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
161149, 158, 108, 159, 160suprnmpt 41796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )))
162161simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
163145, 162eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
164163adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℝ)
165 rpre 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
166165rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
167166adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
168165recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
169168adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
170 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
171 rpne0 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
172171adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
173 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
175169, 170, 172, 174divne0d 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ≠ 0)
176164, 167, 175redivcld 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
177176flcld 13163 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℤ)
178177peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
179178, 140ifcld 4470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
180144, 179eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
181180zred 12075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ)
182181adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
183178zred 12075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
184 max1 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
185141, 183, 184syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
186185, 144breqtrrdi 5072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀𝑁)
187186adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑁)
188 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑗)
189188adantl 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑗)
190142, 182, 136, 187, 189letrd 10786 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑗)
191137, 142, 136, 143, 190ltletrd 10789 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 𝑗)
192191gt0ne0d 11193 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ≠ 0)
193136, 192rereccld 11456 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
194136, 191recgt0d 11563 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < (1 / 𝑗))
195193, 194elrpd 12416 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
196195adantr 484 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
197 ioodvbdlimc2lem.ch . . . . . . . . 9 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)))
198197biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)))
199 simp-5l 784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → 𝜑)
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝜑)
201200, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
202198simplrd 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
203201, 202ffvelrnd 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
204203recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
205200, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
206 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
207198, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑥 ∈ ℝ+)
208 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
209140, 180, 186, 208syl3anbrc 1340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
210200, 207, 209syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
211 uzss 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
213 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
214198, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
215212, 214sseldd 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
216205, 215ffvelrnd 6829 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑆𝑗) ∈ ℝ)
217216recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑆𝑗) ∈ ℂ)
218200, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℂ)
219204, 217, 218npncand 11010 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) = ((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆)))
220219eqcomd 2804 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆)) = (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))))
221220fveq2d 6649 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))))
222203, 216resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) ∈ ℝ)
223200, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℝ)
224216, 223resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) ∈ ℝ)
225222, 224readdcld 10659 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℝ)
226225recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℂ)
227226abscld 14788 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ∈ ℝ)
228222recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) ∈ ℂ)
229228abscld 14788 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) ∈ ℝ)
230224recnd 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) ∈ ℂ)
231230abscld 14788 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℝ)
232229, 231readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ∈ ℝ)
233207rpred 12419 . . . . . . . . . . 11 (𝜒𝑥 ∈ ℝ)
234228, 230abstrid 14808 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))))
235233rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
236200, 215, 113syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
237236oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
238237fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))))
239238, 229eqeltrrd 2891 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ∈ ℝ)
240200, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑌 ∈ ℝ)
241150, 202sseldi 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑧 ∈ ℝ)
242200, 215, 58syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
243241, 242resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ ℝ)
244240, 243remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ∈ ℝ)
245200, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝐴 ∈ ℝ)
246200, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝐵 ∈ ℝ)
247200, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
248161simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
249145breq2i 5038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
250249ralbii 3133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
251248, 250sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
252200, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
253 2fveq3 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
254253breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌))
255254cbvralvw 3396 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
256252, 255sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌)
257200, 215, 103syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
258242rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ*)
259200, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐵 ∈ ℝ*)
2603, 215sseldi 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑗 ∈ ℝ)
261200, 215, 56syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑗 ≠ 0)
262260, 261rereccld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
263246, 241resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝐵𝑧) ∈ ℝ)
264241, 246resubcld 11057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑧𝐵) ∈ ℝ)
265264recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
266265abscld 14788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
267263leabsd 14766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝐵𝑧) ≤ (abs‘(𝐵𝑧)))
268200, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝐵 ∈ ℂ)
269241recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑧 ∈ ℂ)
270268, 269abssubd 14805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (abs‘(𝐵𝑧)) = (abs‘(𝑧𝐵)))
271267, 270breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝐵𝑧) ≤ (abs‘(𝑧𝐵)))
272198simprd 499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗))
273263, 266, 262, 271, 272lelttrd 10787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝐵𝑧) < (1 / 𝑗))
274246, 241, 262, 273ltsub23d 11234 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) < 𝑧)
275200, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝐴 ∈ ℝ*)
276 iooltub 42145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
277275, 259, 202, 276syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑧 < 𝐵)
278258, 259, 241, 274, 277eliood 42133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑧 ∈ ((𝐵 − (1 / 𝑗))(,)𝐵))
279245, 246, 201, 247, 240, 256, 257, 278dvbdfbdioolem1 42568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑌 · (𝐵𝐴))))
280279simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))))
281200, 215, 57syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
282240, 281remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
283155, 147ffvelrnd 6829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
284283recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
285284abscld 14788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
286284absge0d 14796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
287 2fveq3 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
288145eqcomi 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = 𝑌
289288a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = 𝑌)
290287, 289breq12d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌))
291290rspcva 3569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌)
292147, 248, 291syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌)
29314, 285, 163, 286, 292letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
294200, 293syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 0 ≤ 𝑌)
295281recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℂ)
296 sub31 41920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑗) ∈ ℂ) → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) = ((1 / 𝑗) − (𝐵𝑧)))
297269, 268, 295, 296syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) = ((1 / 𝑗) − (𝐵𝑧)))
298241, 246posdifd 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝑧)))
299277, 298mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → 0 < (𝐵𝑧))
300263, 299elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝐵𝑧) ∈ ℝ+)
301281, 300ltsubrpd 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((1 / 𝑗) − (𝐵𝑧)) < (1 / 𝑗))
302297, 301eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) < (1 / 𝑗))
303243, 281, 302ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) ≤ (1 / 𝑗))
304243, 281, 240, 294, 303lemul2ad 11569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ (𝑌 · (1 / 𝑗)))
305282adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
306235adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
307 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌 = 0 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) = (0 · (1 / 𝑗)))
308295mul02d 10827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (0 · (1 / 𝑗)) = 0)
309307, 308sylan9eqr 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) = 0)
310207rphalfcld 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
311310rpgt0d 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 0 < (𝑥 / 2))
312311adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → 0 < (𝑥 / 2))
313309, 312eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) < (𝑥 / 2))
314305, 306, 313ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
315240adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ ℝ)
316294adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 0 ≤ 𝑌)
317 neqne 2995 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑌 = 0 → 𝑌 ≠ 0)
318317adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
319315, 316, 318ne0gt0d 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 0 < 𝑌)
320282adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
3213, 210sseldi 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁 ∈ ℝ)
322 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
323200, 207, 141syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑀 ∈ ℝ)
324200, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 0 < 𝑀)
325200, 207, 186syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑀𝑁)
326322, 323, 321, 324, 325ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → 0 < 𝑁)
327326gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁 ≠ 0)
328321, 327rereccld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
329240, 328remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
330329adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
331235adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
332281adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
333328adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
334240adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
335294adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 ≤ 𝑌)
336321, 326elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁 ∈ ℝ+)
337200, 215, 94syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑗 ∈ ℝ+)
338 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → 1 ∈ ℝ)
33996a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → 0 ≤ 1)
340214, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁𝑗)
341336, 337, 338, 339, 340lediv2ad 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑁))
342341adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑁))
343332, 333, 334, 335, 342lemul2ad 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑌 · (1 / 𝑁)))
344233recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑥 ∈ ℂ)
345 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → 2 ∈ ℂ)
346207rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑥 ≠ 0)
347173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → 2 ≠ 0)
348344, 345, 346, 347divne0d 11421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑥 / 2) ≠ 0)
349240, 235, 348redivcld 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
350349adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
351 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < 𝑌)
352311adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < (𝑥 / 2))
353334, 331, 351, 352divgt0d 11564 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < (𝑌 / (𝑥 / 2)))
354350, 353elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ+)
355354rprecred 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℝ)
356336adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑁 ∈ ℝ+)
357 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 1 ∈ ℝ)
35896a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 ≤ 1)
359349flcld 13163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → (⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℤ)
360359peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
361360zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
362200, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜒𝑀 ∈ ℤ)
363360, 362ifcld 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
364144, 363eqeltrid 2894 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑁 ∈ ℤ)
365364zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑁 ∈ ℝ)
366 flltp1 13165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1))
367349, 366syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1))
368200, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒𝑀 ∈ ℝ)
369 max2 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
370368, 361, 369syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
371370, 144breqtrrdi 5072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ 𝑁)
372349, 361, 365, 367, 371ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < 𝑁)
373349, 321, 372ltled 10777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≤ 𝑁)
374373adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≤ 𝑁)
375354, 356, 357, 358, 374lediv2ad 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2))))
376333, 355, 334, 335, 375lemul2ad 11569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ≤ (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))))
377334recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
378350recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
379353gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≠ 0)
380377, 378, 379divrecd 11408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) = (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))))
381331recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
382351gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ≠ 0)
383348adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ≠ 0)
384377, 381, 382, 383ddcand 11425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) = (𝑥 / 2))
385380, 384eqtr3d 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))) = (𝑥 / 2))
386376, 385breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ≤ (𝑥 / 2))
387320, 330, 331, 343, 386letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
388319, 387syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
389314, 388pm2.61dan 812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
390244, 282, 235, 304, 389letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ (𝑥 / 2))
391239, 244, 235, 280, 390letrd 10786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑥 / 2))
392238, 391eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) ≤ (𝑥 / 2))
393 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
394198, 393syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
395229, 231, 235, 235, 392, 394leltaddd 11251 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
3963442halvesd 11871 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
397395, 396breqtrd 5056 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < 𝑥)
398227, 232, 233, 234, 397lelttrd 10787 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < 𝑥)
399221, 398eqbrtrd 5052 . . . . . . . . 9 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
400197, 399sylbir 238 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
401400adantrl 715 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗))) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
402401ex 416 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
403402ralrimiva 3149 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
404 brimralrspcev 5091 . . . . 5 (((1 / 𝑗) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
405196, 403, 404syl2anc 587 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
406 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
407406iftrued 4433 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑁)
408 uzid 12246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
409180, 408syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
410409adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
411407, 410eqeltrd 2890 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
412411adantlr 714 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
413 iffalse 4434 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑁 → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑏)
414413adantl 485 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑏)
415180ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
416 simplr 768 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ ℤ)
417415zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
418416zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ ℝ)
419 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → ¬ 𝑏𝑁)
420417, 418ltnled 10776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → (𝑁 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑁))
421419, 420mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 < 𝑏)
422417, 418, 421ltled 10777 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁𝑏)
423 eluz2 12237 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑏))
424415, 416, 422, 423syl3anbrc 1340 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑁))
425414, 424eqeltrd 2890 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
426412, 425pm2.61dan 812 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
427426adantr 484 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
428 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
429 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
430180adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
431430, 429ifcld 4470 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ ℤ)
432429zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
433430zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
434 max1 12566 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏))
435432, 433, 434syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏))
436 eluz2 12237 . . . . . . . . . 10 (if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
437429, 431, 435, 436syl3anbrc 1340 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏))
438437adantr 484 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏))
439 fveq2 6645 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (𝑆𝑐) = (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
440439eleq1d 2874 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((𝑆𝑐) ∈ ℂ ↔ (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ))
441439fvoveq1d 7157 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))))
442441breq1d 5040 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
443440, 442anbi12d 633 . . . . . . . . 9 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
444443rspccva 3570 . . . . . . . 8 ((∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏)) → ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
445428, 438, 444syl2anc 587 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
446445simprd 499 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
447 fveq2 6645 . . . . . . . . 9 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (𝑆𝑗) = (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
448447fvoveq1d 7157 . . . . . . . 8 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))))
449448breq1d 5040 . . . . . . 7 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
450449rspcev 3571 . . . . . 6 ((if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁) ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
451427, 446, 450syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
452 ax-resscn 10583 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
453452a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45426, 453fssd 6502 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
455 dvcn 24524 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
456453, 454, 151, 107, 455syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
457 cncffvrn 23503 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
458453, 456, 457syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
45926, 458mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
460 ioodvbdlimc2lem.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
461103, 460fmptd 6855 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
462 eqid 2798 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))
463 climrel 14841 . . . . . . . . . . . . 13 Rel ⇝
464463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Rel ⇝ )
465 fvex 6658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ∈ V
466465mptex 6963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) ∈ V
467466a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) ∈ V)
468 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵))
469 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐵 = 𝐵)
470 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
4716adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
472468, 469, 470, 471fvmptd 6752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑚) = 𝐵)
47323, 22, 467, 85, 472climconst 14892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) ⇝ 𝐵)
474465mptex 6963 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ V
475460, 474eqeltri 2886 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 ∈ V
476475a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ V)
477 1cnd 10625 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
478 elnnnn0b 11929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑀))
47921, 65, 478sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
480 divcnvg 42267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) ⇝ 0)
481477, 479, 480syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) ⇝ 0)
482 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵))
483 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝐵 = 𝐵)
484 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
4856adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
486482, 483, 484, 485fvmptd 6752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) = 𝐵)
487486, 485eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
488487recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
489 eqidd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)))
490 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑖))
491490adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑖))
4923, 484sseldi 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
493 0red 10633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
49460adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
49565adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑀)
496 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑖)
497496adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑖)
498493, 494, 492, 495, 497ltletrd 10789 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑖)
499498gt0ne0d 11193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ≠ 0)
500492, 499rereccld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
501489, 491, 484, 500fvmptd 6752 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖) = (1 / 𝑖))
502492recnd 10658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℂ)
503502, 499reccld 11398 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑖) ∈ ℂ)
504501, 503eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖) ∈ ℂ)
505490oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
506 ovex 7168 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 − (1 / 𝑖)) ∈ V
507505, 460, 506fvmpt 6745 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑅𝑖) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
508507adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑖) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
509486, 501oveq12d 7153 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) − ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖)) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
510508, 509eqtr4d 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑖) = (((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) − ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖)))
51123, 22, 473, 476, 481, 488, 504, 510climsub 14982 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ⇝ (𝐵 − 0))
51285subid1d 10975 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
513511, 512breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐵)
514 releldm 5778 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel ⇝ ∧ 𝑅𝐵) → 𝑅 ∈ dom ⇝ )
515464, 513, 514syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ dom ⇝ )
516 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑘 → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑘))
517 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑘 → (𝑅𝑙) = (𝑅𝑘))
518517oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑅) − (𝑅𝑙)) = ((𝑅) − (𝑅𝑘)))
519518fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) = (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))))
520519breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
521516, 520raleqbidv 3354 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑘 → (∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
522521cbvrabv 3439 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
523 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = 𝑖 → (𝑅) = (𝑅𝑖))
524523fvoveq1d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑖 → (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) = (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))))
525524breq1d 5040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑖 → ((abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
526525cbvralvw 3396 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
527526rgenw 3118 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
528 rabbi 3336 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))) ↔ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
529527, 528mpbi 233 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
530522, 529eqtri 2821 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
531530infeq1i 8926 . . . . . . . . . . 11 inf({𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < )
5327, 6, 9, 459, 107, 108, 22, 461, 462, 515, 531ioodvbdlimc1lem1 42571 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))))
533460fvmpt2 6756 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ) → (𝑅𝑗) = (𝐵 − (1 / 𝑗)))
534111, 58, 533syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑗) = (𝐵 − (1 / 𝑗)))
535534eqcomd 2804 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) = (𝑅𝑗))
536535fveq2d 6649 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))) = (𝐹‘(𝑅𝑗)))
537536mpteq2dva 5125 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
538105, 537syl5eq 2845 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
539538fveq2d 6649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) = (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))))
540532, 538, 5393brtr4d 5062 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆))
541465mptex 6963 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ∈ V
542105, 541eqeltri 2886 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ∈ V
543542a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ V)
544 eqidd 2799 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ℤ) → (𝑆𝑐) = (𝑆𝑐))
545543, 544clim 14843 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆) ↔ ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))))
546540, 545mpbid 235 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎)))
547546simprd 499 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))
548547adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))
549 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
550549rphalfcld 12431 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
551 breq2 5034 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑥 / 2) → ((abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
552551anbi2d 631 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑥 / 2) → (((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ↔ ((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
553552rexralbidv 3260 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑥 / 2) → (∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
554553rspccva 3570 . . . . . 6 ((∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
555548, 550, 554syl2anc 587 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
556451, 555r19.29a 3248 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
557405, 556r19.29a 3248 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
558557ralrimiva 3149 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
559 ioosscn 12787 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
560559a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
561454, 560, 85ellimc3 24482 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))))
562134, 558, 561mpbir2and 712 1 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wral 3106  wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441  wss 3881  c0 4243  ifcif 4425   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5519  ran crn 5520  Rel wrel 5524  wf 6320  cfv 6324  (class class class)co 7135  supcsup 8888  infcinf 8889  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859   / cdiv 11286  cn 11625  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  (,)cioo 12726  cfl 13155  abscabs 14585  lim supclsp 14819  cli 14833  cnccncf 23481   lim climc 24465   D cdv 24466
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13426  df-hash 13687  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-cmp 21992  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc2  42575
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