Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ioodvbdlimc2lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ioodvbdlimc2lem 42095
Description: Limit at the upper bound of an open interval, for a function with bounded derivative. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.) (Revised by AV, 3-Oct-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ioodvbdlimc2lem.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc2lem.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
ioodvbdlimc2lem.altb (𝜑𝐴 < 𝐵)
ioodvbdlimc2lem.f (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
ioodvbdlimc2lem.dmdv (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
ioodvbdlimc2lem.dvbd (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
ioodvbdlimc2lem.y 𝑌 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
ioodvbdlimc2lem.m 𝑀 = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
ioodvbdlimc2lem.s 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
ioodvbdlimc2lem.r 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
ioodvbdlimc2lem.n 𝑁 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀)
ioodvbdlimc2lem.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)))
Assertion
Ref Expression
ioodvbdlimc2lem (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑗,𝑥,𝑧,𝑦   𝐵,𝑗,𝑥,𝑧,𝑦   𝑗,𝐹,𝑥,𝑧,𝑦   𝑗,𝑀,𝑥,𝑦   𝑗,𝑁,𝑧   𝑅,𝑗,𝑥,𝑦   𝑥,𝑆,𝑗,𝑦,𝑧   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥,𝑗,𝑧,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑗)   𝑅(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑥,𝑦)   𝑌(𝑦,𝑧,𝑗)

Proof of Theorem ioodvbdlimc2lem
Dummy variables 𝑏 𝑘 𝑖 𝑙 𝑤 𝑚 𝑐 𝑎 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uzssz 12252 . . . . . 6 (ℤ𝑀) ⊆ ℤ
2 zssre 11976 . . . . . 6 ℤ ⊆ ℝ
31, 2sstri 3973 . . . . 5 (ℤ𝑀) ⊆ ℝ
43a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (ℤ𝑀) ⊆ ℝ)
5 ioodvbdlimc2lem.m . . . . . . 7 𝑀 = ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)
6 ioodvbdlimc2lem.b . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 ioodvbdlimc2lem.a . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
86, 7resubcld 11056 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
9 ioodvbdlimc2lem.altb . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 < 𝐵)
107, 6posdifd 11215 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
119, 10mpbid 233 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
1211gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≠ 0)
138, 12rereccld 11455 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
14 0red 10632 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
158, 11recgt0d 11562 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < (1 / (𝐵𝐴)))
1614, 13, 15ltled 10776 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 ≤ (1 / (𝐵𝐴)))
17 flge0nn0 13178 . . . . . . . . 9 (((1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (1 / (𝐵𝐴))) → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0)
1813, 16, 17syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0)
19 peano2nn0 11925 . . . . . . . 8 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℕ0 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
2018, 19syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℕ0)
215, 20eqeltrid 2914 . . . . . 6 (𝜑𝑀 ∈ ℕ0)
2221nn0zd 12073 . . . . 5 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
23 eqid 2818 . . . . . 6 (ℤ𝑀) = (ℤ𝑀)
2423uzsup 13219 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℤ → sup((ℤ𝑀), ℝ*, < ) = +∞)
2522, 24syl 17 . . . 4 (𝜑 → sup((ℤ𝑀), ℝ*, < ) = +∞)
26 ioodvbdlimc2lem.f . . . . . . 7 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
2726adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
287rexrd 10679 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
2928adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
306rexrd 10679 . . . . . . . 8 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
3130adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
326adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
33 eluzelre 12242 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑗 ∈ ℝ)
3433adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ)
35 0red 10632 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
36 0red 10632 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 0 ∈ ℝ)
37 1red 10630 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 1 ∈ ℝ)
3836, 37readdcld 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → (0 + 1) ∈ ℝ)
3938adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ∈ ℝ)
4036ltp1d 11558 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 0 < (0 + 1))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < (0 + 1))
42 eluzel2 12236 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
4342zred 12075 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
4443adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
4513flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℤ)
4645zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ∈ ℝ)
47 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
4818nn0ge0d 11946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 0 ≤ (⌊‘(1 / (𝐵𝐴))))
4914, 46, 47, 48leadd1dd 11242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ≤ ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
5049, 5breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (0 + 1) ≤ 𝑀)
5150adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ≤ 𝑀)
52 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑗)
5352adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑗)
5439, 44, 34, 51, 53letrd 10785 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (0 + 1) ≤ 𝑗)
5535, 39, 34, 41, 54ltletrd 10788 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑗)
5655gt0ne0d 11192 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ≠ 0)
5734, 56rereccld 11455 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
5832, 57resubcld 11056 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
597adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 ∈ ℝ)
6021nn0red 11944 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
6114, 47readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (0 + 1) ∈ ℝ)
6246, 47readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℝ)
6314ltp1d 11558 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → 0 < (0 + 1))
6414, 61, 62, 63, 49ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 0 < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
6564, 5breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 < 𝑀)
6665gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ≠ 0)
6760, 66rereccld 11455 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
6867adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑀) ∈ ℝ)
6932, 68resubcld 11056 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑀)) ∈ ℝ)
705eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) = 𝑀
7170oveq2i 7156 . . . . . . . . . . . 12 (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) = (1 / 𝑀)
7271, 67eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) ∈ ℝ)
7313, 15elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ+)
7462, 64elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℝ+)
75 1rp 12381 . . . . . . . . . . . . . 14 1 ∈ ℝ+
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → 1 ∈ ℝ+)
77 fllelt 13155 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 / (𝐵𝐴)) ∈ ℝ → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ≤ (1 / (𝐵𝐴)) ∧ (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
7813, 77syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) ≤ (1 / (𝐵𝐴)) ∧ (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)))
7978simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (1 / (𝐵𝐴)) < ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))
8073, 74, 76, 79ltdiv2dd 41437 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) < (1 / (1 / (𝐵𝐴))))
818recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
8281, 12recrecd 11401 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (1 / (1 / (𝐵𝐴))) = (𝐵𝐴))
8380, 82breqtrd 5083 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1)) < (𝐵𝐴))
8472, 8, 6, 83ltsub2dd 11241 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) < (𝐵 − (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))))
856recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
867recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
8785, 86nncand 10990 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (𝐵𝐴)) = 𝐴)
8871oveq2i 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝐵 − (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))) = (𝐵 − (1 / 𝑀))
8988a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 − (1 / ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1))) = (𝐵 − (1 / 𝑀)))
9084, 87, 893brtr3d 5088 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐴 < (𝐵 − (1 / 𝑀)))
9190adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 < (𝐵 − (1 / 𝑀)))
9260, 65elrpd 12416 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑀 ∈ ℝ+)
9392adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ+)
9434, 55elrpd 12416 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ ℝ+)
95 1red 10630 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 1 ∈ ℝ)
96 0le1 11151 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 1
9796a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ≤ 1)
9893, 94, 95, 97, 53lediv2ad 12441 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑀))
9957, 68, 32, 98lesub2dd 11245 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑀)) ≤ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
10059, 69, 58, 91, 99ltletrd 10788 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐴 < (𝐵 − (1 / 𝑗)))
10194rpreccld 12429 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
10232, 101ltsubrpd 12451 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) < 𝐵)
10329, 31, 58, 100, 102eliood 41649 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
10427, 103ffvelrnd 6844 . . . . 5 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ ℝ)
105 ioodvbdlimc2lem.s . . . . 5 𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
106104, 105fmptd 6870 . . . 4 (𝜑𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
107 ioodvbdlimc2lem.dmdv . . . . . 6 (𝜑 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
108 ioodvbdlimc2lem.dvbd . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑦 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑦)
1097, 6, 9, 26, 107, 108dvbdfbdioo 42091 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
11060adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → 𝑀 ∈ ℝ)
111 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
112105fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ ℝ) → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
113111, 104, 112syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
114113fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) = (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
115114adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) = (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
116 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏)
117103adantlr 711 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
118 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = (𝐵 − (1 / 𝑗)) → (abs‘(𝐹𝑥)) = (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
119118breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (𝐵 − (1 / 𝑗)) → ((abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏))
120119rspccva 3619 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 ∧ (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏)
121116, 117, 120syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ 𝑏)
122115, 121eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)
123122a1d 25 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
124123ralrimiva 3179 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
125 breq1 5060 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑀 → (𝑘𝑗𝑀𝑗))
126125imbi1d 343 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑀 → ((𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ (𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
127126ralbidv 3194 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑀 → (∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏) ↔ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
128127rspcev 3620 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑀𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
129110, 124, 128syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏) → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
130129ex 413 . . . . . 6 (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 → ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
131130reximdv 3270 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘(𝐹𝑥)) ≤ 𝑏 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏)))
132109, 131mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ ∃𝑘 ∈ ℝ ∀𝑗 ∈ (ℤ𝑀)(𝑘𝑗 → (abs‘(𝑆𝑗)) ≤ 𝑏))
1334, 25, 106, 132limsupre 41798 . . 3 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℝ)
134133recnd 10657 . 2 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℂ)
135 eluzelre 12242 . . . . . . . . 9 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑗 ∈ ℝ)
136135adantl 482 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ∈ ℝ)
137 0red 10632 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 ∈ ℝ)
13845peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((⌊‘(1 / (𝐵𝐴))) + 1) ∈ ℤ)
1395, 138eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
140139adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℤ)
141140zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ∈ ℝ)
142141adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀 ∈ ℝ)
14365ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 𝑀)
144 ioodvbdlimc2lem.n . . . . . . . . . . . . . 14 𝑁 = if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀)
145 ioodvbdlimc2lem.y . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑌 = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
146 ioomidp 41666 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
1477, 6, 9, 146syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵))
148 ne0i 4297 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
149147, 148syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ≠ ∅)
150 ioossre 12786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ
151150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ)
152 dvfre 24475 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
15326, 151, 152syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ)
154107feq2d 6493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹):dom (ℝ D 𝐹)⟶ℝ ↔ (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
155153, 154mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜑 → (ℝ D 𝐹):(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
156155ffvelrnda 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℝ)
157156recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((ℝ D 𝐹)‘𝑥) ∈ ℂ)
158157abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ∈ ℝ)
159 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
160 eqid 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )
161149, 158, 108, 159, 160suprnmpt 41306 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )))
162161simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ∈ ℝ)
163145, 162eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
164163adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑌 ∈ ℝ)
165 rpre 12385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℝ)
166165rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 ∈ ℝ+ → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
167166adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
168165recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ∈ ℂ)
169168adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
170 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
171 rpne0 12393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 ∈ ℝ+𝑥 ≠ 0)
172171adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ≠ 0)
173 2ne0 11729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2 ≠ 0
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ≠ 0)
175169, 170, 172, 174divne0d 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ≠ 0)
176164, 167, 175redivcld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
177176flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℤ)
178177peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
179178, 140ifcld 4508 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
180144, 179eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℤ)
181180zred 12075 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ ℝ)
182181adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁 ∈ ℝ)
183178zred 12075 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
184 max1 12566 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
185141, 183, 184syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀 ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
186185, 144breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑀𝑁)
187186adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑁)
188 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑁) → 𝑁𝑗)
189188adantl 482 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑁𝑗)
190142, 182, 136, 187, 189letrd 10785 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑀𝑗)
191137, 142, 136, 143, 190ltletrd 10788 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < 𝑗)
192191gt0ne0d 11192 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 𝑗 ≠ 0)
193136, 192rereccld 11455 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
194136, 191recgt0d 11562 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → 0 < (1 / 𝑗))
195193, 194elrpd 12416 . . . . . 6 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
196195adantr 481 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ+)
197 ioodvbdlimc2lem.ch . . . . . . . . 9 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)))
198197biimpi 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)))
199 simp-5l 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → 𝜑)
200198, 199syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝜑)
201200, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ)
202198simplrd 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵))
203201, 202ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝐹𝑧) ∈ ℝ)
204203recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
205200, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑆:(ℤ𝑀)⟶ℝ)
206 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
207198, 206syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑥 ∈ ℝ+)
208 eluz2 12237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀𝑁))
209140, 180, 186, 208syl3anbrc 1335 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
210200, 207, 209syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
211 uzss 12253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
212210, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (ℤ𝑁) ⊆ (ℤ𝑀))
213 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → 𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
214198, 213syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑗 ∈ (ℤ𝑁))
215212, 214sseldd 3965 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑗 ∈ (ℤ𝑀))
216205, 215ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑆𝑗) ∈ ℝ)
217216recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑆𝑗) ∈ ℂ)
218200, 134syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℂ)
219204, 217, 218npncand 11009 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) = ((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆)))
220219eqcomd 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆)) = (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))))
221220fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))))
222203, 216resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) ∈ ℝ)
223200, 133syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (lim sup‘𝑆) ∈ ℝ)
224216, 223resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) ∈ ℝ)
225222, 224readdcld 10658 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℝ)
226225recnd 10657 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℂ)
227226abscld 14784 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ∈ ℝ)
228222recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) ∈ ℂ)
229228abscld 14784 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) ∈ ℝ)
230224recnd 10657 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)) ∈ ℂ)
231230abscld 14784 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) ∈ ℝ)
232229, 231readdcld 10658 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ∈ ℝ)
233207rpred 12419 . . . . . . . . . . 11 (𝜒𝑥 ∈ ℝ)
234228, 230abstrid 14804 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) ≤ ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))))
235233rehalfcld 11872 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
236200, 215, 113syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑆𝑗) = (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))
237236oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) = ((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))))
238237fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) = (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))))
239238, 229eqeltrrd 2911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ∈ ℝ)
240200, 163syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑌 ∈ ℝ)
241150, 202sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑧 ∈ ℝ)
242200, 215, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
243241, 242resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ ℝ)
244240, 243remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ∈ ℝ)
245200, 7syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝐴 ∈ ℝ)
246200, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝐵 ∈ ℝ)
247200, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵))
248161simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
249145breq2i 5065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
250249ralbii 3162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ))
251248, 250sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
252200, 251syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
253 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑤 = 𝑥 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)))
254253breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑤 = 𝑥 → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌 ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌))
255254cbvralvw 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌 ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ 𝑌)
256252, 255sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → ∀𝑤 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑤)) ≤ 𝑌)
257200, 215, 103syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ (𝐴(,)𝐵))
258242rexrd 10679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ*)
259200, 30syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝐵 ∈ ℝ*)
2603, 215sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑗 ∈ ℝ)
261200, 215, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒𝑗 ≠ 0)
262260, 261rereccld 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
263246, 241resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝐵𝑧) ∈ ℝ)
264241, 246resubcld 11056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑧𝐵) ∈ ℝ)
265264recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑧𝐵) ∈ ℂ)
266265abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (abs‘(𝑧𝐵)) ∈ ℝ)
267263leabsd 14762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝐵𝑧) ≤ (abs‘(𝐵𝑧)))
268200, 85syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝐵 ∈ ℂ)
269241recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑧 ∈ ℂ)
270268, 269abssubd 14801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (abs‘(𝐵𝑧)) = (abs‘(𝑧𝐵)))
271267, 270breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝐵𝑧) ≤ (abs‘(𝑧𝐵)))
272198simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗))
273263, 266, 262, 271, 272lelttrd 10786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝐵𝑧) < (1 / 𝑗))
274246, 241, 262, 273ltsub23d 11233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) < 𝑧)
275200, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒𝐴 ∈ ℝ*)
276 iooltub 41662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → 𝑧 < 𝐵)
277275, 259, 202, 276syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒𝑧 < 𝐵)
278258, 259, 241, 274, 277eliood 41649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑧 ∈ ((𝐵 − (1 / 𝑗))(,)𝐵))
279245, 246, 201, 247, 240, 256, 257, 278dvbdfbdioolem1 42089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ∧ (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑌 · (𝐵𝐴))))
280279simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))))
281200, 215, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
282240, 281remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
283155, 147ffvelrnd 6844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℝ)
284283recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2)) ∈ ℂ)
285284abscld 14784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ∈ ℝ)
286284absge0d 14792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → 0 ≤ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
287 2fveq3 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) = (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))))
288145eqcomi 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = 𝑌
289288a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) = 𝑌)
290287, 289breq12d 5070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = ((𝐴 + 𝐵) / 2) → ((abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < ) ↔ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌))
291290rspcva 3618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐴 + 𝐵) / 2) ∈ (𝐴(,)𝐵) ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵)(abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥)) ≤ sup(ran (𝑥 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑥))), ℝ, < )) → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌)
292147, 248, 291syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (abs‘((ℝ D 𝐹)‘((𝐴 + 𝐵) / 2))) ≤ 𝑌)
29314, 285, 163, 286, 292letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → 0 ≤ 𝑌)
294200, 293syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → 0 ≤ 𝑌)
295281recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (1 / 𝑗) ∈ ℂ)
296 sub31 41433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ (1 / 𝑗) ∈ ℂ) → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) = ((1 / 𝑗) − (𝐵𝑧)))
297269, 268, 295, 296syl3anc 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) = ((1 / 𝑗) − (𝐵𝑧)))
298241, 246posdifd 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝑧)))
299277, 298mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → 0 < (𝐵𝑧))
300263, 299elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝐵𝑧) ∈ ℝ+)
301281, 300ltsubrpd 12451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜒 → ((1 / 𝑗) − (𝐵𝑧)) < (1 / 𝑗))
302297, 301eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) < (1 / 𝑗))
303243, 281, 302ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗))) ≤ (1 / 𝑗))
304243, 281, 240, 294, 303lemul2ad 11568 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ (𝑌 · (1 / 𝑗)))
305282adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
306235adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
307 oveq1 7152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑌 = 0 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) = (0 · (1 / 𝑗)))
308295mul02d 10826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (0 · (1 / 𝑗)) = 0)
309307, 308sylan9eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) = 0)
310207rphalfcld 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
311310rpgt0d 12422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → 0 < (𝑥 / 2))
312311adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒𝑌 = 0) → 0 < (𝑥 / 2))
313309, 312eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) < (𝑥 / 2))
314305, 306, 313ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
315240adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ∈ ℝ)
316294adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 0 ≤ 𝑌)
317 neqne 3021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑌 = 0 → 𝑌 ≠ 0)
318317adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 𝑌 ≠ 0)
319315, 316, 318ne0gt0d 10765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → 0 < 𝑌)
320282adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ∈ ℝ)
3213, 210sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁 ∈ ℝ)
322 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 0 ∈ ℝ)
323200, 207, 141syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑀 ∈ ℝ)
324200, 65syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → 0 < 𝑀)
325200, 207, 186syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒𝑀𝑁)
326322, 323, 321, 324, 325ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → 0 < 𝑁)
327326gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁 ≠ 0)
328321, 327rereccld 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
329240, 328remulcld 10659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
330329adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ∈ ℝ)
331235adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ)
332281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑗) ∈ ℝ)
333328adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
334240adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℝ)
335294adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 ≤ 𝑌)
336321, 326elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁 ∈ ℝ+)
337200, 215, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑗 ∈ ℝ+)
338 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → 1 ∈ ℝ)
33996a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒 → 0 ≤ 1)
340214, 188syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝜒𝑁𝑗)
341336, 337, 338, 339, 340lediv2ad 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜒 → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑁))
342341adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑗) ≤ (1 / 𝑁))
343332, 333, 334, 335, 342lemul2ad 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑌 · (1 / 𝑁)))
344233recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑥 ∈ ℂ)
345 2cnd 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → 2 ∈ ℂ)
346207rpne0d 12424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑥 ≠ 0)
347173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → 2 ≠ 0)
348344, 345, 346, 347divne0d 11420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑥 / 2) ≠ 0)
349240, 235, 348redivcld 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
350349adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ)
351 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < 𝑌)
352311adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < (𝑥 / 2))
353334, 331, 351, 352divgt0d 11563 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 < (𝑌 / (𝑥 / 2)))
354350, 353elrpd 12416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ+)
355354rprecred 12430 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℝ)
356336adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑁 ∈ ℝ+)
357 1red 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 1 ∈ ℝ)
35896a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 0 ≤ 1)
359349flcld 13156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → (⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) ∈ ℤ)
360359peano2zd 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℤ)
361360zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ)
362200, 139syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝜒𝑀 ∈ ℤ)
363360, 362ifcld 4508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒 → if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀) ∈ ℤ)
364144, 363eqeltrid 2914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒𝑁 ∈ ℤ)
365364zred 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒𝑁 ∈ ℝ)
366 flltp1 13158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℝ → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1))
367349, 366syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1))
368200, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝜒𝑀 ∈ ℝ)
369 max2 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
370368, 361, 369syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ if(𝑀 ≤ ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1), 𝑀))
371370, 144breqtrrdi 5099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝜒 → ((⌊‘(𝑌 / (𝑥 / 2))) + 1) ≤ 𝑁)
372349, 361, 365, 367, 371ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) < 𝑁)
373349, 321, 372ltled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝜒 → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≤ 𝑁)
374373adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≤ 𝑁)
375354, 356, 357, 358, 374lediv2ad 12441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (1 / 𝑁) ≤ (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2))))
376333, 355, 334, 335, 375lemul2ad 11568 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ≤ (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))))
377334recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ∈ ℂ)
378350recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ∈ ℂ)
379353gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑥 / 2)) ≠ 0)
380377, 378, 379divrecd 11407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) = (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))))
381331recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ∈ ℂ)
382351gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → 𝑌 ≠ 0)
383348adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑥 / 2) ≠ 0)
384377, 381, 382, 383ddcand 11424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 / (𝑌 / (𝑥 / 2))) = (𝑥 / 2))
385380, 384eqtr3d 2855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / (𝑌 / (𝑥 / 2)))) = (𝑥 / 2))
386376, 385breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑁)) ≤ (𝑥 / 2))
387320, 330, 331, 343, 386letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜒 ∧ 0 < 𝑌) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
388319, 387syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜒 ∧ ¬ 𝑌 = 0) → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
389314, 388pm2.61dan 809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑌 · (1 / 𝑗)) ≤ (𝑥 / 2))
390244, 282, 235, 304, 389letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (𝑌 · (𝑧 − (𝐵 − (1 / 𝑗)))) ≤ (𝑥 / 2))
391239, 244, 235, 280, 390letrd 10785 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))))) ≤ (𝑥 / 2))
392238, 391eqbrtrd 5079 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) ≤ (𝑥 / 2))
393 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
394198, 393syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
395229, 231, 235, 235, 392, 394leltaddd 11250 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)))
3963442halvesd 11871 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ((𝑥 / 2) + (𝑥 / 2)) = 𝑥)
397395, 396breqtrd 5083 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ((abs‘((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗))) + (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < 𝑥)
398227, 232, 233, 234, 397lelttrd 10786 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘(((𝐹𝑧) − (𝑆𝑗)) + ((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆)))) < 𝑥)
399221, 398eqbrtrd 5079 . . . . . . . . 9 (𝜒 → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
400197, 399sylbir 236 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
401400adantrl 712 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) ∧ (𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗))) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)
402401ex 413 . . . . . 6 (((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ 𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)) → ((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
403402ralrimiva 3179 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
404 brimralrspcev 5118 . . . . 5 (((1 / 𝑗) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < (1 / 𝑗)) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
405196, 403, 404syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑗 ∈ (ℤ𝑁)) ∧ (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
406 simpr 485 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑏𝑁)
407406iftrued 4471 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑁)
408 uzid 12246 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
409180, 408syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
410409adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑁))
411407, 410eqeltrd 2910 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
412411adantlr 711 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
413 iffalse 4472 . . . . . . . . . 10 𝑏𝑁 → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑏)
414413adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) = 𝑏)
415180ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ ℤ)
416 simplr 765 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ ℤ)
417415zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
418416zred 12075 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ ℝ)
419 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → ¬ 𝑏𝑁)
420417, 418ltnled 10775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → (𝑁 < 𝑏 ↔ ¬ 𝑏𝑁))
421419, 420mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁 < 𝑏)
422417, 418, 421ltled 10776 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑁𝑏)
423 eluz2 12237 . . . . . . . . . 10 (𝑏 ∈ (ℤ𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ 𝑁𝑏))
424415, 416, 422, 423syl3anbrc 1335 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → 𝑏 ∈ (ℤ𝑁))
425414, 424eqeltrd 2910 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ¬ 𝑏𝑁) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
426412, 425pm2.61dan 809 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
427426adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁))
428 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
429 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℤ)
430180adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
431430, 429ifcld 4508 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ ℤ)
432429zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ∈ ℝ)
433430zred 12075 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
434 max1 12566 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏))
435432, 433, 434syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏))
436 eluz2 12237 . . . . . . . . . 10 (if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏) ↔ (𝑏 ∈ ℤ ∧ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ ℤ ∧ 𝑏 ≤ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
437429, 431, 435, 436syl3anbrc 1335 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏))
438437adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏))
439 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (𝑆𝑐) = (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
440439eleq1d 2894 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((𝑆𝑐) ∈ ℂ ↔ (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ))
441439fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))))
442441breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
443440, 442anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑐 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ↔ ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
444443rspccva 3619 . . . . . . . 8 ((∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) ∧ if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑏)) → ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
445428, 438, 444syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
446445simprd 496 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
447 fveq2 6663 . . . . . . . . 9 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (𝑆𝑗) = (𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)))
448447fvoveq1d 7167 . . . . . . . 8 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → (abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) = (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))))
449448breq1d 5067 . . . . . . 7 (𝑗 = if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) → ((abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2) ↔ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
450449rspcev 3620 . . . . . 6 ((if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏) ∈ (ℤ𝑁) ∧ (abs‘((𝑆‘if(𝑏𝑁, 𝑁, 𝑏)) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
451427, 446, 450syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) ∧ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
452 ax-resscn 10582 . . . . . . . . . . . . . 14 ℝ ⊆ ℂ
453452a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
45426, 453fssd 6521 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ)
455 dvcn 24445 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℂ ∧ (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D 𝐹) = (𝐴(,)𝐵)) → 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
456453, 454, 151, 107, 455syl31anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ))
457 cncffvrn 23433 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ 𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℂ)) → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
458453, 456, 457syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ) ↔ 𝐹:(𝐴(,)𝐵)⟶ℝ))
45926, 458mpbird 258 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 ∈ ((𝐴(,)𝐵)–cn→ℝ))
460 ioodvbdlimc2lem.r . . . . . . . . . . . 12 𝑅 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗)))
461103, 460fmptd 6870 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅:(ℤ𝑀)⟶(𝐴(,)𝐵))
462 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))
463 climrel 14837 . . . . . . . . . . . . 13 Rel ⇝
464463a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → Rel ⇝ )
465 fvex 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ℤ𝑀) ∈ V
466465mptex 6977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) ∈ V
467466a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) ∈ V)
468 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵))
469 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑚) → 𝐵 = 𝐵)
470 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑚 ∈ (ℤ𝑀))
4716adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
472468, 469, 470, 471fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑚 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑚) = 𝐵)
47323, 22, 467, 85, 472climconst 14888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) ⇝ 𝐵)
474465mptex 6977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐵 − (1 / 𝑗))) ∈ V
475460, 474eqeltri 2906 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑅 ∈ V
476475a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑅 ∈ V)
477 1cnd 10624 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
478 elnnnn0b 11929 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑀 ∈ ℕ ↔ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 0 < 𝑀))
47921, 65, 478sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
480 divcnvg 41784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((1 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) ⇝ 0)
481477, 479, 480syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) ⇝ 0)
482 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵))
483 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → 𝐵 = 𝐵)
484 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ (ℤ𝑀))
4856adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝐵 ∈ ℝ)
486482, 483, 484, 485fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) = 𝐵)
487486, 485eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) ∈ ℝ)
488487recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) ∈ ℂ)
489 eqidd 2819 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗)))
490 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑖))
491490adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) ∧ 𝑗 = 𝑖) → (1 / 𝑗) = (1 / 𝑖))
4923, 484sseldi 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℝ)
493 0red 10632 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 ∈ ℝ)
49460adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
49565adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑀)
496 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑖)
497496adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑀𝑖)
498493, 494, 492, 495, 497ltletrd 10788 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 0 < 𝑖)
499498gt0ne0d 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ≠ 0)
500492, 499rereccld 11455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑖) ∈ ℝ)
501489, 491, 484, 500fvmptd 6767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖) = (1 / 𝑖))
502492recnd 10657 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → 𝑖 ∈ ℂ)
503502, 499reccld 11397 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (1 / 𝑖) ∈ ℂ)
504501, 503eqeltrd 2910 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖) ∈ ℂ)
505490oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑖 → (𝐵 − (1 / 𝑗)) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
506 ovex 7178 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐵 − (1 / 𝑖)) ∈ V
507505, 460, 506fvmpt 6761 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑅𝑖) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
508507adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑖) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
509486, 501oveq12d 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) − ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖)) = (𝐵 − (1 / 𝑖)))
510508, 509eqtr4d 2856 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑖 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑖) = (((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ 𝐵)‘𝑖) − ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (1 / 𝑗))‘𝑖)))
51123, 22, 473, 476, 481, 488, 504, 510climsub 14978 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑅 ⇝ (𝐵 − 0))
51285subid1d 10974 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐵 − 0) = 𝐵)
513511, 512breqtrd 5083 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑅𝐵)
514 releldm 5807 . . . . . . . . . . . 12 ((Rel ⇝ ∧ 𝑅𝐵) → 𝑅 ∈ dom ⇝ )
515464, 513, 514syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑅 ∈ dom ⇝ )
516 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑘 → (ℤ𝑙) = (ℤ𝑘))
517 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑙 = 𝑘 → (𝑅𝑙) = (𝑅𝑘))
518517oveq2d 7161 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑙 = 𝑘 → ((𝑅) − (𝑅𝑙)) = ((𝑅) − (𝑅𝑘)))
519518fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑙 = 𝑘 → (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) = (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))))
520519breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑙 = 𝑘 → ((abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
521516, 520raleqbidv 3399 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑙 = 𝑘 → (∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
522521cbvrabv 3489 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
523 fveq2 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( = 𝑖 → (𝑅) = (𝑅𝑖))
524523fvoveq1d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( = 𝑖 → (abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) = (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))))
525524breq1d 5067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( = 𝑖 → ((abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ (abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))))
526525cbvralvw 3447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
527526rgenw 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)))
528 rabbi 3381 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑀)(∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1)) ↔ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))) ↔ {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))})
529527, 528mpbi 231 . . . . . . . . . . . . 13 {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
530522, 529eqtri 2841 . . . . . . . . . . . 12 {𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))} = {𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}
531530infeq1i 8930 . . . . . . . . . . 11 inf({𝑙 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀ ∈ (ℤ𝑙)(abs‘((𝑅) − (𝑅𝑙))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < ) = inf({𝑘 ∈ (ℤ𝑀) ∣ ∀𝑖 ∈ (ℤ𝑘)(abs‘((𝑅𝑖) − (𝑅𝑘))) < (𝑥 / (sup(ran (𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵) ↦ (abs‘((ℝ D 𝐹)‘𝑧))), ℝ, < ) + 1))}, ℝ, < )
5327, 6, 9, 459, 107, 108, 22, 461, 462, 515, 531ioodvbdlimc1lem1 42092 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))) ⇝ (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))))
533460fvmpt2 6771 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ∧ (𝐵 − (1 / 𝑗)) ∈ ℝ) → (𝑅𝑗) = (𝐵 − (1 / 𝑗)))
534111, 58, 533syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝑅𝑗) = (𝐵 − (1 / 𝑗)))
535534eqcomd 2824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐵 − (1 / 𝑗)) = (𝑅𝑗))
536535fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ𝑀)) → (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗))) = (𝐹‘(𝑅𝑗)))
537536mpteq2dva 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
538105, 537syl5eq 2865 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 = (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗))))
539538fveq2d 6667 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) = (lim sup‘(𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝑅𝑗)))))
540532, 538, 5393brtr4d 5089 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆))
541465mptex 6977 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (ℤ𝑀) ↦ (𝐹‘(𝐵 − (1 / 𝑗)))) ∈ V
542105, 541eqeltri 2906 . . . . . . . . . . 11 𝑆 ∈ V
543542a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ∈ V)
544 eqidd 2819 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑐 ∈ ℤ) → (𝑆𝑐) = (𝑆𝑐))
545543, 544clim 14839 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ⇝ (lim sup‘𝑆) ↔ ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))))
546540, 545mpbid 233 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎)))
547546simprd 496 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))
548547adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎))
549 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ+)
550549rphalfcld 12431 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → (𝑥 / 2) ∈ ℝ+)
551 breq2 5061 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑥 / 2) → ((abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
552551anbi2d 628 . . . . . . . 8 (𝑎 = (𝑥 / 2) → (((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ↔ ((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
553552rexralbidv 3298 . . . . . . 7 (𝑎 = (𝑥 / 2) → (∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ↔ ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))))
554553rspccva 3619 . . . . . 6 ((∀𝑎 ∈ ℝ+𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑎) ∧ (𝑥 / 2) ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
555548, 550, 554syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑏 ∈ ℤ ∀𝑐 ∈ (ℤ𝑏)((𝑆𝑐) ∈ ℂ ∧ (abs‘((𝑆𝑐) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2)))
556451, 555r19.29a 3286 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ (ℤ𝑁)(abs‘((𝑆𝑗) − (lim sup‘𝑆))) < (𝑥 / 2))
557405, 556r19.29a 3286 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
558557ralrimiva 3179 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))
559 ioosscn 41645 . . . 4 (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ
560559a1i 11 . . 3 (𝜑 → (𝐴(,)𝐵) ⊆ ℂ)
561454, 560, 85ellimc3 24404 . 2 (𝜑 → ((lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ ((lim sup‘𝑆) ∈ ℂ ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ (𝐴(,)𝐵)((𝑧𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑦) → (abs‘((𝐹𝑧) − (lim sup‘𝑆))) < 𝑥))))
562134, 558, 561mpbir2and 709 1 (𝜑 → (lim sup‘𝑆) ∈ (𝐹 lim 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  {crab 3139  Vcvv 3492  wss 3933  c0 4288  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cmpt 5137  dom cdm 5548  ran crn 5549  Rel wrel 5553  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  supcsup 8892  infcinf 8893  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  (,)cioo 12726  cfl 13148  abscabs 14581  lim supclsp 14815  cli 14829  cnccncf 23411   lim climc 24387   D cdv 24388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603  ax-addf 10604  ax-mulf 10605
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-2o 8092  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-pm 8398  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-limsup 14816  df-clim 14833  df-rlim 14834  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-starv 16568  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-unif 16576  df-hom 16577  df-cco 16578  df-rest 16684  df-topn 16685  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-topgen 16705  df-pt 16706  df-prds 16709  df-xrs 16763  df-qtop 16768  df-imas 16769  df-xps 16771  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-mulg 18163  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-psmet 20465  df-xmet 20466  df-met 20467  df-bl 20468  df-mopn 20469  df-fbas 20470  df-fg 20471  df-cnfld 20474  df-top 21430  df-topon 21447  df-topsp 21469  df-bases 21482  df-cld 21555  df-ntr 21556  df-cls 21557  df-nei 21634  df-lp 21672  df-perf 21673  df-cn 21763  df-cnp 21764  df-haus 21851  df-cmp 21923  df-tx 22098  df-hmeo 22291  df-fil 22382  df-fm 22474  df-flim 22475  df-flf 22476  df-xms 22857  df-ms 22858  df-tms 22859  df-cncf 23413  df-limc 24391  df-dv 24392
This theorem is referenced by:  ioodvbdlimc2  42096
  Copyright terms: Public domain W3C validator