Theorem fourierdlem87 46767

Description: The integral of 𝐺 goes uniformly ( with respect to 𝑛) to zero if the measure of the domain of integration goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem87.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem87.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem87.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem87.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem87.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem87.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem87.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem87.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem87.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
fourierdlem87.10	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑥)
fourierdlem87.gibl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
fourierdlem87.d	⊢ 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎)
fourierdlem87.ch	⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem87	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑑,𝑛,𝑢   𝐺,𝑎,𝑑,𝑠,𝑢   𝐾,𝑎,𝑠   𝑈,𝑎,𝑛   𝑈,𝑘,𝑛   𝑥,𝑈,𝑎   𝑒,𝑎,𝑑,𝑛,𝑢   𝜑,𝑎,𝑑,𝑛,𝑠,𝑢   𝜒,𝑠   𝑒,𝑘,𝑢   𝑘,𝑠   𝜑,𝑥,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑎,𝑑)   𝐷(𝑥,𝑒,𝑘,𝑠,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑈(𝑢,𝑒,𝑠,𝑑)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝐺(𝑥,𝑒,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑋(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑌(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)

Proof of Theorem fourierdlem87

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem87.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem87.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		fourierdlem87.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		fourierdlem87.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
5		fourierdlem87.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6		fourierdlem87.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
7		fourierdlem87.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
8		fourierdlem87.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑥)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	fourierdlem77 46757	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
10		nfv 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
11		nfra1 3286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎
12	10, 11	nfan 1919	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
13		nfv 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑛 ∈ ℕ
14	12, 13	nfan 1919	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠(((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
15		simp-4l 792	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑)
16		simp-4r 793	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
17		simplr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	15, 16, 17	jca31 522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
19		simpr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
20		simpllr 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
21		rspa 3251	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
22	20, 19, 21	syl2anc 593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
23		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	fourierdlem55 46735	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
26	25	adantlr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
27		nnre 12217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
28		fourierdlem87.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
29	28	fourierdlem5 46686	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
31	30	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
32	31, 23	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℝ)
33	26, 32	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ)
34		fourierdlem87.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
35	34	fvmpt2 6987	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
36	23, 33, 35	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
37		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
38		halfre 12434	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
40	27, 39	readdcld 11211	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
42		pire 26519	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ π ∈ ℝ
43	42	renegcli 11492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -π ∈ ℝ
44		iccssre 13433	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
45	43, 42, 44	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
46	45	sseli 3932	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
47	46	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
48	41, 47	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
49	48	resincld 16175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
50	28	fvmpt2 6987	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
51	37, 49, 50	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
52	51	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
53	52	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
54	36, 53	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
55	54	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = (abs‘((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
56	26	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℂ)
57	49	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
59	56, 58	absmuld 15484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
60	55, 59	eqtrd 2797	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
61	60	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
62	61	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
63	56	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
64	58	abscld 15466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
65	63, 64	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
66	65	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
67	66	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
68	63	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
69	68	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
70		rpre 13002	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
71	70	ad4antlr 743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
72		1red 11182	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 1 ∈ ℝ)
73	56	absge0d 15474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
74	48	adantll 724	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
75		abssinbd 45874	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ≤ 1)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ≤ 1)
77	64, 72, 63, 73, 76	lemul2ad 12132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · 1))
78	63	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℂ)
79	78	mulridd 11199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · 1) = (abs‘(𝑈‘𝑠)))
80	77, 79	breqtrd 5126	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
81	80	adantllr 729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
82	81	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
83		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
84	67, 69, 71, 82, 83	letrd 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ 𝑎)
85	62, 84	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
86	18, 19, 22, 85	syl21anc 848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
87	86	ex 416	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎))
88	14, 87	ralrimi 3260	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
89	88	ralrimiva 3154	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
90	89	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎))
91	90	reximdva 3175	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎))
92	9, 91	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
93	92	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
94		fourierdlem87.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎)
95		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ+)
96		3rp 12999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ+
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 3 ∈ ℝ+)
98	95, 97	rpdivcld 13054	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
99	98	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
100		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
101	99, 100	rpdivcld 13054	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ+)
102	94, 101	eqeltrid 2866	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
103	102	adantll 724	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
104	103	3adant3 1145	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝐷 ∈ ℝ+)
105		nfv 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
106		nfv 1934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑎 ∈ ℝ+
107		nfra1 3286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎
108	105, 106, 107	nf3an 1921	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
109		nfv 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑢 ∈ dom vol
110	108, 109	nfan 1919	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol)
111		nfv 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
112	110, 111	nfan 1919	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷))
113		fourierdlem87.ch	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
114		simpl1l 1238	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝜑)
115	114	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
116	113, 115	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
117	116, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
118	116, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ)
119	116, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑌 ∈ ℝ)
120	116, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑊 ∈ ℝ)
121	27	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
122	113, 121	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑛 ∈ ℝ)
123	117, 118, 119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34	fourierdlem67 46747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
124	123	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
125		simplrl 786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ⊆ (-π[,]π))
126	113, 125	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑢 ⊆ (-π[,]π))
127	126	sselda 3936	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
128	124, 127	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ)
129		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ∈ dom vol)
130	113, 129	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑢 ∈ dom vol)
131	123	ffvelcdmda 7065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ)
132	123	feqmptd 6935	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)))
133	113	simprbi 501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑛 ∈ ℕ)
134		fourierdlem87.gibl	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
135	116, 133, 134	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐺 ∈ 𝐿1)
136	132, 135	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
137	126, 130, 131, 136	iblss 25867	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
138	128, 137	itgcl 25846	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
139	138	abscld 15466	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) ∈ ℝ)
140	128	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℂ)
141	140	abscld 15466	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ∈ ℝ)
142	128, 137	iblabs 25891	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ (abs‘(𝐺‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
143	141, 142	itgrecl 25860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
144		simpl1r 1239	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑒 ∈ ℝ+)
145	144	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑒 ∈ ℝ+)
146	113, 145	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ+)
147	146	rpred 13037	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ)
148	147	rehalfcld 12468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
149	128, 137	itgabs 25897	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) ≤ ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠)
150		simpl2 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑎 ∈ ℝ+)
151	150	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℝ+)
152	113, 151	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℝ+)
153	152	rpred 13037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℝ)
154	153	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑎 ∈ ℝ)
155		iccssxr 13434	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
156		volf 25591	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
158	157, 130	ffvelcdmd 7066	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ (0[,]+∞))
159	155, 158	sselid 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ ℝ*)
160		iccvolcl 25629	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ)
161	43, 42, 160	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ)
163		mnfxr 11239	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → -∞ ∈ ℝ*)
165		0xr 11229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ*
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 0 ∈ ℝ*)
167		mnflt0 13127	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ < 0
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → -∞ < 0)
169		volge0 46535	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘𝑢))
170	130, 169	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 0 ≤ (vol‘𝑢))
171	164, 166, 159, 168, 170	xrltletrd 13163	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → -∞ < (vol‘𝑢))
172		iccmbl 25628	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ∈ dom vol)
173	43, 42, 172	mp2an 702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-π[,]π) ∈ dom vol
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (-π[,]π) ∈ dom vol)
175		volss 25595	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (-π[,]π) ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))
176	130, 174, 126, 175	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))
177		xrre 13172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((vol‘𝑢) ∈ ℝ* ∧ (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (vol‘𝑢) ∧ (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))) → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
178	159, 162, 171, 176, 177	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
179	152	rpcnd 13039	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℂ)
180		iblconstmpt 46530	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ 𝑎) ∈ 𝐿1)
181	130, 178, 179, 180	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ 𝑎) ∈ 𝐿1)
182	154, 181	itgrecl 25860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 ∈ ℝ)
183		simpl3 1207	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
184	183	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
185	113, 184	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
186		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
187	185, 133, 186	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
188	187	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
189		rspa 3251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
190	188, 127, 189	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
191	142, 181, 141, 154, 190	itgle 25872	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 ≤ ∫𝑢𝑎 d𝑠)
192		itgconst 25881	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢)))
193	130, 178, 179, 192	syl3anc 1390	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢)))
194	153, 178	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ∈ ℝ)
195		3re 12298	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℝ
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 3 ∈ ℝ)
197		3ne0 12327	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ≠ 0
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 3 ≠ 0)
199	147, 196, 198	redivcld 12019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℝ)
200	152	rpne0d 13042	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ≠ 0)
201	199, 153, 200	redivcld 12019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ)
202	94, 201	eqeltrid 2866	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐷 ∈ ℝ)
203	153, 202	remulcld 11212	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) ∈ ℝ)
204	152	rpge0d 13041	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 0 ≤ 𝑎)
205		simplrr 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
206	113, 205	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
207	178, 202, 153, 204, 206	lemul2ad 12132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ≤ (𝑎 · 𝐷))
208	94	oveq2i 7407	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 · 𝐷) = (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎))
209	199	recnd 11210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℂ)
210	209, 179, 200	divcan2d 11969	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎)) = (𝑒 / 3))
211	208, 210	eqtrid 2809	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) = (𝑒 / 3))
212		2rp 12998	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
213	212	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 2 ∈ ℝ+)
214	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 3 ∈ ℝ+)
215		2lt3 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 3
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 2 < 3)
217	213, 214, 146, 216	ltdiv2dd 45873	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) < (𝑒 / 2))
218	211, 217	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) < (𝑒 / 2))
219	194, 203, 148, 207, 218	lelttrd 11341	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) < (𝑒 / 2))
220	193, 219	eqbrtrd 5122	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 < (𝑒 / 2))
221	143, 182, 148, 191, 220	lelttrd 11341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 < (𝑒 / 2))
222	139, 143, 148, 149, 221	lelttrd 11341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
223	113, 222	sylbir 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
224	223	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → (𝑛 ∈ ℕ → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
225	112, 224	ralrimi 3260	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
226	225	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
227	226	ralrimiva 3154	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
228		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑑 ↔ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷))
229	228	anbi2d 639	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) ↔ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)))
230	229	rspceaimv 3587	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
231	104, 227, 230	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
232	231	rexlimdv3a 3167	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
233	93, 232	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
234		simplll 784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝜑)
235		simplr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑛 ∈ ℕ)
236		simpllr 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑢 ⊆ (-π[,]π))
237		simpr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ 𝑢)
238	236, 237	sseldd 3937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
239	234, 235, 238, 54	syl21anc 848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
240	239	itgeq2dv 25844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
241	240	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
242	241	breq1d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
243	242	ralbidva 3183	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
244		oveq1 7403	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
245	244	oveq1d 7411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
246	245	fveq2d 6871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
247	246	oveq2d 7412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
248	247	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
249	248	itgeq2dv 25844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
250	249	fveq2d 6871	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
251	250	breq1d 5110	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
252	251	cbvralvw 3240	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
253	243, 252	bitrdi 289	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
254	253	adantrr 727	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
255	254	pm5.74da 813	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
256	255	rexralbidv 3228	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
257	256	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
258	233, 257	mpbid 234	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3904  ifcif 4480   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181  dom cdm 5647  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078  +∞cpnf 11213  -∞cmnf 11214  ℝ^*cxr 11215   < clt 11216   ≤ cle 11217   − cmin 11414  -cneg 11415   / cdiv 11844  ℕcn 12210  2c2 12272  3c3 12273  ℝ⁺crp 12993  [,]cicc 13352  abscabs 15261  sincsin 16093  πcpi 16096  volcvol 25525  𝐿¹cibl 25679  ∫citg 25680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596  ax-cc 10392  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-iin 4952  df-disj 5068  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-se 5601  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-isom 6530  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-of 7660  df-ofr 7661  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8141  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-map 8810  df-pm 8811  df-ixp 8880  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-fsupp 9308  df-fi 9357  df-sup 9388  df-inf 9389  df-oi 9458  df-dju 9859  df-card 9897  df-acn 9900  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-xneg 13114  df-xadd 13115  df-xmul 13116  df-ioo 13353  df-ioc 13354  df-ico 13355  df-icc 13356  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-fac 14287  df-bc 14316  df-hash 14344  df-shft 15080  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-limsup 15498  df-clim 15515  df-rlim 15516  df-sum 15714  df-ef 16097  df-sin 16099  df-cos 16100  df-pi 16102  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-sca 17302  df-vsca 17303  df-ip 17304  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-hom 17310  df-cco 17311  df-rest 17451  df-topn 17452  df-0g 17470  df-gsum 17471  df-topgen 17472  df-pt 17473  df-prds 17476  df-xrs 17532  df-qtop 17537  df-imas 17538  df-xps 17540  df-mre 17614  df-mrc 17615  df-acs 17617  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818  df-mulg 19110  df-cntz 19357  df-cmn 19822  df-psmet 21416  df-xmet 21417  df-met 21418  df-bl 21419  df-mopn 21420  df-fbas 21421  df-fg 21422  df-cnfld 21425  df-top 22954  df-topon 22971  df-topsp 22993  df-bases 23006  df-cld 23079  df-ntr 23080  df-cls 23081  df-nei 23158  df-lp 23196  df-perf 23197  df-cn 23287  df-cnp 23288  df-t1 23374  df-haus 23375  df-cmp 23447  df-tx 23622  df-hmeo 23815  df-fil 23906  df-fm 23998  df-flim 23999  df-flf 24000  df-xms 24380  df-ms 24381  df-tms 24382  df-cncf 24940  df-ovol 25526  df-vol 25527  df-mbf 25681  df-itg1 25682  df-itg2 25683  df-ibl 25684  df-itg 25685  df-0p 25732  df-limc 25928  df-dv 25929

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