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Theorem fourierdlem87 45394
Description: The integral of 𝐺 goes uniformly ( with respect to 𝑛) to zero if the measure of the domain of integration goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem87.f (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
fourierdlem87.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem87.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
fourierdlem87.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
fourierdlem87.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
fourierdlem87.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
fourierdlem87.u π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
fourierdlem87.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
fourierdlem87.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
fourierdlem87.10 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π»β€˜π‘ )) ≀ π‘₯)
fourierdlem87.gibl ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
fourierdlem87.d 𝐷 = ((𝑒 / 3) / π‘Ž)
fourierdlem87.ch (πœ’ ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem87 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑑,𝑛,𝑒   𝐺,π‘Ž,𝑑,𝑠,𝑒   𝐾,π‘Ž,𝑠   π‘ˆ,π‘Ž,𝑛   π‘ˆ,π‘˜,𝑛   π‘₯,π‘ˆ,π‘Ž   𝑒,π‘Ž,𝑑,𝑛,𝑒   πœ‘,π‘Ž,𝑑,𝑛,𝑠,𝑒   πœ’,𝑠   𝑒,π‘˜,𝑒   π‘˜,𝑠   πœ‘,π‘₯,𝑠
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑒,π‘˜)   πœ’(π‘₯,𝑒,𝑒,π‘˜,𝑛,π‘Ž,𝑑)   𝐷(π‘₯,𝑒,π‘˜,𝑠,π‘Ž)   𝑆(π‘₯,𝑒,𝑒,π‘˜,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑑)   π‘ˆ(𝑒,𝑒,𝑠,𝑑)   𝐹(π‘₯,𝑒,𝑒,π‘˜,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑑)   𝐺(π‘₯,𝑒,π‘˜,𝑛)   𝐻(π‘₯,𝑒,𝑒,π‘˜,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑑)   𝐾(π‘₯,𝑒,𝑒,π‘˜,𝑛,𝑑)   π‘Š(π‘₯,𝑒,𝑒,π‘˜,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑑)   𝑋(π‘₯,𝑒,𝑒,π‘˜,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑑)   π‘Œ(π‘₯,𝑒,𝑒,π‘˜,𝑛,𝑠,π‘Ž,𝑑)

Proof of Theorem fourierdlem87
StepHypRef Expression
1 fourierdlem87.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
2 fourierdlem87.x . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
3 fourierdlem87.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
4 fourierdlem87.w . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
5 fourierdlem87.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((πΉβ€˜(𝑋 + 𝑠)) βˆ’ if(0 < 𝑠, π‘Œ, π‘Š)) / 𝑠)))
6 fourierdlem87.k . . . . . 6 𝐾 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 Β· (sinβ€˜(𝑠 / 2))))))
7 fourierdlem87.u . . . . . 6 π‘ˆ = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π»β€˜π‘ ) Β· (πΎβ€˜π‘ )))
8 fourierdlem87.10 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π»β€˜π‘ )) ≀ π‘₯)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fourierdlem77 45384 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
10 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑠(πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+)
11 nfra1 3273 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž
1210, 11nfan 1894 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑠((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
13 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑠 𝑛 ∈ β„•
1412, 13nfan 1894 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑠(((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•)
15 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ πœ‘)
16 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
17 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
1815, 16, 17jca31 514 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•))
19 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
20 simpllr 773 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
21 rspa 3237 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
2220, 19, 21syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
23 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7fourierdlem55 45362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ π‘ˆ:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
2524ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
2625adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
27 nnre 12216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
28 fourierdlem87.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑆 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
2928fourierdlem5 45313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℝ β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
3130ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑆:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
3231, 23ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) ∈ ℝ)
3326, 32remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ)
34 fourierdlem87.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
3534fvmpt2 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) ∈ ℝ) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
3623, 33, 35syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )))
37 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
38 halfre 12423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 / 2) ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ β„• β†’ (1 / 2) ∈ ℝ)
4027, 39readdcld 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ β„• β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
4140adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
42 pire 26310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Ο€ ∈ ℝ
4342renegcli 11518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -Ο€ ∈ ℝ
44 iccssre 13403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ)
4543, 42, 44mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-Ο€[,]Ο€) βŠ† ℝ
4645sseli 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
4746adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 𝑠 ∈ ℝ)
4841, 47remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
4948resincld 16083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
5028fvmpt2 6999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ∧ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
5137, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘†β€˜π‘ ) = (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
5251oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ β„• ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
5352adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (π‘†β€˜π‘ )) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
5436, 53eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
5554fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) = (absβ€˜((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))))
5626recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (π‘ˆβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
5749adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ ℝ)
5857recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) ∈ β„‚)
5956, 58absmuld 15398 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) = ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))))
6055, 59eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) = ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))))
6160adantllr 716 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) = ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) ∧ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) = ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))))
6356abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
6458abscld 15380 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ∈ ℝ)
6563, 64remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ ℝ)
6665adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ ℝ)
6766adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) ∧ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ∈ ℝ)
6863adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
6968adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) ∧ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
70 rpre 12979 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ž ∈ ℝ+ β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
7170ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) ∧ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
72 1red 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 1 ∈ ℝ)
7356absge0d 15388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )))
7448adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ)
75 abssinbd 44490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ≀ 1)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) ≀ 1)
7764, 72, 63, 73, 76lemul2ad 12151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ≀ ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· 1))
7863recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ∈ β„‚)
7978mulridd 11228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· 1) = (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )))
8077, 79breqtrd 5164 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ≀ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )))
8180adantllr 716 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ≀ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )))
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) ∧ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ≀ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )))
83 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) ∧ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
8467, 69, 71, 82, 83letrd 11368 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) ∧ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ ((absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) Β· (absβ€˜(sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)))) ≀ π‘Ž)
8562, 84eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) ∧ (absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
8618, 19, 22, 85syl21anc 835 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
8786ex 412 . . . . . . . . 9 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž))
8814, 87ralrimi 3246 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
8988ralrimiva 3138 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
9089ex 412 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž))
9190reximdva 3160 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(π‘ˆβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž))
929, 91mpd 15 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
9392adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
94 fourierdlem87.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((𝑒 / 3) / π‘Ž)
95 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
96 3rp 12977 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ+
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ 3 ∈ ℝ+)
9895, 97rpdivcld 13030 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ℝ+ β†’ (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
9998adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
100 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
10199, 100rpdivcld 13030 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ ((𝑒 / 3) / π‘Ž) ∈ ℝ+)
10294, 101eqeltrid 2829 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
103102adantll 711 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
1041033adant3 1129 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ 𝐷 ∈ ℝ+)
105 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛(πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
106 nfv 1909 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑛 π‘Ž ∈ ℝ+
107 nfra1 3273 . . . . . . . . . . 11 β„²π‘›βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž
108105, 106, 107nf3an 1896 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
109 nfv 1909 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑛 𝑒 ∈ dom vol
110108, 109nfan 1894 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol)
111 nfv 1909 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑛(𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)
112110, 111nfan 1894 . . . . . . . 8 Ⅎ𝑛((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷))
113 fourierdlem87.ch . . . . . . . . . 10 (πœ’ ↔ (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•))
114 simpl1l 1221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) β†’ πœ‘)
115114ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ πœ‘)
116113, 115sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ πœ‘)
117116, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
118116, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
119116, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
120116, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ π‘Š ∈ ℝ)
12127adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
122113, 121sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 𝑛 ∈ ℝ)
123117, 118, 119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34fourierdlem67 45374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
124123adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ 𝐺:(-Ο€[,]Ο€)βŸΆβ„)
125 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
126113, 125sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
127126sselda 3974 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
128124, 127ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
129 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑒 ∈ dom vol)
130113, 129sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ 𝑒 ∈ dom vol)
131123ffvelcdmda 7076 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
132123feqmptd 6950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )))
133113simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 𝑛 ∈ β„•)
134 fourierdlem87.gibl . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
135116, 133, 134syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
136132, 135eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ (𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€) ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
137126, 130, 131, 136iblss 25656 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ’ β†’ (𝑠 ∈ 𝑒 ↦ (πΊβ€˜π‘ )) ∈ 𝐿1)
138128, 137itgcl 25635 . . . . . . . . . . . 12 (πœ’ β†’ βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 ∈ β„‚)
139138abscld 15380 . . . . . . . . . . 11 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) ∈ ℝ)
140128recnd 11239 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
141140abscld 15380 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
142128, 137iblabs 25680 . . . . . . . . . . . 12 (πœ’ β†’ (𝑠 ∈ 𝑒 ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ ))) ∈ 𝐿1)
143141, 142itgrecl 25649 . . . . . . . . . . 11 (πœ’ β†’ βˆ«π‘’(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) d𝑠 ∈ ℝ)
144 simpl1r 1222 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
145144ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
146113, 145sylbi 216 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ’ β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
147146rpred 13013 . . . . . . . . . . . 12 (πœ’ β†’ 𝑒 ∈ ℝ)
148147rehalfcld 12456 . . . . . . . . . . 11 (πœ’ β†’ (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
149128, 137itgabs 25686 . . . . . . . . . . 11 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) ≀ βˆ«π‘’(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) d𝑠)
150 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
151150ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
152113, 151sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ π‘Ž ∈ ℝ+)
153152rpred 13013 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
154153adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ π‘Ž ∈ ℝ)
155 iccssxr 13404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
156 volf 25380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 vol:dom vol⟢(0[,]+∞)
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ vol:dom vol⟢(0[,]+∞))
158157, 130ffvelcdmd 7077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ (volβ€˜π‘’) ∈ (0[,]+∞))
159155, 158sselid 3972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ (volβ€˜π‘’) ∈ ℝ*)
160 iccvolcl 25418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜(-Ο€[,]Ο€)) ∈ ℝ)
16143, 42, 160mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (volβ€˜(-Ο€[,]Ο€)) ∈ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ (volβ€˜(-Ο€[,]Ο€)) ∈ ℝ)
163 mnfxr 11268 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
165 0xr 11258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 0 ∈ ℝ*)
167 mnflt0 13102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ < 0
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ -∞ < 0)
169 volge0 45162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 ∈ dom vol β†’ 0 ≀ (volβ€˜π‘’))
170130, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 0 ≀ (volβ€˜π‘’))
171164, 166, 159, 168, 170xrltletrd 13137 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ -∞ < (volβ€˜π‘’))
172 iccmbl 25417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-Ο€ ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ) β†’ (-Ο€[,]Ο€) ∈ dom vol)
17343, 42, 172mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-Ο€[,]Ο€) ∈ dom vol
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ (-Ο€[,]Ο€) ∈ dom vol)
175 volss 25384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑒 ∈ dom vol ∧ (-Ο€[,]Ο€) ∈ dom vol ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (volβ€˜π‘’) ≀ (volβ€˜(-Ο€[,]Ο€)))
176130, 174, 126, 175syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ (volβ€˜π‘’) ≀ (volβ€˜(-Ο€[,]Ο€)))
177 xrre 13145 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((volβ€˜π‘’) ∈ ℝ* ∧ (volβ€˜(-Ο€[,]Ο€)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (volβ€˜π‘’) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ (volβ€˜(-Ο€[,]Ο€)))) β†’ (volβ€˜π‘’) ∈ ℝ)
178159, 162, 171, 176, 177syl22anc 836 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ (volβ€˜π‘’) ∈ ℝ)
179152rpcnd 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
180 iblconstmpt 45157 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ π‘Ž ∈ β„‚) β†’ (𝑠 ∈ 𝑒 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐿1)
181130, 178, 179, 180syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ’ β†’ (𝑠 ∈ 𝑒 ↦ π‘Ž) ∈ 𝐿1)
182154, 181itgrecl 25649 . . . . . . . . . . . 12 (πœ’ β†’ βˆ«π‘’π‘Ž d𝑠 ∈ ℝ)
183 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
184183ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
185113, 184sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
186 rspa 3237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
187185, 133, 186syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
188187adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
189 rspa 3237 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž ∧ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
190188, 127, 189syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ’ ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž)
191142, 181, 141, 154, 190itgle 25661 . . . . . . . . . . . 12 (πœ’ β†’ βˆ«π‘’(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) d𝑠 ≀ βˆ«π‘’π‘Ž d𝑠)
192 itgconst 25670 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜π‘’) ∈ ℝ ∧ π‘Ž ∈ β„‚) β†’ βˆ«π‘’π‘Ž d𝑠 = (π‘Ž Β· (volβ€˜π‘’)))
193130, 178, 179, 192syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ’ β†’ βˆ«π‘’π‘Ž d𝑠 = (π‘Ž Β· (volβ€˜π‘’)))
194153, 178remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ (π‘Ž Β· (volβ€˜π‘’)) ∈ ℝ)
195 3re 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℝ
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ 3 ∈ ℝ)
197 3ne0 12315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 β‰  0
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ’ β†’ 3 β‰  0)
199147, 196, 198redivcld 12039 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (𝑒 / 3) ∈ ℝ)
200152rpne0d 13018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ π‘Ž β‰  0)
201199, 153, 200redivcld 12039 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ ((𝑒 / 3) / π‘Ž) ∈ ℝ)
20294, 201eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
203153, 202remulcld 11241 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ (π‘Ž Β· 𝐷) ∈ ℝ)
204152rpge0d 13017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ 0 ≀ π‘Ž)
205 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)
206113, 205sylbi 216 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)
207178, 202, 153, 204, 206lemul2ad 12151 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ (π‘Ž Β· (volβ€˜π‘’)) ≀ (π‘Ž Β· 𝐷))
20894oveq2i 7412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ž Β· 𝐷) = (π‘Ž Β· ((𝑒 / 3) / π‘Ž))
209199recnd 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ’ β†’ (𝑒 / 3) ∈ β„‚)
210209, 179, 200divcan2d 11989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ (π‘Ž Β· ((𝑒 / 3) / π‘Ž)) = (𝑒 / 3))
211208, 210eqtrid 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ (π‘Ž Β· 𝐷) = (𝑒 / 3))
212 2rp 12976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 2 ∈ ℝ+)
21496a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 3 ∈ ℝ+)
215 2lt3 12381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 3
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ’ β†’ 2 < 3)
217213, 214, 146, 216ltdiv2dd 44489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ’ β†’ (𝑒 / 3) < (𝑒 / 2))
218211, 217eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ’ β†’ (π‘Ž Β· 𝐷) < (𝑒 / 2))
219194, 203, 148, 207, 218lelttrd 11369 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ’ β†’ (π‘Ž Β· (volβ€˜π‘’)) < (𝑒 / 2))
220193, 219eqbrtrd 5160 . . . . . . . . . . . 12 (πœ’ β†’ βˆ«π‘’π‘Ž d𝑠 < (𝑒 / 2))
221143, 182, 148, 191, 220lelttrd 11369 . . . . . . . . . . 11 (πœ’ β†’ βˆ«π‘’(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) d𝑠 < (𝑒 / 2))
222139, 143, 148, 149, 221lelttrd 11369 . . . . . . . . . 10 (πœ’ β†’ (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2))
223113, 222sylbir 234 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2))
224223ex 412 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) β†’ (𝑛 ∈ β„• β†’ (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
225112, 224ralrimi 3246 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2))
226225ex 412 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) ∧ 𝑒 ∈ dom vol) β†’ ((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
227226ralrimiva 3138 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
228 breq2 5142 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑 ↔ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷))
229228anbi2d 628 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 β†’ ((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) ↔ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷)))
230229rspceaimv 3609 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝐷) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
231104, 227, 230syl2anc 583 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
232231rexlimdv3a 3151 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘Ž ∈ ℝ+ βˆ€π‘› ∈ β„• βˆ€π‘  ∈ (-Ο€[,]Ο€)(absβ€˜(πΊβ€˜π‘ )) ≀ π‘Ž β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
23393, 232mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
234 simplll 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ πœ‘)
235 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
236 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€))
237 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ 𝑠 ∈ 𝑒)
238236, 237sseldd 3975 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ 𝑠 ∈ (-Ο€[,]Ο€))
239234, 235, 238, 54syl21anc 835 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
240239itgeq2dv 25633 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠 = βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
241240fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) = (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
242241breq1d 5148 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
243242ralbidva 3167 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
244 oveq1 7408 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = π‘˜ β†’ (𝑛 + (1 / 2)) = (π‘˜ + (1 / 2)))
245244oveq1d 7416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠) = ((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))
246245fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = π‘˜ β†’ (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠)) = (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠)))
247246oveq2d 7417 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
248247adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = π‘˜ ∧ 𝑠 ∈ 𝑒) β†’ ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) = ((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))))
249248itgeq2dv 25633 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = π‘˜ β†’ βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠 = βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠)
250249fveq2d 6885 . . . . . . . . 9 (𝑛 = π‘˜ β†’ (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) = (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠))
251250breq1d 5148 . . . . . . . 8 (𝑛 = π‘˜ β†’ ((absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
252251cbvralvw 3226 . . . . . . 7 (βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((𝑛 + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
253243, 252bitrdi 287 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
254253adantrr 714 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑)) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
255254pm5.74da 801 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
256255rexralbidv 3212 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
257256adantr 480 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’(πΊβ€˜π‘ ) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
258233, 257mpbid 231 1 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ dom vol((𝑒 βŠ† (-Ο€[,]Ο€) ∧ (volβ€˜π‘’) ≀ 𝑑) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (absβ€˜βˆ«π‘’((π‘ˆβ€˜π‘ ) Β· (sinβ€˜((π‘˜ + (1 / 2)) Β· 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  βˆƒwrex 3062   βŠ† wss 3940  ifcif 4520   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  dom cdm 5666  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11242  -∞cmnf 11243  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246   βˆ’ cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  β„•cn 12209  2c2 12264  3c3 12265  β„+crp 12971  [,]cicc 13324  abscabs 15178  sincsin 16004  Ο€cpi 16007  volcvol 25314  πΏ1cibl 25468  βˆ«citg 25469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-disj 5104  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-ofr 7664  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-oadd 8465  df-omul 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-t1 23140  df-haus 23141  df-cmp 23213  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-ovol 25315  df-vol 25316  df-mbf 25470  df-itg1 25471  df-itg2 25472  df-ibl 25473  df-itg 25474  df-0p 25521  df-limc 25717  df-dv 25718
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  45410  fourierdlem104  45411
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