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Theorem fourierdlem87 41047
Description: The integral of 𝐺 goes uniformly ( with respect to 𝑛) to zero if the measure of the domain of integration goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem87.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem87.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem87.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem87.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem87.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem87.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem87.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem87.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem87.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem87.10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑥)
fourierdlem87.gibl ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
fourierdlem87.d 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎)
fourierdlem87.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem87 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑑,𝑛,𝑢   𝐺,𝑎,𝑑,𝑠,𝑢   𝐾,𝑎,𝑠   𝑈,𝑎,𝑛   𝑈,𝑘,𝑛   𝑥,𝑈,𝑎   𝑒,𝑎,𝑑,𝑛,𝑢   𝜑,𝑎,𝑑,𝑛,𝑠,𝑢   𝜒,𝑠   𝑒,𝑘,𝑢   𝑘,𝑠   𝜑,𝑥,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑎,𝑑)   𝐷(𝑥,𝑒,𝑘,𝑠,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑈(𝑢,𝑒,𝑠,𝑑)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝐺(𝑥,𝑒,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑋(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑌(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)

Proof of Theorem fourierdlem87
StepHypRef Expression
1 fourierdlem87.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem87.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 fourierdlem87.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 fourierdlem87.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
5 fourierdlem87.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6 fourierdlem87.k . . . . . 6 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
7 fourierdlem87.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
8 fourierdlem87.10 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑥)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fourierdlem77 41037 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
10 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑠(𝜑𝑎 ∈ ℝ+)
11 nfra1 3088 . . . . . . . . . . 11 𝑠𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎
1210, 11nfan 1998 . . . . . . . . . 10 𝑠((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
13 nfv 2009 . . . . . . . . . 10 𝑠 𝑛 ∈ ℕ
1412, 13nfan 1998 . . . . . . . . 9 𝑠(((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
15 simp-4l 801 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑)
16 simp-4r 803 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
17 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1815, 16, 17jca31 510 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
19 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
20 simpllr 793 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
21 rspa 3077 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
2220, 19, 21syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
23 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7fourierdlem55 41015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
2524ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
2625adantlr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
27 nnre 11282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
28 fourierdlem87.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
2928fourierdlem5 40966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
3130ad2antlr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
3231, 23ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
3326, 32remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
34 fourierdlem87.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
3534fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
3623, 33, 35syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
37 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
38 halfre 11492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 / 2) ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4027, 39readdcld 10323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
4140adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
42 pire 24502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 π ∈ ℝ
4342renegcli 10596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ∈ ℝ
44 iccssre 12457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
4543, 42, 44mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π[,]π) ⊆ ℝ
4645sseli 3757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
4746adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
4841, 47remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
4948resincld 15155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
5028fvmpt2 6480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
5137, 49, 50syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
5251oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
5352adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
5436, 53eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
5554fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺𝑠)) = (abs‘((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
5626recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℂ)
5749adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
5857recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
5956, 58absmuld 14478 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
6055, 59eqtrd 2799 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺𝑠)) = ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
6160adantllr 710 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺𝑠)) = ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
6261adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺𝑠)) = ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
6356abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
6458abscld 14460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
6563, 64remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
6665adantllr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
6766adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
6863adantllr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
6968adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
70 rpre 12036 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
7170ad4antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
72 1red 10294 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 1 ∈ ℝ)
7356absge0d 14468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝑈𝑠)))
7448adantll 705 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
75 abssinbd 40148 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ≤ 1)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ≤ 1)
7764, 72, 63, 73, 76lemul2ad 11218 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ ((abs‘(𝑈𝑠)) · 1))
7863recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℂ)
7978mulid1d 10311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · 1) = (abs‘(𝑈𝑠)))
8077, 79breqtrd 4835 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈𝑠)))
8180adantllr 710 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈𝑠)))
8281adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈𝑠)))
83 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
8467, 69, 71, 82, 83letrd 10448 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ 𝑎)
8562, 84eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
8618, 19, 22, 85syl21anc 866 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
8786ex 401 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎))
8814, 87ralrimi 3104 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
8988ralrimiva 3113 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
9089ex 401 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎))
9190reximdva 3163 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎))
929, 91mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
9392adantr 472 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
94 fourierdlem87.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎)
95 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+)
96 3rp 12034 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ+
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℝ+ → 3 ∈ ℝ+)
9895, 97rpdivcld 12087 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
9998adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
100 simpr 477 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
10199, 100rpdivcld 12087 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+) → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ+)
10294, 101syl5eqel 2848 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
103102adantll 705 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
1041033adant3 1162 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝐷 ∈ ℝ+)
105 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
106 nfv 2009 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑎 ∈ ℝ+
107 nfra1 3088 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎
108105, 106, 107nf3an 2000 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
109 nfv 2009 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑢 ∈ dom vol
110108, 109nfan 1998 . . . . . . . . 9 𝑛(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol)
111 nfv 2009 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
112110, 111nfan 1998 . . . . . . . 8 𝑛((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷))
113 fourierdlem87.ch . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
114 simpl1l 1293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝜑)
115114ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
116113, 115sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝜑)
117116, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝐹:ℝ⟶ℝ)
118116, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑋 ∈ ℝ)
119116, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑌 ∈ ℝ)
120116, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑊 ∈ ℝ)
12127adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
122113, 121sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑛 ∈ ℝ)
123117, 118, 119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34fourierdlem67 41027 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
124123adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜒𝑠𝑢) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
125 simplrl 795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ⊆ (-π[,]π))
126113, 125sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑢 ⊆ (-π[,]π))
127126sselda 3761 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜒𝑠𝑢) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
128124, 127ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜒𝑠𝑢) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
129 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ∈ dom vol)
130113, 129sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑢 ∈ dom vol)
131123ffvelrnda 6549 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜒𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
132123feqmptd 6438 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)))
133113simprbi 490 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑛 ∈ ℕ)
134 fourierdlem87.gibl . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
135116, 133, 134syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐺 ∈ 𝐿1)
136132, 135eqeltrrd 2845 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
137126, 130, 131, 136iblss 23862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑠𝑢 ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
138128, 137itgcl 23841 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
139138abscld 14460 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) ∈ ℝ)
140128recnd 10322 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜒𝑠𝑢) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
141140abscld 14460 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜒𝑠𝑢) → (abs‘(𝐺𝑠)) ∈ ℝ)
142128, 137iblabs 23886 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (𝑠𝑢 ↦ (abs‘(𝐺𝑠))) ∈ 𝐿1)
143141, 142itgrecl 23855 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
144 simpl1r 1295 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑒 ∈ ℝ+)
145144ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑒 ∈ ℝ+)
146113, 145sylbi 208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒𝑒 ∈ ℝ+)
147146rpred 12070 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒𝑒 ∈ ℝ)
148147rehalfcld 11525 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
149128, 137itgabs 23892 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) ≤ ∫𝑢(abs‘(𝐺𝑠)) d𝑠)
150 simpl2 1244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑎 ∈ ℝ+)
151150ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℝ+)
152113, 151sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑎 ∈ ℝ+)
153152rpred 12070 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑎 ∈ ℝ)
154153adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜒𝑠𝑢) → 𝑎 ∈ ℝ)
155 iccssxr 12458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
156 volf 23587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
158157, 130ffvelrnd 6550 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ (0[,]+∞))
159155, 158sseldi 3759 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ ℝ*)
160 iccvolcl 23625 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ)
16143, 42, 160mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ)
163 mnfxr 10350 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → -∞ ∈ ℝ*)
165 0xr 10340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 0 ∈ ℝ*)
167 mnflt0 12159 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ < 0
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → -∞ < 0)
169 volge0 40814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘𝑢))
170130, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 0 ≤ (vol‘𝑢))
171164, 166, 159, 168, 170xrltletrd 12194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → -∞ < (vol‘𝑢))
172 iccmbl 23624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ∈ dom vol)
17343, 42, 172mp2an 683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π[,]π) ∈ dom vol
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (-π[,]π) ∈ dom vol)
175 volss 23591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (-π[,]π) ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))
176130, 174, 126, 175syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))
177 xrre 12202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((vol‘𝑢) ∈ ℝ* ∧ (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (vol‘𝑢) ∧ (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))) → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
178159, 162, 171, 176, 177syl22anc 867 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
179152rpcnd 12072 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑎 ∈ ℂ)
180 iblconstmpt 40809 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑠𝑢𝑎) ∈ 𝐿1)
181130, 178, 179, 180syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑠𝑢𝑎) ∈ 𝐿1)
182154, 181itgrecl 23855 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 ∈ ℝ)
183 simpl3 1246 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
184183ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
185113, 184sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
186 rspa 3077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
187185, 133, 186syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
188187adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜒𝑠𝑢) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
189 rspa 3077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
190188, 127, 189syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜒𝑠𝑢) → (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
191142, 181, 141, 154, 190itgle 23867 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺𝑠)) d𝑠 ≤ ∫𝑢𝑎 d𝑠)
192 itgconst 23876 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢)))
193130, 178, 179, 192syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢)))
194153, 178remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ∈ ℝ)
195 3re 11352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℝ
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 3 ∈ ℝ)
197 3ne0 11385 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ≠ 0
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 3 ≠ 0)
199147, 196, 198redivcld 11107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℝ)
200152rpne0d 12075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑎 ≠ 0)
201199, 153, 200redivcld 11107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ)
20294, 201syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐷 ∈ ℝ)
203153, 202remulcld 10324 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) ∈ ℝ)
204152rpge0d 12074 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 0 ≤ 𝑎)
205 simplrr 796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
206113, 205sylbi 208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
207178, 202, 153, 204, 206lemul2ad 11218 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ≤ (𝑎 · 𝐷))
20894oveq2i 6853 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 · 𝐷) = (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎))
209199recnd 10322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℂ)
210209, 179, 200divcan2d 11057 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎)) = (𝑒 / 3))
211208, 210syl5eq 2811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) = (𝑒 / 3))
212 2rp 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 2 ∈ ℝ+)
21496a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 3 ∈ ℝ+)
215 2lt3 11450 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 3
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 2 < 3)
217213, 214, 146, 216ltdiv2dd 40147 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (𝑒 / 3) < (𝑒 / 2))
218211, 217eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) < (𝑒 / 2))
219194, 203, 148, 207, 218lelttrd 10449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) < (𝑒 / 2))
220193, 219eqbrtrd 4831 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 < (𝑒 / 2))
221143, 182, 148, 191, 220lelttrd 10449 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺𝑠)) d𝑠 < (𝑒 / 2))
222139, 143, 148, 149, 221lelttrd 10449 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
223113, 222sylbir 226 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
224223ex 401 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → (𝑛 ∈ ℕ → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
225112, 224ralrimi 3104 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
226225ex 401 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
227226ralrimiva 3113 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
228 breq2 4813 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑑 ↔ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷))
229228anbi2d 622 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) ↔ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)))
230229rspceaimv 3469 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
231104, 227, 230syl2anc 579 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
232231rexlimdv3a 3180 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
23393, 232mpd 15 . 2 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
234 simplll 791 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → 𝜑)
235 simplr 785 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → 𝑛 ∈ ℕ)
236 simpllr 793 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → 𝑢 ⊆ (-π[,]π))
237 simpr 477 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → 𝑠𝑢)
238236, 237sseldd 3762 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
239234, 235, 238, 54syl21anc 866 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
240239itgeq2dv 23839 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
241240fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
242241breq1d 4819 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
243242ralbidva 3132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
244 oveq1 6849 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
245244oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
246245fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
247246oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
248247adantr 472 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑘𝑠𝑢) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
249248itgeq2dv 23839 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
250249fveq2d 6379 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
251250breq1d 4819 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
252251cbvralv 3319 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
253243, 252syl6bb 278 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
254253adantrr 708 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
255254pm5.74da 838 . . . 4 (𝜑 → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
256255rexralbidv 3205 . . 3 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
257256adantr 472 . 2 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
258233, 257mpbid 223 1 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  wss 3732  ifcif 4243   class class class wbr 4809  cmpt 4888  dom cdm 5277  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  cr 10188  0cc0 10189  1c1 10190   + caddc 10192   · cmul 10194  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  cmin 10520  -cneg 10521   / cdiv 10938  cn 11274  2c2 11327  3c3 11328  +crp 12028  [,]cicc 12380  abscabs 14259  sincsin 15076  πcpi 15079  volcvol 23521  𝐿1cibl 23675  citg 23676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cc 9510  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267  ax-addf 10268  ax-mulf 10269
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-fal 1666  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-disj 4778  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-se 5237  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-isom 6077  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-of 7095  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-supp 7498  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-2o 7765  df-oadd 7768  df-omul 7769  df-er 7947  df-map 8062  df-pm 8063  df-ixp 8114  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-fin 8164  df-fsupp 8483  df-fi 8524  df-sup 8555  df-inf 8556  df-oi 8622  df-card 9016  df-acn 9019  df-cda 9243  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-4 11337  df-5 11338  df-6 11339  df-7 11340  df-8 11341  df-9 11342  df-n0 11539  df-z 11625  df-dec 11741  df-uz 11887  df-q 11990  df-rp 12029  df-xneg 12146  df-xadd 12147  df-xmul 12148  df-ioo 12381  df-ioc 12382  df-ico 12383  df-icc 12384  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14092  df-cj 14124  df-re 14125  df-im 14126  df-sqrt 14260  df-abs 14261  df-limsup 14487  df-clim 14504  df-rlim 14505  df-sum 14702  df-ef 15080  df-sin 15082  df-cos 15083  df-pi 15085  df-struct 16132  df-ndx 16133  df-slot 16134  df-base 16136  df-sets 16137  df-ress 16138  df-plusg 16227  df-mulr 16228  df-starv 16229  df-sca 16230  df-vsca 16231  df-ip 16232  df-tset 16233  df-ple 16234  df-ds 16236  df-unif 16237  df-hom 16238  df-cco 16239  df-rest 16349  df-topn 16350  df-0g 16368  df-gsum 16369  df-topgen 16370  df-pt 16371  df-prds 16374  df-xrs 16428  df-qtop 16433  df-imas 16434  df-xps 16436  df-mre 16512  df-mrc 16513  df-acs 16515  df-mgm 17508  df-sgrp 17550  df-mnd 17561  df-submnd 17602  df-mulg 17808  df-cntz 18013  df-cmn 18461  df-psmet 20011  df-xmet 20012  df-met 20013  df-bl 20014  df-mopn 20015  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-cnfld 20020  df-top 20978  df-topon 20995  df-topsp 21017  df-bases 21030  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-lp 21220  df-perf 21221  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-t1 21398  df-haus 21399  df-cmp 21470  df-tx 21645  df-hmeo 21838  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-xms 22404  df-ms 22405  df-tms 22406  df-cncf 22960  df-ovol 23522  df-vol 23523  df-mbf 23677  df-itg1 23678  df-itg2 23679  df-ibl 23680  df-itg 23681  df-0p 23728  df-limc 23921  df-dv 23922
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  41063  fourierdlem104  41064
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