Theorem fourierdlem87 47476

Description: The integral of 𝐺 goes uniformly ( with respect to 𝑛) to zero if the measure of the domain of integration goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem87.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem87.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem87.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem87.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem87.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem87.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem87.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem87.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem87.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
fourierdlem87.10	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑥)
fourierdlem87.gibl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
fourierdlem87.d	⊢ 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎)
fourierdlem87.ch	⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem87	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑑,𝑛,𝑢   𝐺,𝑎,𝑑,𝑠,𝑢   𝐾,𝑎,𝑠   𝑈,𝑎,𝑛   𝑈,𝑘,𝑛   𝑥,𝑈,𝑎   𝑒,𝑎,𝑑,𝑛,𝑢   𝜑,𝑎,𝑑,𝑛,𝑠,𝑢   𝜒,𝑠   𝑒,𝑘,𝑢   𝑘,𝑠   𝜑,𝑥,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒, 𝑘)   𝜒(𝑥, 𝑢, 𝑒, 𝑘, 𝑛, 𝑎, 𝑑)   𝐷(𝑥, 𝑒, 𝑘, 𝑠, 𝑎)   𝑆(𝑥, 𝑢, 𝑒, 𝑘, 𝑛, 𝑠, 𝑎, 𝑑)   𝑈(𝑢, 𝑒, 𝑠, 𝑑)   𝐹(𝑥, 𝑢, 𝑒, 𝑘, 𝑛, 𝑠, 𝑎, 𝑑)   𝐺(𝑥, 𝑒, 𝑘, 𝑛)   𝐻(𝑥, 𝑢, 𝑒, 𝑘, 𝑛, 𝑠, 𝑎, 𝑑)   𝐾(𝑥, 𝑢, 𝑒, 𝑘, 𝑛, 𝑑)   𝑊(𝑥, 𝑢, 𝑒, 𝑘, 𝑛, 𝑠, 𝑎, 𝑑)   𝑋(𝑥, 𝑢, 𝑒, 𝑘, 𝑛, 𝑠, 𝑎, 𝑑)   𝑌(𝑥, 𝑢, 𝑒, 𝑘, 𝑛, 𝑠, 𝑎, 𝑑)

Proof of Theorem fourierdlem87

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem87.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem87.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		fourierdlem87.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		fourierdlem87.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
5		fourierdlem87.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6		fourierdlem87.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
7		fourierdlem87.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
8		fourierdlem87.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑥)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	fourierdlem77 47466	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
10		nfv 1949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
11		nfra1 3290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎
12	10, 11	nfan 1934	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
13		nfv 1949	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑛 ∈ ℕ
14	12, 13	nfan 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠(((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
15		simp-4l 795	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝜑)
16		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
17		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	15, 16, 17	jca31 524	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
19		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
20		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
21		rspa 3255	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
22	20, 19, 21	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
23		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	fourierdlem55 47444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑈:( -π[,]π)⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
26	25	adantlr 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
27		nnre 12382	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
28		fourierdlem87.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
29	28	fourierdlem5 47395	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑆:( -π[,]π)⟶ℝ)
30	27, 29	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑆:( -π[,]π)⟶ℝ)
31	30	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑆:( -π[,]π)⟶ℝ)
32	31, 23	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℝ)
33	26, 32	remulcld 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ)
34		fourierdlem87.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
35	34	fvmpt2 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
36	23, 33, 35	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
37		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
38		halfre 12599	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
40	27, 39	readdcld 11377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
42		pire 26840	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ π ∈ ℝ
43	42	renegcli 11658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -π ∈ ℝ
44		iccssre 13600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ( -π[,]π) ⊆ ℝ)
45	43, 42, 44	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( -π[,]π) ⊆ ℝ
46	45	sseli 3909	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
47	46	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
48	41, 47	remulcld 11378	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
49	48	resincld 16355	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
50	28	fvmpt2 7036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
51	37, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
52	51	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
53	52	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
54	36, 53	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
55	54	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = (abs‘((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
56	26	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℂ)
57	49	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
59	56, 58	absmuld 15668	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
60	55, 59	eqtrd 2798	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
61	60	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
62	61	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
63	56	abscld 15650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
64	58	abscld 15650	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
65	63, 64	remulcld 11378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
66	65	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
67	66	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
68	63	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
69	68	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
70		rpre 13169	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
71	70	ad4antlr 746	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
72		1red 11348	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 1 ∈ ℝ)
73	56	absge0d 15658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
74	48	adantll 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
75		abssinbd 46584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ≤ 1)
76	74, 75	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ≤ 1)
77	64, 72, 63, 73, 76	lemul2ad 12297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · 1))
78	63	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℂ)
79	78	mulridd 11365	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · 1) = (abs‘(𝑈‘𝑠)))
80	77, 79	breqtrd 5137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
81	80	adantllr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
82	81	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
83		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
84	67, 69, 71, 82, 83	letrd 11506	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ 𝑎)
85	62, 84	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
86	18, 19, 22, 85	syl21anc 851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
87	86	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎))
88	14, 87	ralrimi 3264	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
89	88	ralrimiva 3158	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
90	89	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎))
91	90	reximdva 3179	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎))
92	9, 91	mpd 16	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
93	92	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
94		fourierdlem87.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎)
95		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ+)
96		3rp 13166	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ+
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 3 ∈ ℝ+)
98	95, 97	rpdivcld 13221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
99	98	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
100		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
101	99, 100	rpdivcld 13221	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ+)
102	94, 101	eqeltrid 2868	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
103	102	adantll 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
104	103	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝐷 ∈ ℝ+)
105		nfv 1949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
106		nfv 1949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑎 ∈ ℝ+
107		nfra1 3290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎
108	105, 106, 107	nf3an 1936	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
109		nfv 1949	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑢 ∈ dom vol
110	108, 109	nfan 1934	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol)
111		nfv 1949	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
112	110, 111	nfan 1934	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷))
113		fourierdlem87.ch	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
114		simpl1l 1243	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝜑)
115	114	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
116	113, 115	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
117	116, 1	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
118	116, 2	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ)
119	116, 3	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑌 ∈ ℝ)
120	116, 4	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑊 ∈ ℝ)
121	27	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
122	113, 121	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑛 ∈ ℝ)
123	117, 118, 119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34	fourierdlem67 47456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐺:( -π[,]π)⟶ℝ)
124	123	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝐺:( -π[,]π)⟶ℝ)
125		simplrl 789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ⊆ ( -π[,]π))
126	113, 125	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑢 ⊆ ( -π[,]π))
127	126	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
128	124, 127	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ)
129		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ∈ dom vol)
130	113, 129	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑢 ∈ dom vol)
131	123	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ)
132	123	feqmptd 6984	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐺 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)))
133	113	simprbi 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑛 ∈ ℕ)
134		fourierdlem87.gibl	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
135	116, 133, 134	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐺 ∈ 𝐿1)
136	132, 135	eqeltrrd 2865	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
137	126, 130, 131, 136	iblss 26180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
138	128, 137	itgcl 26159	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
139	138	abscld 15650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) ∈ ℝ)
140	128	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℂ)
141	140	abscld 15650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ∈ ℝ)
142	128, 137	iblabs 26204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ (abs‘(𝐺‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
143	141, 142	itgrecl 26173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
144		simpl1r 1244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑒 ∈ ℝ+)
145	144	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑒 ∈ ℝ+)
146	113, 145	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ+)
147	146	rpred 13204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ)
148	147	rehalfcld 12633	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
149	128, 137	itgabs 26210	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) ≤ ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠)
150		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑎 ∈ ℝ+)
151	150	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℝ+)
152	113, 151	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℝ+)
153	152	rpred 13204	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℝ)
154	153	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑎 ∈ ℝ)
155		iccssxr 13601	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
156		volf 25905	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
158	157, 130	ffvelcdmd 7117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ (0[,]+∞))
159	155, 158	sselid 3911	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ ℝ*)
160		iccvolcl 25943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘( -π[,]π)) ∈ ℝ)
161	43, 42, 160	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘( -π[,]π)) ∈ ℝ
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘( -π[,]π)) ∈ ℝ)
163		mnfxr 11405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → -∞ ∈ ℝ*)
165		0xr 11395	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ*
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 0 ∈ ℝ*)
167		mnflt0 13294	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ < 0
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → -∞ < 0)
169		volge0 47244	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘𝑢))
170	130, 169	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 0 ≤ (vol‘𝑢))
171	164, 166, 159, 168, 170	xrltletrd 13330	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → -∞ < (vol‘𝑢))
172		iccmbl 25942	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (( -π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → ( -π[,]π) ∈ dom vol)
173	43, 42, 172	mp2an 705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ( -π[,]π) ∈ dom vol
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ( -π[,]π) ∈ dom vol)
175		volss 25909	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ ( -π[,]π) ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) → (vol‘𝑢) ≤ (vol‘( -π[,]π)))
176	130, 174, 126, 175	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ (vol‘( -π[,]π)))
177		xrre 13339	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((vol‘𝑢) ∈ ℝ* ∧ (vol‘( -π[,]π)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (vol‘𝑢) ∧ (vol‘𝑢) ≤ (vol‘( -π[,]π)))) → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
178	159, 162, 171, 176, 177	syl22anc 852	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
179	152	rpcnd 13206	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℂ)
180		iblconstmpt 47239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ 𝑎) ∈ 𝐿1)
181	130, 178, 179, 180	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ 𝑎) ∈ 𝐿1)
182	154, 181	itgrecl 26173	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 ∈ ℝ)
183		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
184	183	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
185	113, 184	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
186		rspa 3255	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
187	185, 133, 186	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
188	187	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
189		rspa 3255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
190	188, 127, 189	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
191	142, 181, 141, 154, 190	itgle 26185	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 ≤ ∫𝑢𝑎 d𝑠)
192		itgconst 26194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢)))
193	130, 178, 179, 192	syl3anc 1399	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢)))
194	153, 178	remulcld 11378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ∈ ℝ)
195		3re 12463	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℝ
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 3 ∈ ℝ)
197		3ne0 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ≠ 0
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 3 ≠ 0)
199	147, 196, 198	redivcld 12185	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℝ)
200	152	rpne0d 13209	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ≠ 0)
201	199, 153, 200	redivcld 12185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ)
202	94, 201	eqeltrid 2868	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐷 ∈ ℝ)
203	153, 202	remulcld 11378	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) ∈ ℝ)
204	152	rpge0d 13208	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 0 ≤ 𝑎)
205		simplrr 790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
206	113, 205	sylbi 220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
207	178, 202, 153, 204, 206	lemul2ad 12297	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ≤ (𝑎 · 𝐷))
208	94	oveq2i 7462	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 · 𝐷) = (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎))
209	199	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℂ)
210	209, 179, 200	divcan2d 12135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎)) = (𝑒 / 3))
211	208, 210	eqtrid 2810	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) = (𝑒 / 3))
212		2rp 13165	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
213	212	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 2 ∈ ℝ+)
214	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 3 ∈ ℝ+)
215		2lt3 12556	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 3
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 2 < 3)
217	213, 214, 146, 216	ltdiv2dd 46583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) < (𝑒 / 2))
218	211, 217	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) < (𝑒 / 2))
219	194, 203, 148, 207, 218	lelttrd 11507	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) < (𝑒 / 2))
220	193, 219	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 < (𝑒 / 2))
221	143, 182, 148, 191, 220	lelttrd 11507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 < (𝑒 / 2))
222	139, 143, 148, 149, 221	lelttrd 11507	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
223	113, 222	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
224	223	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → (𝑛 ∈ ℕ → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
225	112, 224	ralrimi 3264	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
226	225	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
227	226	ralrimiva 3158	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
228		breq2 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑑 ↔ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷))
229	228	anbi2d 642	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) ↔ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)))
230	229	rspceaimv 3586	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
231	104, 227, 230	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
232	231	rexlimdv3a 3171	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
233	93, 232	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
234		simplll 787	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝜑)
235		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑛 ∈ ℕ)
236		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑢 ⊆ ( -π[,]π))
237		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ 𝑢)
238	236, 237	sseldd 3914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
239	234, 235, 238, 54	syl21anc 851	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
240	239	itgeq2dv 26157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
241	240	fveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
242	241	breq1d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
243	242	ralbidva 3187	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
244		oveq1 7458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
245	244	oveq1d 7466	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
246	245	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
247	246	oveq2d 7467	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
248	247	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
249	248	itgeq2dv 26157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
250	249	fveq2d 6920	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
251	250	breq1d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
252	251	cbvralvw 3244	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
253	243, 252	bitrdi 290	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ ( -π[,]π)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
254	253	adantrr 730	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
255	254	pm5.74da 816	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
256	255	rexralbidv 3232	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
257	256	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
258	233, 257	mpbid 235	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ ( -π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900  ifcif 4485   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5658  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244  +∞cpnf 11379  -∞cmnf 11380  ℝ^*cxr 11381   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  ℕcn 12375  2c2 12437  3c3 12438  ℝ⁺crp 13160  [,]cicc 13519  abscabs 15444  sincsin 16273  πcpi 16276  volcvol 25839  𝐿¹cibl 25993  ∫citg 25994

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cc 10552  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-disj 5076  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-ofr 7726  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-omul 8519  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-dju 10019  df-card 10057  df-acn 10060  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-t1 23687  df-haus 23688  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-ovol 25840  df-vol 25841  df-mbf 25995  df-itg1 25996  df-itg2 25997  df-ibl 25998  df-itg 25999  df-0p 26046  df-limc 26241  df-dv 26242

This theorem is used by:  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493