Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fourierdlem87.f |
. . . . . 6
β’ (π β πΉ:ββΆβ) |
2 | | fourierdlem87.x |
. . . . . 6
β’ (π β π β β) |
3 | | fourierdlem87.y |
. . . . . 6
β’ (π β π β β) |
4 | | fourierdlem87.w |
. . . . . 6
β’ (π β π β β) |
5 | | fourierdlem87.h |
. . . . . 6
β’ π» = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ if(π = 0, 0, (((πΉβ(π + π )) β if(0 < π , π, π)) / π ))) |
6 | | fourierdlem87.k |
. . . . . 6
β’ πΎ = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ if(π = 0, 1, (π / (2 Β· (sinβ(π / 2)))))) |
7 | | fourierdlem87.u |
. . . . . 6
β’ π = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((π»βπ ) Β· (πΎβπ ))) |
8 | | fourierdlem87.10 |
. . . . . 6
β’ (π β βπ₯ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(π»βπ )) β€ π₯) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | fourierdlem77 44498 |
. . . . 5
β’ (π β βπ β β+ βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) |
10 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π (π β§ π β β+) |
11 | | nfra1 3270 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π |
12 | 10, 11 | nfan 1903 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π ((π β§ π β β+) β§
βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) |
13 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π π β β |
14 | 12, 13 | nfan 1903 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π (((π β§ π β β+) β§
βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) |
15 | | simp-4l 782 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π) |
16 | | simp-4r 783 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π β
β+) |
17 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π β
β) |
18 | 15, 16, 17 | jca31 516 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((π β§ π β β+) β§ π β
β)) |
19 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π β
(-Ο[,]Ο)) |
20 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) |
21 | | rspa 3234 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(πβπ )) β€ π) |
22 | 20, 19, 21 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(πβπ )) β€ π) |
23 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π β
(-Ο[,]Ο)) |
24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | fourierdlem55 44476 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
25 | 24 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πβπ ) β β) |
26 | 25 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πβπ ) β β) |
27 | | nnre 12167 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β β π β
β) |
28 | | fourierdlem87.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ π = (π β (-Ο[,]Ο) β¦
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π ))) |
29 | 28 | fourierdlem5 44427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
30 | 27, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β β β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
31 | 30 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β π:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
32 | 31, 23 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πβπ ) β β) |
33 | 26, 32 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((πβπ ) Β· (πβπ )) β β) |
34 | | fourierdlem87.g |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ πΊ = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ ((πβπ ) Β· (πβπ ))) |
35 | 34 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
((πβπ ) Β· (πβπ )) β β) β (πΊβπ ) = ((πβπ ) Β· (πβπ ))) |
36 | 23, 33, 35 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πΊβπ ) = ((πβπ ) Β· (πβπ ))) |
37 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
π β
(-Ο[,]Ο)) |
38 | | halfre 12374 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (1 / 2)
β β |
39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π β β β (1 / 2)
β β) |
40 | 27, 39 | readdcld 11191 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β β β (π + (1 / 2)) β
β) |
41 | 40 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(π + (1 / 2)) β
β) |
42 | | pire 25831 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ Ο
β β |
43 | 42 | renegcli 11469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ -Ο
β β |
44 | | iccssre 13353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ ((-Ο
β β β§ Ο β β) β (-Ο[,]Ο) β
β) |
45 | 43, 42, 44 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(-Ο[,]Ο) β β |
46 | 45 | sseli 3945 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β (-Ο[,]Ο) β
π β
β) |
47 | 46 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
π β
β) |
48 | 41, 47 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
((π + (1 / 2)) Β·
π ) β
β) |
49 | 48 | resincld 16032 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
50 | 28 | fvmpt2 6964 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π β (-Ο[,]Ο) β§
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) β (πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
51 | 37, 49, 50 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(πβπ ) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
52 | 51 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π β β β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
((πβπ ) Β· (πβπ )) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
53 | 52 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((πβπ ) Β· (πβπ )) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
54 | 36, 53 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πΊβπ ) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
55 | 54 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(πΊβπ )) = (absβ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))))) |
56 | 26 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πβπ ) β β) |
57 | 49 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
58 | 57 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(sinβ((π + (1 / 2))
Β· π )) β
β) |
59 | 56, 58 | absmuld 15346 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) = ((absβ(πβπ )) Β· (absβ(sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))))) |
60 | 55, 59 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(πΊβπ )) = ((absβ(πβπ )) Β· (absβ(sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))))) |
61 | 60 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(πΊβπ )) = ((absβ(πβπ )) Β· (absβ(sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))))) |
62 | 61 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β β)
β§ π β
(-Ο[,]Ο)) β§ (absβ(πβπ )) β€ π) β (absβ(πΊβπ )) = ((absβ(πβπ )) Β· (absβ(sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))))) |
63 | 56 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(πβπ )) β
β) |
64 | 58 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(sinβ((π +
(1 / 2)) Β· π )))
β β) |
65 | 63, 64 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
((absβ(πβπ )) Β·
(absβ(sinβ((π +
(1 / 2)) Β· π ))))
β β) |
66 | 65 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
((absβ(πβπ )) Β·
(absβ(sinβ((π +
(1 / 2)) Β· π ))))
β β) |
67 | 66 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β β)
β§ π β
(-Ο[,]Ο)) β§ (absβ(πβπ )) β€ π) β ((absβ(πβπ )) Β· (absβ(sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β
β) |
68 | 63 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(πβπ )) β
β) |
69 | 68 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β β)
β§ π β
(-Ο[,]Ο)) β§ (absβ(πβπ )) β€ π) β (absβ(πβπ )) β β) |
70 | | rpre 12930 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β β+
β π β
β) |
71 | 70 | ad4antlr 732 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β β)
β§ π β
(-Ο[,]Ο)) β§ (absβ(πβπ )) β€ π) β π β β) |
72 | | 1red 11163 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β 1 β
β) |
73 | 56 | absge0d 15336 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β 0 β€
(absβ(πβπ ))) |
74 | 48 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β ((π + (1 / 2)) Β· π ) β
β) |
75 | | abssinbd 43603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π + (1 / 2)) Β· π ) β β β
(absβ(sinβ((π +
(1 / 2)) Β· π ))) β€
1) |
76 | 74, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(sinβ((π +
(1 / 2)) Β· π ))) β€
1) |
77 | 64, 72, 63, 73, 76 | lemul2ad 12102 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
((absβ(πβπ )) Β·
(absβ(sinβ((π +
(1 / 2)) Β· π ))))
β€ ((absβ(πβπ )) Β· 1)) |
78 | 63 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(πβπ )) β
β) |
79 | 78 | mulid1d 11179 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
((absβ(πβπ )) Β· 1) =
(absβ(πβπ ))) |
80 | 77, 79 | breqtrd 5136 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
((absβ(πβπ )) Β·
(absβ(sinβ((π +
(1 / 2)) Β· π ))))
β€ (absβ(πβπ ))) |
81 | 80 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
((absβ(πβπ )) Β·
(absβ(sinβ((π +
(1 / 2)) Β· π ))))
β€ (absβ(πβπ ))) |
82 | 81 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β β)
β§ π β
(-Ο[,]Ο)) β§ (absβ(πβπ )) β€ π) β ((absβ(πβπ )) Β· (absβ(sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β€ (absβ(πβπ ))) |
83 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β β)
β§ π β
(-Ο[,]Ο)) β§ (absβ(πβπ )) β€ π) β (absβ(πβπ )) β€ π) |
84 | 67, 69, 71, 82, 83 | letrd 11319 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β β)
β§ π β
(-Ο[,]Ο)) β§ (absβ(πβπ )) β€ π) β ((absβ(πβπ )) Β· (absβ(sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) β€ π) |
85 | 62, 84 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β β)
β§ π β
(-Ο[,]Ο)) β§ (absβ(πβπ )) β€ π) β (absβ(πΊβπ )) β€ π) |
86 | 18, 19, 22, 85 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
87 | 86 | ex 414 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π β§ π β β+) β§
βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) β (π β (-Ο[,]Ο) β
(absβ(πΊβπ )) β€ π)) |
88 | 14, 87 | ralrimi 3243 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π β§ π β β+) β§
βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β§ π β β) β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
89 | 88 | ralrimiva 3144 |
. . . . . . 7
β’ (((π β§ π β β+) β§
βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π) β βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
90 | 89 | ex 414 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π β β+) β
(βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π β βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π)) |
91 | 90 | reximdva 3166 |
. . . . 5
β’ (π β (βπ β β+ βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πβπ )) β€ π β βπ β β+ βπ β β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π)) |
92 | 9, 91 | mpd 15 |
. . . 4
β’ (π β βπ β β+ βπ β β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
93 | 92 | adantr 482 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β
β+ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
94 | | fourierdlem87.d |
. . . . . . . 8
β’ π· = ((π / 3) / π) |
95 | | id 22 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β+
β π β
β+) |
96 | | 3rp 12928 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ 3 β
β+ |
97 | 96 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β+
β 3 β β+) |
98 | 95, 97 | rpdivcld 12981 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β β+
β (π / 3) β
β+) |
99 | 98 | adantr 482 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β (π / 3) β
β+) |
100 | | simpr 486 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β π β β+) |
101 | 99, 100 | rpdivcld 12981 |
. . . . . . . 8
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β ((π / 3) / π) β
β+) |
102 | 94, 101 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . 7
β’ ((π β β+
β§ π β
β+) β π· β
β+) |
103 | 102 | adantll 713 |
. . . . . 6
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β β+)
β π· β
β+) |
104 | 103 | 3adant3 1133 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β π· β
β+) |
105 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π(π β§ π β β+) |
106 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²π π β
β+ |
107 | | nfra1 3270 |
. . . . . . . . . . 11
β’
β²πβπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π |
108 | 105, 106,
107 | nf3an 1905 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
109 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . . 10
β’
β²π π’ β dom vol |
110 | 108, 109 | nfan 1903 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π(((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) |
111 | | nfv 1918 |
. . . . . . . . 9
β’
β²π(π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·) |
112 | 110, 111 | nfan 1903 |
. . . . . . . 8
β’
β²π((((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) |
113 | | fourierdlem87.ch |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (((((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β§ π β β)) |
114 | | simpl1l 1225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β π) |
115 | 114 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β§ π β β) β π) |
116 | 113, 115 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π) |
117 | 116, 1 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β πΉ:ββΆβ) |
118 | 116, 2 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β π β β) |
119 | 116, 3 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β π β β) |
120 | 116, 4 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β π β β) |
121 | 27 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β§ π β β) β π β β) |
122 | 113, 121 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β π β β) |
123 | 117, 118,
119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34 | fourierdlem67 44488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β πΊ:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
124 | 123 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β π’) β πΊ:(-Ο[,]Ο)βΆβ) |
125 | | simplrl 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β§ π β β) β π’ β (-Ο[,]Ο)) |
126 | 113, 125 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π’ β (-Ο[,]Ο)) |
127 | 126 | sselda 3949 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β π’) β π β (-Ο[,]Ο)) |
128 | 124, 127 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π’) β (πΊβπ ) β β) |
129 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β§ π β β) β π’ β dom vol) |
130 | 113, 129 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π’ β dom vol) |
131 | 123 | ffvelcdmda 7040 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β (πΊβπ ) β β) |
132 | 123 | feqmptd 6915 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β πΊ = (π β (-Ο[,]Ο) β¦ (πΊβπ ))) |
133 | 113 | simprbi 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β π β β) |
134 | | fourierdlem87.gibl |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β§ π β β) β πΊ β
πΏ1) |
135 | 116, 133,
134 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β πΊ β
πΏ1) |
136 | 132, 135 | eqeltrrd 2839 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π β (-Ο[,]Ο) β¦ (πΊβπ )) β
πΏ1) |
137 | 126, 130,
131, 136 | iblss 25185 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π β π’ β¦ (πΊβπ )) β
πΏ1) |
138 | 128, 137 | itgcl 25164 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β«π’(πΊβπ ) dπ β β) |
139 | 138 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) β β) |
140 | 128 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π’) β (πΊβπ ) β β) |
141 | 140 | abscld 15328 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π β§ π β π’) β (absβ(πΊβπ )) β β) |
142 | 128, 137 | iblabs 25209 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β (π β π’ β¦ (absβ(πΊβπ ))) β
πΏ1) |
143 | 141, 142 | itgrecl 25178 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β«π’(absβ(πΊβπ )) dπ β β) |
144 | | simpl1r 1226 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β π β β+) |
145 | 144 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β§ π β β) β π β β+) |
146 | 113, 145 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β π β β+) |
147 | 146 | rpred 12964 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β π β β) |
148 | 147 | rehalfcld 12407 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (π / 2) β β) |
149 | 128, 137 | itgabs 25215 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β (absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) β€ β«π’(absβ(πΊβπ )) dπ ) |
150 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β π β β+) |
151 | 150 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β§ π β β) β π β β+) |
152 | 113, 151 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π β β+) |
153 | 152 | rpred 12964 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β β) |
154 | 153 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π’) β π β β) |
155 | | iccssxr 13354 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(0[,]+β) β β* |
156 | | volf 24909 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ vol:dom
volβΆ(0[,]+β) |
157 | 156 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β vol:dom
volβΆ(0[,]+β)) |
158 | 157, 130 | ffvelcdmd 7041 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (volβπ’) β
(0[,]+β)) |
159 | 155, 158 | sselid 3947 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (volβπ’) β
β*) |
160 | | iccvolcl 24947 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((-Ο
β β β§ Ο β β) β (volβ(-Ο[,]Ο))
β β) |
161 | 43, 42, 160 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(volβ(-Ο[,]Ο)) β β |
162 | 161 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (volβ(-Ο[,]Ο))
β β) |
163 | | mnfxr 11219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ -β
β β* |
164 | 163 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β -β β
β*) |
165 | | 0xr 11209 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ 0 β
β* |
166 | 165 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β 0 β
β*) |
167 | | mnflt0 13053 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ -β
< 0 |
168 | 167 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β -β <
0) |
169 | | volge0 44276 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π’ β dom vol β 0 β€
(volβπ’)) |
170 | 130, 169 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β 0 β€ (volβπ’)) |
171 | 164, 166,
159, 168, 170 | xrltletrd 13087 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β -β <
(volβπ’)) |
172 | | iccmbl 24946 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((-Ο
β β β§ Ο β β) β (-Ο[,]Ο) β dom
vol) |
173 | 43, 42, 172 | mp2an 691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(-Ο[,]Ο) β dom vol |
174 | 173 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (-Ο[,]Ο) β dom
vol) |
175 | | volss 24913 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π’ β dom vol β§
(-Ο[,]Ο) β dom vol β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β
(volβπ’) β€
(volβ(-Ο[,]Ο))) |
176 | 130, 174,
126, 175 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (volβπ’) β€
(volβ(-Ο[,]Ο))) |
177 | | xrre 13095 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((volβπ’)
β β* β§ (volβ(-Ο[,]Ο)) β β)
β§ (-β < (volβπ’) β§ (volβπ’) β€ (volβ(-Ο[,]Ο)))) β
(volβπ’) β
β) |
178 | 159, 162,
171, 176, 177 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (volβπ’) β
β) |
179 | 152 | rpcnd 12966 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β π β β) |
180 | | iblconstmpt 44271 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π’ β dom vol β§
(volβπ’) β
β β§ π β
β) β (π β
π’ β¦ π) β
πΏ1) |
181 | 130, 178,
179, 180 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π β π’ β¦ π) β
πΏ1) |
182 | 154, 181 | itgrecl 25178 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β«π’π dπ β β) |
183 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β βπ β β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
184 | 183 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β§ π β β) β βπ β β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
185 | 113, 184 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
186 | | rspa 3234 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π β§ π β β) β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
187 | 185, 133,
186 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
188 | 187 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π β§ π β π’) β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
189 | | rspa 3234 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π β§ π β (-Ο[,]Ο)) β
(absβ(πΊβπ )) β€ π) |
190 | 188, 127,
189 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π β§ π β π’) β (absβ(πΊβπ )) β€ π) |
191 | 142, 181,
141, 154, 190 | itgle 25190 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β«π’(absβ(πΊβπ )) dπ β€ β«π’π dπ ) |
192 | | itgconst 25199 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π’ β dom vol β§
(volβπ’) β
β β§ π β
β) β β«π’π dπ = (π Β· (volβπ’))) |
193 | 130, 178,
179, 192 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β β«π’π dπ = (π Β· (volβπ’))) |
194 | 153, 178 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π Β· (volβπ’)) β β) |
195 | | 3re 12240 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ 3 β
β |
196 | 195 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β 3 β
β) |
197 | | 3ne0 12266 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ 3 β
0 |
198 | 197 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π β 3 β 0) |
199 | 147, 196,
198 | redivcld 11990 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π / 3) β β) |
200 | 152 | rpne0d 12969 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β π β 0) |
201 | 199, 153,
200 | redivcld 11990 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β ((π / 3) / π) β β) |
202 | 94, 201 | eqeltrid 2842 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β π· β β) |
203 | 153, 202 | remulcld 11192 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π Β· π·) β β) |
204 | 152 | rpge0d 12968 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β 0 β€ π) |
205 | | simplrr 777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β§ π β β) β (volβπ’) β€ π·) |
206 | 113, 205 | sylbi 216 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (volβπ’) β€ π·) |
207 | 178, 202,
153, 204, 206 | lemul2ad 12102 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π Β· (volβπ’)) β€ (π Β· π·)) |
208 | 94 | oveq2i 7373 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π Β· π·) = (π Β· ((π / 3) / π)) |
209 | 199 | recnd 11190 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β (π / 3) β β) |
210 | 209, 179,
200 | divcan2d 11940 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β (π Β· ((π / 3) / π)) = (π / 3)) |
211 | 208, 210 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (π Β· π·) = (π / 3)) |
212 | | 2rp 12927 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ 2 β
β+ |
213 | 212 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β 2 β
β+) |
214 | 96 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β 3 β
β+) |
215 | | 2lt3 12332 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ 2 <
3 |
216 | 215 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β 2 < 3) |
217 | 213, 214,
146, 216 | ltdiv2dd 43602 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π β (π / 3) < (π / 2)) |
218 | 211, 217 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π β (π Β· π·) < (π / 2)) |
219 | 194, 203,
148, 207, 218 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π β (π Β· (volβπ’)) < (π / 2)) |
220 | 193, 219 | eqbrtrd 5132 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π β β«π’π dπ < (π / 2)) |
221 | 143, 182,
148, 191, 220 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (π β β«π’(absβ(πΊβπ )) dπ < (π / 2)) |
222 | 139, 143,
148, 149, 221 | lelttrd 11320 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β (absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2)) |
223 | 113, 222 | sylbir 234 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β§ π β β) β (absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2)) |
224 | 223 | ex 414 |
. . . . . . . 8
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β (π β β β (absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2))) |
225 | 112, 224 | ralrimi 3243 |
. . . . . . 7
β’
(((((π β§ π β β+)
β§ π β
β+ β§ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·)) β βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2)) |
226 | 225 | ex 414 |
. . . . . 6
β’ ((((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β§ π’ β dom vol) β ((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·) β βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2))) |
227 | 226 | ralrimiva 3144 |
. . . . 5
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·) β βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2))) |
228 | | breq2 5114 |
. . . . . . 7
β’ (π = π· β ((volβπ’) β€ π β (volβπ’) β€ π·)) |
229 | 228 | anbi2d 630 |
. . . . . 6
β’ (π = π· β ((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π·))) |
230 | 229 | rspceaimv 3588 |
. . . . 5
β’ ((π· β β+
β§ βπ’ β dom
vol((π’ β
(-Ο[,]Ο) β§ (volβπ’) β€ π·) β βπ β β (absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2))) β βπ β β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2))) |
231 | 104, 227,
230 | syl2anc 585 |
. . . 4
β’ (((π β§ π β β+) β§ π β β+
β§ βπ β
β βπ β
(-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π) β βπ β β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2))) |
232 | 231 | rexlimdv3a 3157 |
. . 3
β’ ((π β§ π β β+) β
(βπ β
β+ βπ β β βπ β (-Ο[,]Ο)(absβ(πΊβπ )) β€ π β βπ β β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2)))) |
233 | 93, 232 | mpd 15 |
. 2
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β
β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2))) |
234 | | simplll 774 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β§ π β β) β§ π β π’) β π) |
235 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β§ π β β) β§ π β π’) β π β β) |
236 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β§ π β β) β§ π β π’) β π’ β (-Ο[,]Ο)) |
237 | | simpr 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β§ π β β) β§ π β π’) β π β π’) |
238 | 236, 237 | sseldd 3950 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β§ π β β) β§ π β π’) β π β (-Ο[,]Ο)) |
239 | 234, 235,
238, 54 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β§ π β β) β§ π β π’) β (πΊβπ ) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
240 | 239 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . . . 10
β’ (((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β§ π β β) β
β«π’(πΊβπ ) dπ = β«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
241 | 240 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . 9
β’ (((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β§ π β β) β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) = (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
242 | 241 | breq1d 5120 |
. . . . . . . 8
β’ (((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β§ π β β) β
((absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2) β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
243 | 242 | ralbidva 3173 |
. . . . . . 7
β’ ((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β
(βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
244 | | oveq1 7369 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π = π β (π + (1 / 2)) = (π + (1 / 2))) |
245 | 244 | oveq1d 7377 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π = π β ((π + (1 / 2)) Β· π ) = ((π + (1 / 2)) Β· π )) |
246 | 245 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π = π β (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )) = (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) |
247 | 246 | oveq2d 7378 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π = π β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
248 | 247 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π = π β§ π β π’) β ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) = ((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π )))) |
249 | 248 | itgeq2dv 25162 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π = π β β«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ = β«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) |
250 | 249 | fveq2d 6851 |
. . . . . . . . 9
β’ (π = π β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) = (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ )) |
251 | 250 | breq1d 5120 |
. . . . . . . 8
β’ (π = π β ((absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
252 | 251 | cbvralvw 3228 |
. . . . . . 7
β’
(βπ β
β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)) |
253 | 243, 252 | bitrdi 287 |
. . . . . 6
β’ ((π β§ π’ β (-Ο[,]Ο)) β
(βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
254 | 253 | adantrr 716 |
. . . . 5
β’ ((π β§ (π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π)) β (βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2) β βπ β β (absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |
255 | 254 | pm5.74da 803 |
. . . 4
β’ (π β (((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2)) β ((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)))) |
256 | 255 | rexralbidv 3215 |
. . 3
β’ (π β (βπ β β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2)) β βπ β β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)))) |
257 | 256 | adantr 482 |
. 2
β’ ((π β§ π β β+) β
(βπ β
β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’(πΊβπ ) dπ ) < (π / 2)) β βπ β β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2)))) |
258 | 233, 257 | mpbid 231 |
1
β’ ((π β§ π β β+) β
βπ β
β+ βπ’ β dom vol((π’ β (-Ο[,]Ο) β§
(volβπ’) β€ π) β βπ β β
(absββ«π’((πβπ ) Β· (sinβ((π + (1 / 2)) Β· π ))) dπ ) < (π / 2))) |