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Theorem fourierdlem87 43276
Description: The integral of 𝐺 goes uniformly ( with respect to 𝑛) to zero if the measure of the domain of integration goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem87.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem87.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem87.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem87.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem87.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem87.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem87.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem87.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem87.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem87.10 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑥)
fourierdlem87.gibl ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
fourierdlem87.d 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎)
fourierdlem87.ch (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem87 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Distinct variable groups:   𝐷,𝑑,𝑛,𝑢   𝐺,𝑎,𝑑,𝑠,𝑢   𝐾,𝑎,𝑠   𝑈,𝑎,𝑛   𝑈,𝑘,𝑛   𝑥,𝑈,𝑎   𝑒,𝑎,𝑑,𝑛,𝑢   𝜑,𝑎,𝑑,𝑛,𝑠,𝑢   𝜒,𝑠   𝑒,𝑘,𝑢   𝑘,𝑠   𝜑,𝑥,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑎,𝑑)   𝐷(𝑥,𝑒,𝑘,𝑠,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑈(𝑢,𝑒,𝑠,𝑑)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝐺(𝑥,𝑒,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑋(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑌(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)

Proof of Theorem fourierdlem87
StepHypRef Expression
1 fourierdlem87.f . . . . . 6 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
2 fourierdlem87.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
3 fourierdlem87.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
4 fourierdlem87.w . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
5 fourierdlem87.h . . . . . 6 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6 fourierdlem87.k . . . . . 6 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
7 fourierdlem87.u . . . . . 6 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
8 fourierdlem87.10 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻𝑠)) ≤ 𝑥)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8fourierdlem77 43266 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
10 nfv 1921 . . . . . . . . . . 11 𝑠(𝜑𝑎 ∈ ℝ+)
11 nfra1 3131 . . . . . . . . . . 11 𝑠𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎
1210, 11nfan 1906 . . . . . . . . . 10 𝑠((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
13 nfv 1921 . . . . . . . . . 10 𝑠 𝑛 ∈ ℕ
1412, 13nfan 1906 . . . . . . . . 9 𝑠(((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
15 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑)
16 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
17 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑛 ∈ ℕ)
1815, 16, 17jca31 518 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
19 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
20 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
21 rspa 3119 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
2220, 19, 21syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
23 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
241, 2, 3, 4, 5, 6, 7fourierdlem55 43244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
2524ffvelrnda 6861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
2625adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
27 nnre 11723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
28 fourierdlem87.s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
2928fourierdlem5 43195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
3130ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
3231, 23ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
3326, 32remulcld 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
34 fourierdlem87.g . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
3534fvmpt2 6786 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
3623, 33, 35syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
37 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
38 halfre 11930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1 / 2) ∈ ℝ
3938a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
4027, 39readdcld 10748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
4140adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
42 pire 25203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 π ∈ ℝ
4342renegcli 11025 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 -π ∈ ℝ
44 iccssre 12903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
4543, 42, 44mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-π[,]π) ⊆ ℝ
4645sseli 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
4746adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
4841, 47remulcld 10749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
4948resincld 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
5028fvmpt2 6786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
5137, 49, 50syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
5251oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
5352adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
5436, 53eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
5554fveq2d 6678 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺𝑠)) = (abs‘((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
5626recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈𝑠) ∈ ℂ)
5749adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
5857recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
5956, 58absmuld 14904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
6055, 59eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺𝑠)) = ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
6160adantllr 719 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺𝑠)) = ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
6261adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺𝑠)) = ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
6356abscld 14886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
6458abscld 14886 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
6563, 64remulcld 10749 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
6665adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
6766adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
6863adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
6968adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℝ)
70 rpre 12480 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ)
7170ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
72 1red 10720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 1 ∈ ℝ)
7356absge0d 14894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝑈𝑠)))
7448adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
75 abssinbd 42372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ≤ 1)
7674, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ≤ 1)
7764, 72, 63, 73, 76lemul2ad 11658 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ ((abs‘(𝑈𝑠)) · 1))
7863recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈𝑠)) ∈ ℂ)
7978mulid1d 10736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · 1) = (abs‘(𝑈𝑠)))
8077, 79breqtrd 5056 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈𝑠)))
8180adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈𝑠)))
8281adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈𝑠)))
83 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎)
8467, 69, 71, 82, 83letrd 10875 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ 𝑎)
8562, 84eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
8618, 19, 22, 85syl21anc 837 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
8786ex 416 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎))
8814, 87ralrimi 3128 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
8988ralrimiva 3096 . . . . . . 7 (((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
9089ex 416 . . . . . 6 ((𝜑𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎))
9190reximdva 3184 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎))
929, 91mpd 15 . . . 4 (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
9392adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
94 fourierdlem87.d . . . . . . . 8 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎)
95 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℝ+𝑒 ∈ ℝ+)
96 3rp 12478 . . . . . . . . . . . 12 3 ∈ ℝ+
9796a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 ∈ ℝ+ → 3 ∈ ℝ+)
9895, 97rpdivcld 12531 . . . . . . . . . 10 (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
9998adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
100 simpr 488 . . . . . . . . 9 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
10199, 100rpdivcld 12531 . . . . . . . 8 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+) → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ+)
10294, 101eqeltrid 2837 . . . . . . 7 ((𝑒 ∈ ℝ+𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
103102adantll 714 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
1041033adant3 1133 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝐷 ∈ ℝ+)
105 nfv 1921 . . . . . . . . . . 11 𝑛(𝜑𝑒 ∈ ℝ+)
106 nfv 1921 . . . . . . . . . . 11 𝑛 𝑎 ∈ ℝ+
107 nfra1 3131 . . . . . . . . . . 11 𝑛𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎
108105, 106, 107nf3an 1908 . . . . . . . . . 10 𝑛((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
109 nfv 1921 . . . . . . . . . 10 𝑛 𝑢 ∈ dom vol
110108, 109nfan 1906 . . . . . . . . 9 𝑛(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol)
111 nfv 1921 . . . . . . . . 9 𝑛(𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
112110, 111nfan 1906 . . . . . . . 8 𝑛((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷))
113 fourierdlem87.ch . . . . . . . . . 10 (𝜒 ↔ (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
114 simpl1l 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝜑)
115114ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
116113, 115sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝜑)
117116, 1syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝐹:ℝ⟶ℝ)
118116, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑋 ∈ ℝ)
119116, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑌 ∈ ℝ)
120116, 4syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑊 ∈ ℝ)
12127adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
122113, 121sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑛 ∈ ℝ)
123117, 118, 119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34fourierdlem67 43256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
124123adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜒𝑠𝑢) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
125 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ⊆ (-π[,]π))
126113, 125sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑢 ⊆ (-π[,]π))
127126sselda 3877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜒𝑠𝑢) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
128124, 127ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜒𝑠𝑢) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
129 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ∈ dom vol)
130113, 129sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑢 ∈ dom vol)
131123ffvelrnda 6861 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜒𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺𝑠) ∈ ℝ)
132123feqmptd 6737 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)))
133113simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒𝑛 ∈ ℕ)
134 fourierdlem87.gibl . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
135116, 133, 134syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐺 ∈ 𝐿1)
136132, 135eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
137126, 130, 131, 136iblss 24557 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑠𝑢 ↦ (𝐺𝑠)) ∈ 𝐿1)
138128, 137itgcl 24536 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
139138abscld 14886 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) ∈ ℝ)
140128recnd 10747 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜒𝑠𝑢) → (𝐺𝑠) ∈ ℂ)
141140abscld 14886 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜒𝑠𝑢) → (abs‘(𝐺𝑠)) ∈ ℝ)
142128, 137iblabs 24581 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → (𝑠𝑢 ↦ (abs‘(𝐺𝑠))) ∈ 𝐿1)
143141, 142itgrecl 24550 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
144 simpl1r 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑒 ∈ ℝ+)
145144ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑒 ∈ ℝ+)
146113, 145sylbi 220 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒𝑒 ∈ ℝ+)
147146rpred 12514 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒𝑒 ∈ ℝ)
148147rehalfcld 11963 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
149128, 137itgabs 24587 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) ≤ ∫𝑢(abs‘(𝐺𝑠)) d𝑠)
150 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑎 ∈ ℝ+)
151150ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℝ+)
152113, 151sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝑎 ∈ ℝ+)
153152rpred 12514 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑎 ∈ ℝ)
154153adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜒𝑠𝑢) → 𝑎 ∈ ℝ)
155 iccssxr 12904 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
156 volf 24281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
158157, 130ffvelrnd 6862 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ (0[,]+∞))
159155, 158sseldi 3875 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ ℝ*)
160 iccvolcl 24319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ)
16143, 42, 160mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ
162161a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ)
163 mnfxr 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ ∈ ℝ*
164163a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → -∞ ∈ ℝ*)
165 0xr 10766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
166165a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 0 ∈ ℝ*)
167 mnflt0 12603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 -∞ < 0
168167a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → -∞ < 0)
169 volge0 43044 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑢 ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘𝑢))
170130, 169syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 0 ≤ (vol‘𝑢))
171164, 166, 159, 168, 170xrltletrd 12637 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → -∞ < (vol‘𝑢))
172 iccmbl 24318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ∈ dom vol)
17343, 42, 172mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-π[,]π) ∈ dom vol
174173a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (-π[,]π) ∈ dom vol)
175 volss 24285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (-π[,]π) ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))
176130, 174, 126, 175syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))
177 xrre 12645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((vol‘𝑢) ∈ ℝ* ∧ (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (vol‘𝑢) ∧ (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))) → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
178159, 162, 171, 176, 177syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
179152rpcnd 12516 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒𝑎 ∈ ℂ)
180 iblconstmpt 43039 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑠𝑢𝑎) ∈ 𝐿1)
181130, 178, 179, 180syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑠𝑢𝑎) ∈ 𝐿1)
182154, 181itgrecl 24550 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 ∈ ℝ)
183 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
184183ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
185113, 184sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
186 rspa 3119 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
187185, 133, 186syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
188187adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜒𝑠𝑢) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
189 rspa 3119 . . . . . . . . . . . . . 14 ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
190188, 127, 189syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜒𝑠𝑢) → (abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎)
191142, 181, 141, 154, 190itgle 24562 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺𝑠)) d𝑠 ≤ ∫𝑢𝑎 d𝑠)
192 itgconst 24571 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢)))
193130, 178, 179, 192syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢)))
194153, 178remulcld 10749 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ∈ ℝ)
195 3re 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ∈ ℝ
196195a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 3 ∈ ℝ)
197 3ne0 11822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3 ≠ 0
198197a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜒 → 3 ≠ 0)
199147, 196, 198redivcld 11546 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℝ)
200152rpne0d 12519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒𝑎 ≠ 0)
201199, 153, 200redivcld 11546 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ)
20294, 201eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒𝐷 ∈ ℝ)
203153, 202remulcld 10749 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) ∈ ℝ)
204152rpge0d 12518 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → 0 ≤ 𝑎)
205 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
206113, 205sylbi 220 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
207178, 202, 153, 204, 206lemul2ad 11658 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ≤ (𝑎 · 𝐷))
20894oveq2i 7181 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑎 · 𝐷) = (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎))
209199recnd 10747 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℂ)
210209, 179, 200divcan2d 11496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎)) = (𝑒 / 3))
211208, 210syl5eq 2785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) = (𝑒 / 3))
212 2rp 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℝ+
213212a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 2 ∈ ℝ+)
21496a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 3 ∈ ℝ+)
215 2lt3 11888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 < 3
216215a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜒 → 2 < 3)
217213, 214, 146, 216ltdiv2dd 42371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜒 → (𝑒 / 3) < (𝑒 / 2))
218211, 217eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) < (𝑒 / 2))
219194, 203, 148, 207, 218lelttrd 10876 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) < (𝑒 / 2))
220193, 219eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . 12 (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 < (𝑒 / 2))
221143, 182, 148, 191, 220lelttrd 10876 . . . . . . . . . . 11 (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺𝑠)) d𝑠 < (𝑒 / 2))
222139, 143, 148, 149, 221lelttrd 10876 . . . . . . . . . 10 (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
223113, 222sylbir 238 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
224223ex 416 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → (𝑛 ∈ ℕ → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
225112, 224ralrimi 3128 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
226225ex 416 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
227226ralrimiva 3096 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
228 breq2 5034 . . . . . . 7 (𝑑 = 𝐷 → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑑 ↔ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷))
229228anbi2d 632 . . . . . 6 (𝑑 = 𝐷 → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) ↔ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)))
230229rspceaimv 3531 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
231104, 227, 230syl2anc 587 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
232231rexlimdv3a 3196 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
23393, 232mpd 15 . 2 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
234 simplll 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → 𝜑)
235 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → 𝑛 ∈ ℕ)
236 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → 𝑢 ⊆ (-π[,]π))
237 simpr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → 𝑠𝑢)
238236, 237sseldd 3878 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
239234, 235, 238, 54syl21anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝑢) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
240239itgeq2dv 24534 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
241240fveq2d 6678 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
242241breq1d 5040 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
243242ralbidva 3108 . . . . . . 7 ((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
244 oveq1 7177 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
245244oveq1d 7185 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
246245fveq2d 6678 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
247246oveq2d 7186 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 𝑘 → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
248247adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 = 𝑘𝑠𝑢) → ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
249248itgeq2dv 24534 . . . . . . . . . 10 (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
250249fveq2d 6678 . . . . . . . . 9 (𝑛 = 𝑘 → (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
251250breq1d 5040 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
252251cbvralvw 3349 . . . . . . 7 (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
253243, 252bitrdi 290 . . . . . 6 ((𝜑𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
254253adantrr 717 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
255254pm5.74da 804 . . . 4 (𝜑 → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
256255rexralbidv 3211 . . 3 (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
257256adantr 484 . 2 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
258233, 257mpbid 235 1 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  wss 3843  ifcif 4414   class class class wbr 5030  cmpt 5110  dom cdm 5525  wf 6335  cfv 6339  (class class class)co 7170  cc 10613  cr 10614  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  +∞cpnf 10750  -∞cmnf 10751  *cxr 10752   < clt 10753  cle 10754  cmin 10948  -cneg 10949   / cdiv 11375  cn 11716  2c2 11771  3c3 11772  +crp 12472  [,]cicc 12824  abscabs 14683  sincsin 15509  πcpi 15512  volcvol 24215  𝐿1cibl 24369  citg 24370
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cc 9935  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693  ax-addf 10694  ax-mulf 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-iin 4884  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-omul 8136  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-ixp 8508  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-fi 8948  df-sup 8979  df-inf 8980  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-acn 9444  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-dec 12180  df-uz 12325  df-q 12431  df-rp 12473  df-xneg 12590  df-xadd 12591  df-xmul 12592  df-ioo 12825  df-ioc 12826  df-ico 12827  df-icc 12828  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-fl 13253  df-mod 13329  df-seq 13461  df-exp 13522  df-fac 13726  df-bc 13755  df-hash 13783  df-shft 14516  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-limsup 14918  df-clim 14935  df-rlim 14936  df-sum 15136  df-ef 15513  df-sin 15515  df-cos 15516  df-pi 15518  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-starv 16683  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-ip 16686  df-tset 16687  df-ple 16688  df-ds 16690  df-unif 16691  df-hom 16692  df-cco 16693  df-rest 16799  df-topn 16800  df-0g 16818  df-gsum 16819  df-topgen 16820  df-pt 16821  df-prds 16824  df-xrs 16878  df-qtop 16883  df-imas 16884  df-xps 16886  df-mre 16960  df-mrc 16961  df-acs 16963  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-submnd 18073  df-mulg 18343  df-cntz 18565  df-cmn 19026  df-psmet 20209  df-xmet 20210  df-met 20211  df-bl 20212  df-mopn 20213  df-fbas 20214  df-fg 20215  df-cnfld 20218  df-top 21645  df-topon 21662  df-topsp 21684  df-bases 21697  df-cld 21770  df-ntr 21771  df-cls 21772  df-nei 21849  df-lp 21887  df-perf 21888  df-cn 21978  df-cnp 21979  df-t1 22065  df-haus 22066  df-cmp 22138  df-tx 22313  df-hmeo 22506  df-fil 22597  df-fm 22689  df-flim 22690  df-flf 22691  df-xms 23073  df-ms 23074  df-tms 23075  df-cncf 23630  df-ovol 24216  df-vol 24217  df-mbf 24371  df-itg1 24372  df-itg2 24373  df-ibl 24374  df-itg 24375  df-0p 24422  df-limc 24618  df-dv 24619
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  43292  fourierdlem104  43293
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