Theorem fourierdlem87 46178

Description: The integral of 𝐺 goes uniformly ( with respect to 𝑛) to zero if the measure of the domain of integration goes to zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem87.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem87.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem87.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem87.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem87.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem87.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem87.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem87.s	⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem87.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
fourierdlem87.10	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑥)
fourierdlem87.gibl	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
fourierdlem87.d	⊢ 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎)
fourierdlem87.ch	⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem87	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))

Distinct variable groups:   𝐷,𝑑,𝑛,𝑢   𝐺,𝑎,𝑑,𝑠,𝑢   𝐾,𝑎,𝑠   𝑈,𝑎,𝑛   𝑈,𝑘,𝑛   𝑥,𝑈,𝑎   𝑒,𝑎,𝑑,𝑛,𝑢   𝜑,𝑎,𝑑,𝑛,𝑠,𝑢   𝜒,𝑠   𝑒,𝑘,𝑢   𝑘,𝑠   𝜑,𝑥,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑒,𝑘)   𝜒(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑎,𝑑)   𝐷(𝑥,𝑒,𝑘,𝑠,𝑎)   𝑆(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑈(𝑢,𝑒,𝑠,𝑑)   𝐹(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝐺(𝑥,𝑒,𝑘,𝑛)   𝐻(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑑)   𝑊(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑋(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)   𝑌(𝑥,𝑢,𝑒,𝑘,𝑛,𝑠,𝑎,𝑑)

Proof of Theorem fourierdlem87

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem87.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
2		fourierdlem87.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
3		fourierdlem87.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4		fourierdlem87.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
5		fourierdlem87.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6		fourierdlem87.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
7		fourierdlem87.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
8		fourierdlem87.10	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑥)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	fourierdlem77 46168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
10		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
11		nfra1 3253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎
12	10, 11	nfan 1899	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
13		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑛 ∈ ℕ
14	12, 13	nfan 1899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠(((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)
15		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑)
16		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ+)
17		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑛 ∈ ℕ)
18	15, 16, 17	jca31 514	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
19		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
20		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
21		rspa 3218	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
22	20, 19, 21	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
23		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
24	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	fourierdlem55 46146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
25	24	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
26	25	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
27		nnre 12135	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
28		fourierdlem87.s	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
29	28	fourierdlem5 46097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
30	27, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
31	30	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
32	31, 23	ffvelcdmd 7019	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℝ)
33	26, 32	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ)
34		fourierdlem87.g	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
35	34	fvmpt2 6941	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
36	23, 33, 35	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)))
37		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
38		halfre 12337	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (1 / 2) ∈ ℝ
39	38	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 2) ∈ ℝ)
40	27, 39	readdcld 11144	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
41	40	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
42		pire 26364	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ π ∈ ℝ
43	42	renegcli 11425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ -π ∈ ℝ
44		iccssre 13332	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
45	43, 42, 44	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-π[,]π) ⊆ ℝ
46	45	sseli 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) → 𝑠 ∈ ℝ)
47	46	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈ ℝ)
48	41, 47	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
49	48	resincld 16052	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
50	28	fvmpt2 6941	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
51	37, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
52	51	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
53	52	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
54	36, 53	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
55	54	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = (abs‘((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
56	26	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℂ)
57	49	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
58	57	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
59	56, 58	absmuld 15364	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
60	55, 59	eqtrd 2764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
61	60	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
62	61	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))))
63	56	abscld 15346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
64	58	abscld 15346	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ∈ ℝ)
65	63, 64	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
66	65	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
67	66	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈ ℝ)
68	63	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
69	68	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
70		rpre 12902	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ+ → 𝑎 ∈ ℝ)
71	70	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ)
72		1red 11116	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 1 ∈ ℝ)
73	56	absge0d 15354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
74	48	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
75		abssinbd 45281	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ≤ 1)
76	74, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) ≤ 1)
77	64, 72, 63, 73, 76	lemul2ad 12065	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · 1))
78	63	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℂ)
79	78	mulridd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · 1) = (abs‘(𝑈‘𝑠)))
80	77, 79	breqtrd 5118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
81	80	adantllr 719	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠)))
83		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎)
84	67, 69, 71, 82, 83	letrd 11273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ 𝑎)
85	62, 84	eqbrtrd 5114	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
86	18, 19, 22, 85	syl21anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
87	86	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎))
88	14, 87	ralrimi 3227	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
89	88	ralrimiva 3121	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
90	89	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎))
91	90	reximdva 3142	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎))
92	9, 91	mpd 15	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
93	92	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
94		fourierdlem87.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎)
95		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 𝑒 ∈ ℝ+)
96		3rp 12899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 3 ∈ ℝ+
97	96	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → 3 ∈ ℝ+)
98	95, 97	rpdivcld 12954	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑒 ∈ ℝ+ → (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
99	98	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (𝑒 / 3) ∈ ℝ+)
100		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+)
101	99, 100	rpdivcld 12954	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ+)
102	94, 101	eqeltrid 2832	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
103	102	adantll 714	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → 𝐷 ∈ ℝ+)
104	103	3adant3 1132	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝐷 ∈ ℝ+)
105		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
106		nfv 1914	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑎 ∈ ℝ+
107		nfra1 3253	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎
108	105, 106, 107	nf3an 1901	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
109		nfv 1914	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑛 𝑢 ∈ dom vol
110	108, 109	nfan 1899	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol)
111		nfv 1914	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑛(𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
112	110, 111	nfan 1899	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑛((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷))
113		fourierdlem87.ch	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ))
114		simpl1l 1225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝜑)
115	114	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
116	113, 115	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝜑)
117	116, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
118	116, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ)
119	116, 3	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑌 ∈ ℝ)
120	116, 4	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑊 ∈ ℝ)
121	27	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ)
122	113, 121	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑛 ∈ ℝ)
123	117, 118, 119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34	fourierdlem67 46158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
124	123	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ)
125		simplrl 776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ⊆ (-π[,]π))
126	113, 125	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑢 ⊆ (-π[,]π))
127	126	sselda 3935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
128	124, 127	ffvelcdmd 7019	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ)
129		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ∈ dom vol)
130	113, 129	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑢 ∈ dom vol)
131	123	ffvelcdmda 7018	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ)
132	123	feqmptd 6891	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)))
133	113	simprbi 496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 𝑛 ∈ ℕ)
134		fourierdlem87.gibl	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
135	116, 133, 134	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐺 ∈ 𝐿1)
136	132, 135	eqeltrrd 2829	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
137	126, 130, 131, 136	iblss 25704	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈ 𝐿1)
138	128, 137	itgcl 25683	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠 ∈ ℂ)
139	138	abscld 15346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) ∈ ℝ)
140	128	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℂ)
141	140	abscld 15346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ∈ ℝ)
142	128, 137	iblabs 25728	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ (abs‘(𝐺‘𝑠))) ∈ 𝐿1)
143	141, 142	itgrecl 25697	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ)
144		simpl1r 1226	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑒 ∈ ℝ+)
145	144	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑒 ∈ ℝ+)
146	113, 145	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ+)
147	146	rpred 12937	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ)
148	147	rehalfcld 12371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 2) ∈ ℝ)
149	128, 137	itgabs 25734	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) ≤ ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠)
150		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑎 ∈ ℝ+)
151	150	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℝ+)
152	113, 151	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℝ+)
153	152	rpred 12937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℝ)
154	153	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑎 ∈ ℝ)
155		iccssxr 13333	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ ℝ*
156		volf 25428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ vol:dom vol⟶(0[,]+∞)
157	156	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → vol:dom vol⟶(0[,]+∞))
158	157, 130	ffvelcdmd 7019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ (0[,]+∞))
159	155, 158	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ ℝ*)
160		iccvolcl 25466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ)
161	43, 42, 160	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ
162	161	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ)
163		mnfxr 11172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
164	163	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → -∞ ∈ ℝ*)
165		0xr 11162	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ*
166	165	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 0 ∈ ℝ*)
167		mnflt0 13027	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ -∞ < 0
168	167	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → -∞ < 0)
169		volge0 45946	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑢 ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘𝑢))
170	130, 169	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 0 ≤ (vol‘𝑢))
171	164, 166, 159, 168, 170	xrltletrd 13063	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → -∞ < (vol‘𝑢))
172		iccmbl 25465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ∈ dom vol)
173	43, 42, 172	mp2an 692	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (-π[,]π) ∈ dom vol
174	173	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (-π[,]π) ∈ dom vol)
175		volss 25432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (-π[,]π) ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))
176	130, 174, 126, 175	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))
177		xrre 13071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((vol‘𝑢) ∈ ℝ* ∧ (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ) ∧ (-∞ < (vol‘𝑢) ∧ (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))) → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
178	159, 162, 171, 176, 177	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈ ℝ)
179	152	rpcnd 12939	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℂ)
180		iblconstmpt 45941	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ 𝑎) ∈ 𝐿1)
181	130, 178, 179, 180	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ 𝑎) ∈ 𝐿1)
182	154, 181	itgrecl 25697	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 ∈ ℝ)
183		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
184	183	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
185	113, 184	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
186		rspa 3218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
187	185, 133, 186	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
188	187	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
189		rspa 3218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
190	188, 127, 189	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)
191	142, 181, 141, 154, 190	itgle 25709	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 ≤ ∫𝑢𝑎 d𝑠)
192		itgconst 25718	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧ (vol‘𝑢) ∈ ℝ ∧ 𝑎 ∈ ℂ) → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢)))
193	130, 178, 179, 192	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢)))
194	153, 178	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ∈ ℝ)
195		3re 12208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ∈ ℝ
196	195	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 3 ∈ ℝ)
197		3ne0 12234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ 3 ≠ 0
198	197	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜒 → 3 ≠ 0)
199	147, 196, 198	redivcld 11952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℝ)
200	152	rpne0d 12942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → 𝑎 ≠ 0)
201	199, 153, 200	redivcld 11952	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ)
202	94, 201	eqeltrid 2832	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 𝐷 ∈ ℝ)
203	153, 202	remulcld 11145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) ∈ ℝ)
204	152	rpge0d 12941	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → 0 ≤ 𝑎)
205		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
206	113, 205	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)
207	178, 202, 153, 204, 206	lemul2ad 12065	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ≤ (𝑎 · 𝐷))
208	94	oveq2i 7360	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 · 𝐷) = (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎))
209	199	recnd 11143	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℂ)
210	209, 179, 200	divcan2d 11902	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎)) = (𝑒 / 3))
211	208, 210	eqtrid 2776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) = (𝑒 / 3))
212		2rp 12898	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 ∈ ℝ+
213	212	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 2 ∈ ℝ+)
214	96	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 3 ∈ ℝ+)
215		2lt3 12295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 2 < 3
216	215	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜒 → 2 < 3)
217	213, 214, 146, 216	ltdiv2dd 45280	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) < (𝑒 / 2))
218	211, 217	eqbrtrd 5114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) < (𝑒 / 2))
219	194, 203, 148, 207, 218	lelttrd 11274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) < (𝑒 / 2))
220	193, 219	eqbrtrd 5114	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 < (𝑒 / 2))
221	143, 182, 148, 191, 220	lelttrd 11274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 < (𝑒 / 2))
222	139, 143, 148, 149, 221	lelttrd 11274	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
223	113, 222	sylbir 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
224	223	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → (𝑛 ∈ ℕ → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
225	112, 224	ralrimi 3227	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))
226	225	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
227	226	ralrimiva 3121	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
228		breq2 5096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑑 ↔ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷))
229	228	anbi2d 630	. . . . . 6 ⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) ↔ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)))
230	229	rspceaimv 3583	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
231	104, 227, 230	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
232	231	rexlimdv3a 3134	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
233	93, 232	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
234		simplll 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝜑)
235		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑛 ∈ ℕ)
236		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑢 ⊆ (-π[,]π))
237		simpr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ 𝑢)
238	236, 237	sseldd 3936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
239	234, 235, 238, 54	syl21anc 837	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
240	239	itgeq2dv 25681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
241	240	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
242	241	breq1d 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
243	242	ralbidva 3150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
244		oveq1 7356	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2)))
245	244	oveq1d 7364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))
246	245	fveq2d 6826	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))
247	246	oveq2d 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
248	247	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))))
249	248	itgeq2dv 25681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)
250	249	fveq2d 6826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠))
251	250	breq1d 5102	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
252	251	cbvralvw 3207	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))
253	243, 252	bitrdi 287	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
254	253	adantrr 717	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑)) → (∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))
255	254	pm5.74da 803	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
256	255	rexralbidv 3195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
257	256	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))))
258	233, 257	mpbid 232	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   ⊆ wss 3903  ifcif 4476   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5173  dom cdm 5619  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014  +∞cpnf 11146  -∞cmnf 11147  ℝ^*cxr 11148   < clt 11149   ≤ cle 11150   − cmin 11347  -cneg 11348   / cdiv 11777  ℕcn 12128  2c2 12183  3c3 12184  ℝ⁺crp 12893  [,]cicc 13251  abscabs 15141  sincsin 15970  πcpi 15973  volcvol 25362  𝐿¹cibl 25516  ∫citg 25517

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cc 10329  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087  ax-addf 11088

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-disj 5060  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-isom 6491  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-of 7613  df-ofr 7614  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-omul 8393  df-er 8625  df-map 8755  df-pm 8756  df-ixp 8825  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-fsupp 9252  df-fi 9301  df-sup 9332  df-inf 9333  df-oi 9402  df-dju 9797  df-card 9835  df-acn 9838  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-xneg 13014  df-xadd 13015  df-xmul 13016  df-ioo 13252  df-ioc 13253  df-ico 13254  df-icc 13255  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14974  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-limsup 15378  df-clim 15395  df-rlim 15396  df-sum 15594  df-ef 15974  df-sin 15976  df-cos 15977  df-pi 15979  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-starv 17176  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-unif 17184  df-hom 17185  df-cco 17186  df-rest 17326  df-topn 17327  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-topgen 17347  df-pt 17348  df-prds 17351  df-xrs 17406  df-qtop 17411  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18514  df-sgrp 18593  df-mnd 18609  df-submnd 18658  df-mulg 18947  df-cntz 19196  df-cmn 19661  df-psmet 21253  df-xmet 21254  df-met 21255  df-bl 21256  df-mopn 21257  df-fbas 21258  df-fg 21259  df-cnfld 21262  df-top 22779  df-topon 22796  df-topsp 22818  df-bases 22831  df-cld 22904  df-ntr 22905  df-cls 22906  df-nei 22983  df-lp 23021  df-perf 23022  df-cn 23112  df-cnp 23113  df-t1 23199  df-haus 23200  df-cmp 23272  df-tx 23447  df-hmeo 23640  df-fil 23731  df-fm 23823  df-flim 23824  df-flf 23825  df-xms 24206  df-ms 24207  df-tms 24208  df-cncf 24769  df-ovol 25363  df-vol 25364  df-mbf 25518  df-itg1 25519  df-itg2 25520  df-ibl 25521  df-itg 25522  df-0p 25569  df-limc 25765  df-dv 25766

This theorem is referenced by:  fourierdlem103  46194  fourierdlem104  46195