Proof of Theorem fourierdlem87
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | fourierdlem87.f |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
2 | | fourierdlem87.x |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ) |
3 | | fourierdlem87.y |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ) |
4 | | fourierdlem87.w |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ) |
5 | | fourierdlem87.h |
. . . . . 6
⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))) |
6 | | fourierdlem87.k |
. . . . . 6
⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))) |
7 | | fourierdlem87.u |
. . . . . 6
⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) |
8 | | fourierdlem87.10 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑥) |
9 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 | fourierdlem77 43266 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
10 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑠(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) |
11 | | nfra1 3131 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 |
12 | 10, 11 | nfan 1906 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑠((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
13 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑠 𝑛 ∈ ℕ |
14 | 12, 13 | nfan 1906 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑠(((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) |
15 | | simp-4l 783 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝜑) |
16 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑎 ∈
ℝ+) |
17 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑛 ∈
ℕ) |
18 | 15, 16, 17 | jca31 518 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈
ℕ)) |
19 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈
(-π[,]π)) |
20 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
21 | | rspa 3119 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
22 | 20, 19, 21 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
23 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑠 ∈
(-π[,]π)) |
24 | 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 | fourierdlem55 43244 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝜑 → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ) |
25 | 24 | ffvelrnda 6861 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ) |
26 | 25 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ) |
27 | | nnre 11723 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈
ℝ) |
28 | | fourierdlem87.s |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦
(sin‘((𝑛 + (1 / 2))
· 𝑠))) |
29 | 28 | fourierdlem5 43195 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑛 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ) |
30 | 27, 29 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ) |
31 | 30 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ) |
32 | 31, 23 | ffvelrnd 6862 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑆‘𝑠) ∈ ℝ) |
33 | 26, 32 | remulcld 10749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ) |
34 | | fourierdlem87.g |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) |
35 | 34 | fvmpt2 6786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧
((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) |
36 | 23, 33, 35 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠))) |
37 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
𝑠 ∈
(-π[,]π)) |
38 | | halfre 11930 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (1 / 2)
∈ ℝ |
39 | 38 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 2)
∈ ℝ) |
40 | 27, 39 | readdcld 10748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑛 ∈ ℕ → (𝑛 + (1 / 2)) ∈
ℝ) |
41 | 40 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(𝑛 + (1 / 2)) ∈
ℝ) |
42 | | pire 25203 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ π
∈ ℝ |
43 | 42 | renegcli 11025 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ -π
∈ ℝ |
44 | | iccssre 12903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆
ℝ) |
45 | 43, 42, 44 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(-π[,]π) ⊆ ℝ |
46 | 45 | sseli 3873 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (𝑠 ∈ (-π[,]π) →
𝑠 ∈
ℝ) |
47 | 46 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
𝑠 ∈
ℝ) |
48 | 41, 47 | remulcld 10749 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
((𝑛 + (1 / 2)) ·
𝑠) ∈
ℝ) |
49 | 48 | resincld 15588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(sin‘((𝑛 + (1 / 2))
· 𝑠)) ∈
ℝ) |
50 | 28 | fvmpt2 6786 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧
(sin‘((𝑛 + (1 / 2))
· 𝑠)) ∈
ℝ) → (𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) |
51 | 37, 49, 50 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(𝑆‘𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) |
52 | 51 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) |
53 | 52 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑈‘𝑠) · (𝑆‘𝑠)) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) |
54 | 36, 53 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) |
55 | 54 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(𝐺‘𝑠)) = (abs‘((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))) |
56 | 26 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℂ) |
57 | 49 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(sin‘((𝑛 + (1 / 2))
· 𝑠)) ∈
ℝ) |
58 | 57 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(sin‘((𝑛 + (1 / 2))
· 𝑠)) ∈
ℂ) |
59 | 56, 58 | absmuld 14904 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))) |
60 | 55, 59 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))) |
61 | 60 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))) |
62 | 61 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ)
∧ 𝑠 ∈
(-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) = ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))) |
63 | 56 | abscld 14886 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈
ℝ) |
64 | 58 | abscld 14886 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(sin‘((𝑛 +
(1 / 2)) · 𝑠)))
∈ ℝ) |
65 | 63, 64 | remulcld 10749 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
((abs‘(𝑈‘𝑠)) ·
(abs‘(sin‘((𝑛 +
(1 / 2)) · 𝑠))))
∈ ℝ) |
66 | 65 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
((abs‘(𝑈‘𝑠)) ·
(abs‘(sin‘((𝑛 +
(1 / 2)) · 𝑠))))
∈ ℝ) |
67 | 66 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ)
∧ 𝑠 ∈
(-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ∈
ℝ) |
68 | 63 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈
ℝ) |
69 | 68 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ)
∧ 𝑠 ∈
(-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ) |
70 | | rpre 12480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑎 ∈ ℝ+
→ 𝑎 ∈
ℝ) |
71 | 70 | ad4antlr 733 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ)
∧ 𝑠 ∈
(-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℝ) |
72 | | 1red 10720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 1 ∈
ℝ) |
73 | 56 | absge0d 14894 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → 0 ≤
(abs‘(𝑈‘𝑠))) |
74 | 48 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈
ℝ) |
75 | | abssinbd 42372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ →
(abs‘(sin‘((𝑛 +
(1 / 2)) · 𝑠))) ≤
1) |
76 | 74, 75 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(sin‘((𝑛 +
(1 / 2)) · 𝑠))) ≤
1) |
77 | 64, 72, 63, 73, 76 | lemul2ad 11658 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
((abs‘(𝑈‘𝑠)) ·
(abs‘(sin‘((𝑛 +
(1 / 2)) · 𝑠))))
≤ ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · 1)) |
78 | 63 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈
ℂ) |
79 | 78 | mulid1d 10736 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
((abs‘(𝑈‘𝑠)) · 1) =
(abs‘(𝑈‘𝑠))) |
80 | 77, 79 | breqtrd 5056 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
((abs‘(𝑈‘𝑠)) ·
(abs‘(sin‘((𝑛 +
(1 / 2)) · 𝑠))))
≤ (abs‘(𝑈‘𝑠))) |
81 | 80 | adantllr 719 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
((abs‘(𝑈‘𝑠)) ·
(abs‘(sin‘((𝑛 +
(1 / 2)) · 𝑠))))
≤ (abs‘(𝑈‘𝑠))) |
82 | 81 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ)
∧ 𝑠 ∈
(-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ (abs‘(𝑈‘𝑠))) |
83 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ)
∧ 𝑠 ∈
(-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
84 | 67, 69, 71, 82, 83 | letrd 10875 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ)
∧ 𝑠 ∈
(-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) · (abs‘(sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) ≤ 𝑎) |
85 | 62, 84 | eqbrtrd 5052 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ 𝑛 ∈ ℕ)
∧ 𝑠 ∈
(-π[,]π)) ∧ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
86 | 18, 19, 22, 85 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
∧ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
87 | 86 | ex 416 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑠 ∈ (-π[,]π) →
(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)) |
88 | 14, 87 | ralrimi 3128 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
89 | 88 | ralrimiva 3096 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧
∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
90 | 89 | ex 416 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) →
(∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)) |
91 | 90 | reximdva 3184 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎)) |
92 | 9, 91 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
93 | 92 | adantr 484 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
∃𝑎 ∈
ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
94 | | fourierdlem87.d |
. . . . . . . 8
⊢ 𝐷 = ((𝑒 / 3) / 𝑎) |
95 | | id 22 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑒 ∈ ℝ+
→ 𝑒 ∈
ℝ+) |
96 | | 3rp 12478 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 3 ∈
ℝ+ |
97 | 96 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑒 ∈ ℝ+
→ 3 ∈ ℝ+) |
98 | 95, 97 | rpdivcld 12531 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑒 ∈ ℝ+
→ (𝑒 / 3) ∈
ℝ+) |
99 | 98 | adantr 484 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+
∧ 𝑎 ∈
ℝ+) → (𝑒 / 3) ∈
ℝ+) |
100 | | simpr 488 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+
∧ 𝑎 ∈
ℝ+) → 𝑎 ∈ ℝ+) |
101 | 99, 100 | rpdivcld 12531 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+
∧ 𝑎 ∈
ℝ+) → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈
ℝ+) |
102 | 94, 101 | eqeltrid 2837 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑒 ∈ ℝ+
∧ 𝑎 ∈
ℝ+) → 𝐷 ∈
ℝ+) |
103 | 102 | adantll 714 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+)
→ 𝐷 ∈
ℝ+) |
104 | 103 | 3adant3 1133 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → 𝐷 ∈
ℝ+) |
105 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑛(𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) |
106 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑛 𝑎 ∈
ℝ+ |
107 | | nfra1 3131 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
Ⅎ𝑛∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 |
108 | 105, 106,
107 | nf3an 1908 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑛((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
109 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . . 10
⊢
Ⅎ𝑛 𝑢 ∈ dom vol |
110 | 108, 109 | nfan 1906 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑛(((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) |
111 | | nfv 1921 |
. . . . . . . . 9
⊢
Ⅎ𝑛(𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷) |
112 | 110, 111 | nfan 1906 |
. . . . . . . 8
⊢
Ⅎ𝑛((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) |
113 | | fourierdlem87.ch |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜒 ↔ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ)) |
114 | | simpl1l 1225 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝜑) |
115 | 114 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑) |
116 | 113, 115 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → 𝜑) |
117 | 116, 1 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
118 | 116, 2 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝑋 ∈ ℝ) |
119 | 116, 3 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝑌 ∈ ℝ) |
120 | 116, 4 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝑊 ∈ ℝ) |
121 | 27 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℝ) |
122 | 113, 121 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝑛 ∈ ℝ) |
123 | 117, 118,
119, 120, 5, 6, 7, 122, 28, 34 | fourierdlem67 43256 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ) |
124 | 123 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝐺:(-π[,]π)⟶ℝ) |
125 | | simplrl 777 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) |
126 | 113, 125 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) |
127 | 126 | sselda 3877 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ (-π[,]π)) |
128 | 124, 127 | ffvelrnd 6862 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ) |
129 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑢 ∈ dom vol) |
130 | 113, 129 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝑢 ∈ dom vol) |
131 | 123 | ffvelrnda 6861 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℝ) |
132 | 123 | feqmptd 6737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠))) |
133 | 113 | simprbi 500 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 𝑛 ∈ ℕ) |
134 | | fourierdlem87.gibl |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐺 ∈
𝐿1) |
135 | 116, 133,
134 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝐺 ∈
𝐿1) |
136 | 132, 135 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈
𝐿1) |
137 | 126, 130,
131, 136 | iblss 24557 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ (𝐺‘𝑠)) ∈
𝐿1) |
138 | 128, 137 | itgcl 24536 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → ∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠 ∈ ℂ) |
139 | 138 | abscld 14886 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) ∈ ℝ) |
140 | 128 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) ∈ ℂ) |
141 | 140 | abscld 14886 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ∈ ℝ) |
142 | 128, 137 | iblabs 24581 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ (abs‘(𝐺‘𝑠))) ∈
𝐿1) |
143 | 141, 142 | itgrecl 24550 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 ∈ ℝ) |
144 | | simpl1r 1226 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑒 ∈ ℝ+) |
145 | 144 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑒 ∈ ℝ+) |
146 | 113, 145 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ+) |
147 | 146 | rpred 12514 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → 𝑒 ∈ ℝ) |
148 | 147 | rehalfcld 11963 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → (𝑒 / 2) ∈ ℝ) |
149 | 128, 137 | itgabs 24587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) ≤ ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠) |
150 | | simpl2 1193 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → 𝑎 ∈ ℝ+) |
151 | 150 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑎 ∈ ℝ+) |
152 | 113, 151 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℝ+) |
153 | 152 | rpred 12514 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℝ) |
154 | 153 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑎 ∈ ℝ) |
155 | | iccssxr 12904 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(0[,]+∞) ⊆ ℝ* |
156 | | volf 24281 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ vol:dom
vol⟶(0[,]+∞) |
157 | 156 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → vol:dom
vol⟶(0[,]+∞)) |
158 | 157, 130 | ffvelrnd 6862 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈
(0[,]+∞)) |
159 | 155, 158 | sseldi 3875 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈
ℝ*) |
160 | | iccvolcl 24319 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (vol‘(-π[,]π))
∈ ℝ) |
161 | 43, 42, 160 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ |
162 | 161 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → (vol‘(-π[,]π))
∈ ℝ) |
163 | | mnfxr 10776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ -∞
∈ ℝ* |
164 | 163 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → -∞ ∈
ℝ*) |
165 | | 0xr 10766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 ∈
ℝ* |
166 | 165 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 0 ∈
ℝ*) |
167 | | mnflt0 12603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ -∞
< 0 |
168 | 167 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → -∞ <
0) |
169 | | volge0 43044 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑢 ∈ dom vol → 0 ≤
(vol‘𝑢)) |
170 | 130, 169 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 0 ≤ (vol‘𝑢)) |
171 | 164, 166,
159, 168, 170 | xrltletrd 12637 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → -∞ <
(vol‘𝑢)) |
172 | | iccmbl 24318 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((-π
∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ∈ dom
vol) |
173 | 43, 42, 172 | mp2an 692 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(-π[,]π) ∈ dom vol |
174 | 173 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → (-π[,]π) ∈ dom
vol) |
175 | | volss 24285 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧
(-π[,]π) ∈ dom vol ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) →
(vol‘𝑢) ≤
(vol‘(-π[,]π))) |
176 | 130, 174,
126, 175 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤
(vol‘(-π[,]π))) |
177 | | xrre 12645 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((vol‘𝑢)
∈ ℝ* ∧ (vol‘(-π[,]π)) ∈ ℝ)
∧ (-∞ < (vol‘𝑢) ∧ (vol‘𝑢) ≤ (vol‘(-π[,]π)))) →
(vol‘𝑢) ∈
ℝ) |
178 | 159, 162,
171, 176, 177 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ∈
ℝ) |
179 | 152 | rpcnd 12516 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → 𝑎 ∈ ℂ) |
180 | | iblconstmpt 43039 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧
(vol‘𝑢) ∈
ℝ ∧ 𝑎 ∈
ℂ) → (𝑠 ∈
𝑢 ↦ 𝑎) ∈
𝐿1) |
181 | 130, 178,
179, 180 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝑠 ∈ 𝑢 ↦ 𝑎) ∈
𝐿1) |
182 | 154, 181 | itgrecl 24550 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 ∈ ℝ) |
183 | | simpl3 1194 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
184 | 183 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
185 | 113, 184 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
186 | | rspa 3119 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
187 | 185, 133,
186 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
188 | 187 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
189 | | rspa 3119 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑠 ∈ (-π[,]π)) →
(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
190 | 188, 127,
189 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝜒 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) |
191 | 142, 181,
141, 154, 190 | itgle 24562 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 ≤ ∫𝑢𝑎 d𝑠) |
192 | | itgconst 24571 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑢 ∈ dom vol ∧
(vol‘𝑢) ∈
ℝ ∧ 𝑎 ∈
ℂ) → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢))) |
193 | 130, 178,
179, 192 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 = (𝑎 · (vol‘𝑢))) |
194 | 153, 178 | remulcld 10749 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ∈ ℝ) |
195 | | 3re 11796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 3 ∈
ℝ |
196 | 195 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → 3 ∈
ℝ) |
197 | | 3ne0 11822 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ 3 ≠
0 |
198 | 197 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜒 → 3 ≠ 0) |
199 | 147, 196,
198 | redivcld 11546 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℝ) |
200 | 152 | rpne0d 12519 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → 𝑎 ≠ 0) |
201 | 199, 153,
200 | redivcld 11546 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → ((𝑒 / 3) / 𝑎) ∈ ℝ) |
202 | 94, 201 | eqeltrid 2837 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 𝐷 ∈ ℝ) |
203 | 153, 202 | remulcld 10749 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) ∈ ℝ) |
204 | 152 | rpge0d 12518 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → 0 ≤ 𝑎) |
205 | | simplrr 778 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) |
206 | 113, 205 | sylbi 220 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) |
207 | 178, 202,
153, 204, 206 | lemul2ad 11658 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) ≤ (𝑎 · 𝐷)) |
208 | 94 | oveq2i 7181 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑎 · 𝐷) = (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎)) |
209 | 199 | recnd 10747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) ∈ ℂ) |
210 | 209, 179,
200 | divcan2d 11496 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → (𝑎 · ((𝑒 / 3) / 𝑎)) = (𝑒 / 3)) |
211 | 208, 210 | syl5eq 2785 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) = (𝑒 / 3)) |
212 | | 2rp 12477 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
213 | 212 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 2 ∈
ℝ+) |
214 | 96 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 3 ∈
ℝ+) |
215 | | 2lt3 11888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 2 <
3 |
216 | 215 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜒 → 2 < 3) |
217 | 213, 214,
146, 216 | ltdiv2dd 42371 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜒 → (𝑒 / 3) < (𝑒 / 2)) |
218 | 211, 217 | eqbrtrd 5052 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝜒 → (𝑎 · 𝐷) < (𝑒 / 2)) |
219 | 194, 203,
148, 207, 218 | lelttrd 10876 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜒 → (𝑎 · (vol‘𝑢)) < (𝑒 / 2)) |
220 | 193, 219 | eqbrtrd 5052 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜒 → ∫𝑢𝑎 d𝑠 < (𝑒 / 2)) |
221 | 143, 182,
148, 191, 220 | lelttrd 10876 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜒 → ∫𝑢(abs‘(𝐺‘𝑠)) d𝑠 < (𝑒 / 2)) |
222 | 139, 143,
148, 149, 221 | lelttrd 10876 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜒 → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) |
223 | 113, 222 | sylbir 238 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) |
224 | 223 | ex 416 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → (𝑛 ∈ ℕ → (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
225 | 112, 224 | ralrimi 3128 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+)
∧ 𝑎 ∈
ℝ+ ∧ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) → ∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) |
226 | 225 | ex 416 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑢 ∈ dom vol) → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
227 | 226 | ralrimiva 3096 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
228 | | breq2 5034 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((vol‘𝑢) ≤ 𝑑 ↔ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷)) |
229 | 228 | anbi2d 632 |
. . . . . 6
⊢ (𝑑 = 𝐷 → ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) ↔ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝐷))) |
230 | 229 | rspceaimv 3531 |
. . . . 5
⊢ ((𝐷 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑢 ∈ dom
vol((𝑢 ⊆
(-π[,]π) ∧ (vol‘𝑢) ≤ 𝐷) → ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
231 | 104, 227,
230 | syl2anc 587 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑎 ∈ ℝ+
∧ ∀𝑛 ∈
ℕ ∀𝑠 ∈
(-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
232 | 231 | rexlimdv3a 3196 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
(∃𝑎 ∈
ℝ+ ∀𝑛 ∈ ℕ ∀𝑠 ∈ (-π[,]π)(abs‘(𝐺‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)))) |
233 | 93, 232 | mpd 15 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
∃𝑑 ∈
ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
234 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝜑) |
235 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑛 ∈ ℕ) |
236 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) |
237 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ 𝑢) |
238 | 236, 237 | sseldd 3878 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → 𝑠 ∈ (-π[,]π)) |
239 | 234, 235,
238, 54 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → (𝐺‘𝑠) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))) |
240 | 239 | itgeq2dv 24534 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) →
∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) |
241 | 240 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) →
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) |
242 | 241 | breq1d 5040 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) →
((abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
243 | 242 | ralbidva 3108 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) →
(∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
244 | | oveq1 7177 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (𝑛 + (1 / 2)) = (𝑘 + (1 / 2))) |
245 | 244 | oveq1d 7185 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) = ((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)) |
246 | 245 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) = (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) |
247 | 246 | oveq2d 7186 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) |
248 | 247 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑛 = 𝑘 ∧ 𝑠 ∈ 𝑢) → ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = ((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠)))) |
249 | 248 | itgeq2dv 24534 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠 = ∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) |
250 | 249 | fveq2d 6678 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑛 = 𝑘 → (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) = (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠)) |
251 | 250 | breq1d 5040 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑛 = 𝑘 → ((abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
252 | 251 | cbvralvw 3349 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑛 ∈
ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)) |
253 | 243, 252 | bitrdi 290 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑢 ⊆ (-π[,]π)) →
(∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
254 | 253 | adantrr 717 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑)) → (∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2) ↔ ∀𝑘 ∈ ℕ (abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |
255 | 254 | pm5.74da 804 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → (((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))) |
256 | 255 | rexralbidv 3211 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))) |
257 | 256 | adantr 484 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
(∃𝑑 ∈
ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑛 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢(𝐺‘𝑠) d𝑠) < (𝑒 / 2)) ↔ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2)))) |
258 | 233, 257 | mpbid 235 |
1
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) →
∃𝑑 ∈
ℝ+ ∀𝑢 ∈ dom vol((𝑢 ⊆ (-π[,]π) ∧
(vol‘𝑢) ≤ 𝑑) → ∀𝑘 ∈ ℕ
(abs‘∫𝑢((𝑈‘𝑠) · (sin‘((𝑘 + (1 / 2)) · 𝑠))) d𝑠) < (𝑒 / 2))) |