Theorem div1d 12066

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11987	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  1c1 11182   / cdiv 11954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955

This theorem is used by:  zq  13062  divlt1lt  13172  divle1le  13173  nnledivrp  13215  modfrac  14004  iexpcyc  14331  geo2sum2  16023  fallfacfac  16191  bpolysum  16199  sin01gt0  16338  bits0  16578  cncongrcoprm  16825  isprm6  16870  divdenle  16905  qden1elz  16913  pczpre  17005  prmreclem2  17075  mul4sq  17112  psgnunilem4  19691  znidomb  21847  iblcnlem1  26088  itgcnlem  26090  iblabsr  26130  iblmulc2  26131  aaliou2b  26650  aaliou3lem3  26653  tayl0  26671  logtayl2  26972  root1cj  27066  elogb  27080  logblog  27102  ang180lem4  27122  isosctrlem3  27130  dquartlem1  27161  efrlim  27279  amgmlem  27299  fsumharmonic  27321  lgamgulmlem5  27342  lgamcvg2  27364  1sgm2ppw  27509  logexprlim  27534  perfectlem2  27539  sum2dchr  27583  dchrvmasum2lem  27805  dchrisum0flblem2  27818  dchrisum0lem1  27825  mulog2sumlem2  27844  selbergb  27858  selberg2b  27861  selberg3lem1  27866  selberg3lem2  27867  pntrmax  27873  pntrlog2bndlem2  27887  pntrlog2bndlem4  27889  pntrlog2bndlem6a  27891  pntrlog2bnd  27893  pntlemk  27915  kbpj  32540  znumd  33386  zdend  33387  cos9thpiminplylem2  34397  faclimlem1  36477  knoppndvlem17  37364  iblmulc2nc  38571  lcmineqlem11  43057  aks4d1p8  43105  aks6d1c1  43134  tan3rdpi  43371  expgrowth  45278  bccn1  45287  binomcxplemnotnn0  45299  ltdivgt1  46312  0ellimcdiv  46603  sinaover2ne0  46822  dvnxpaek  46896  stoweidlem7  46961  stoweidlem36  46990  stoweidlem42  46996  stoweidlem51  47005  stoweidlem59  47013  stirlinglem6  47033  stirlinglem7  47034  stirlinglem10  47037  stirlinglem15  47042  dirkertrigeq  47055  fourierdlem60  47120  fourierdlem61  47121  etransclem14  47202  etransclem24  47212  etransclem25  47213  etransclem35  47223  bits0ALTV  48721  perfectALTVlem2  48764  0dig2nn0e  49668  0dig2nn0o  49669  line2  49808  amgmwlem  50931