Theorem div1d 11988

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11909	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7413  ℂcc 11112  1c1 11115   / cdiv 11877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878

This theorem is referenced by:  zq  12944  divlt1lt  13049  divle1le  13050  nnledivrp  13092  modfrac  13855  iexpcyc  14177  geo2sum2  15826  fallfacfac  15995  bpolysum  16003  sin01gt0  16139  bits0  16375  cncongrcoprm  16613  isprm6  16657  divdenle  16691  qden1elz  16699  pczpre  16786  prmreclem2  16856  mul4sq  16893  psgnunilem4  19408  znidomb  21338  iblcnlem1  25539  itgcnlem  25541  iblabsr  25581  iblmulc2  25582  aaliou2b  26088  aaliou3lem3  26091  tayl0  26108  logtayl2  26404  root1cj  26498  elogb  26509  logblog  26531  ang180lem4  26551  isosctrlem3  26559  dquartlem1  26590  efrlim  26708  amgmlem  26728  fsumharmonic  26750  lgamgulmlem5  26771  lgamcvg2  26793  1sgm2ppw  26937  logexprlim  26962  perfectlem2  26967  sum2dchr  27011  dchrvmasum2lem  27233  dchrisum0flblem2  27246  dchrisum0lem1  27253  mulog2sumlem2  27272  selbergb  27286  selberg2b  27289  selberg3lem1  27294  selberg3lem2  27295  pntrmax  27301  pntrlog2bndlem2  27315  pntrlog2bndlem4  27317  pntrlog2bndlem6a  27319  pntrlog2bnd  27321  pntlemk  27343  kbpj  31474  faclimlem1  35015  knoppndvlem17  35709  iblmulc2nc  36858  lcmineqlem11  41212  aks4d1p8  41260  expgrowth  43398  bccn1  43407  binomcxplemnotnn0  43419  ltdivgt1  44366  0ellimcdiv  44665  sinaover2ne0  44884  dvnxpaek  44958  stoweidlem7  45023  stoweidlem36  45052  stoweidlem42  45058  stoweidlem51  45067  stoweidlem59  45075  stirlinglem6  45095  stirlinglem7  45096  stirlinglem10  45099  stirlinglem15  45104  dirkertrigeq  45117  fourierdlem60  45182  fourierdlem61  45183  etransclem14  45264  etransclem24  45274  etransclem25  45275  etransclem35  45285  bits0ALTV  46647  perfectALTVlem2  46690  0dig2nn0e  47387  0dig2nn0o  47388  line2  47527  amgmwlem  47938