Theorem div1d 11984

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11905	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  1c1 11102   / cdiv 11872

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873

This theorem is referenced by:  zq  12979  divlt1lt  13088  divle1le  13089  nnledivrp  13131  modfrac  13919  iexpcyc  14245  geo2sum2  15930  fallfacfac  16100  bpolysum  16108  sin01gt0  16247  bits0  16487  cncongrcoprm  16729  isprm6  16774  divdenle  16809  qden1elz  16817  pczpre  16908  prmreclem2  16978  mul4sq  17015  psgnunilem4  19568  znidomb  21692  iblcnlem1  25928  itgcnlem  25930  iblabsr  25970  iblmulc2  25971  aaliou2b  26483  aaliou3lem3  26486  tayl0  26503  logtayl2  26805  root1cj  26899  elogb  26913  logblog  26935  ang180lem4  26955  isosctrlem3  26963  dquartlem1  26994  efrlim  27112  amgmlem  27132  fsumharmonic  27154  lgamgulmlem5  27175  lgamcvg2  27197  1sgm2ppw  27342  logexprlim  27367  perfectlem2  27372  sum2dchr  27416  dchrvmasum2lem  27638  dchrisum0flblem2  27651  dchrisum0lem1  27658  mulog2sumlem2  27677  selbergb  27691  selberg2b  27694  selberg3lem1  27699  selberg3lem2  27700  pntrmax  27706  pntrlog2bndlem2  27720  pntrlog2bndlem4  27722  pntrlog2bndlem6a  27724  pntrlog2bnd  27726  pntlemk  27748  kbpj  32286  znumd  33135  zdend  33136  cos9thpiminplylem2  34151  faclimlem1  36213  knoppndvlem17  37095  iblmulc2nc  38314  lcmineqlem11  42784  aks4d1p8  42832  aks6d1c1  42861  tan3rdpi  43091  expgrowth  45025  bccn1  45034  binomcxplemnotnn0  45046  ltdivgt1  46052  0ellimcdiv  46343  sinaover2ne0  46562  dvnxpaek  46636  stoweidlem7  46701  stoweidlem36  46730  stoweidlem42  46736  stoweidlem51  46745  stoweidlem59  46753  stirlinglem6  46773  stirlinglem7  46774  stirlinglem10  46777  stirlinglem15  46782  dirkertrigeq  46795  fourierdlem60  46860  fourierdlem61  46861  etransclem14  46942  etransclem24  46952  etransclem25  46953  etransclem35  46963  bits0ALTV  48421  perfectALTVlem2  48464  0dig2nn0e  49369  0dig2nn0o  49370  line2  49509  amgmwlem  50579