Theorem div1d 11910

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11832	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  1c1 11029   / cdiv 11795

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796

This theorem is referenced by:  zq  12873  divlt1lt  12982  divle1le  12983  nnledivrp  13025  modfrac  13806  iexpcyc  14132  geo2sum2  15799  fallfacfac  15970  bpolysum  15978  sin01gt0  16117  bits0  16357  cncongrcoprm  16599  isprm6  16643  divdenle  16678  qden1elz  16686  pczpre  16777  prmreclem2  16847  mul4sq  16884  psgnunilem4  19394  znidomb  21486  iblcnlem1  25705  itgcnlem  25707  iblabsr  25747  iblmulc2  25748  aaliou2b  26265  aaliou3lem3  26268  tayl0  26285  logtayl2  26587  root1cj  26682  elogb  26696  logblog  26718  ang180lem4  26738  isosctrlem3  26746  dquartlem1  26777  efrlim  26895  efrlimOLD  26896  amgmlem  26916  fsumharmonic  26938  lgamgulmlem5  26959  lgamcvg2  26981  1sgm2ppw  27127  logexprlim  27152  perfectlem2  27157  sum2dchr  27201  dchrvmasum2lem  27423  dchrisum0flblem2  27436  dchrisum0lem1  27443  mulog2sumlem2  27462  selbergb  27476  selberg2b  27479  selberg3lem1  27484  selberg3lem2  27485  pntrmax  27491  pntrlog2bndlem2  27505  pntrlog2bndlem4  27507  pntrlog2bndlem6a  27509  pntrlog2bnd  27511  pntlemk  27533  kbpj  31918  znumd  32770  zdend  32771  cos9thpiminplylem2  33749  faclimlem1  35715  knoppndvlem17  36501  iblmulc2nc  37664  lcmineqlem11  42012  aks4d1p8  42060  aks6d1c1  42089  tan3rdpi  42325  expgrowth  44308  bccn1  44317  binomcxplemnotnn0  44329  ltdivgt1  45336  0ellimcdiv  45631  sinaover2ne0  45850  dvnxpaek  45924  stoweidlem7  45989  stoweidlem36  46018  stoweidlem42  46024  stoweidlem51  46033  stoweidlem59  46041  stirlinglem6  46061  stirlinglem7  46062  stirlinglem10  46065  stirlinglem15  46070  dirkertrigeq  46083  fourierdlem60  46148  fourierdlem61  46149  etransclem14  46230  etransclem24  46240  etransclem25  46241  etransclem35  46251  bits0ALTV  47664  perfectALTVlem2  47707  0dig2nn0e  48598  0dig2nn0o  48599  line2  48738  amgmwlem  49788