Theorem div1d 11743

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11664	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  1c1 10872   / cdiv 11632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633

This theorem is referenced by:  zq  12694  divlt1lt  12799  divle1le  12800  nnledivrp  12842  modfrac  13604  iexpcyc  13923  geo2sum2  15586  fallfacfac  15755  bpolysum  15763  sin01gt0  15899  bits0  16135  cncongrcoprm  16375  isprm6  16419  divdenle  16453  qden1elz  16461  pczpre  16548  prmreclem2  16618  mul4sq  16655  psgnunilem4  19105  znidomb  20769  iblcnlem1  24952  itgcnlem  24954  iblabsr  24994  iblmulc2  24995  aaliou2b  25501  aaliou3lem3  25504  tayl0  25521  logtayl2  25817  root1cj  25909  elogb  25920  logblog  25942  ang180lem4  25962  isosctrlem3  25970  dquartlem1  26001  efrlim  26119  amgmlem  26139  fsumharmonic  26161  lgamgulmlem5  26182  lgamcvg2  26204  1sgm2ppw  26348  logexprlim  26373  perfectlem2  26378  sum2dchr  26422  dchrvmasum2lem  26644  dchrisum0flblem2  26657  dchrisum0lem1  26664  mulog2sumlem2  26683  selbergb  26697  selberg2b  26700  selberg3lem1  26705  selberg3lem2  26706  pntrmax  26712  pntrlog2bndlem2  26726  pntrlog2bndlem4  26728  pntrlog2bndlem6a  26730  pntrlog2bnd  26732  pntlemk  26754  kbpj  30318  faclimlem1  33709  knoppndvlem17  34708  iblmulc2nc  35842  lcmineqlem11  40047  aks4d1p8  40095  expgrowth  41953  bccn1  41962  binomcxplemnotnn0  41974  ltdivgt1  42895  0ellimcdiv  43190  sinaover2ne0  43409  dvnxpaek  43483  stoweidlem7  43548  stoweidlem36  43577  stoweidlem42  43583  stoweidlem51  43592  stoweidlem59  43600  stirlinglem6  43620  stirlinglem7  43621  stirlinglem10  43624  stirlinglem15  43629  dirkertrigeq  43642  fourierdlem60  43707  fourierdlem61  43708  etransclem14  43789  etransclem24  43799  etransclem25  43800  etransclem35  43810  bits0ALTV  45131  perfectALTVlem2  45174  0dig2nn0e  45958  0dig2nn0o  45959  line2  46098  amgmwlem  46506