Theorem div1d 11974

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11895	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  1c1 11089   / cdiv 11859

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-po 5560  df-so 5561  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860

This theorem is referenced by:  zq  12969  divlt1lt  13078  divle1le  13079  nnledivrp  13121  modfrac  13908  iexpcyc  14234  geo2sum2  15918  fallfacfac  16089  bpolysum  16097  sin01gt0  16236  bits0  16476  cncongrcoprm  16718  isprm6  16763  divdenle  16798  qden1elz  16806  pczpre  16897  prmreclem2  16967  mul4sq  17004  psgnunilem4  19558  znidomb  21671  iblcnlem1  25908  itgcnlem  25910  iblabsr  25950  iblmulc2  25951  aaliou2b  26463  aaliou3lem3  26466  tayl0  26483  logtayl2  26785  root1cj  26879  elogb  26893  logblog  26915  ang180lem4  26935  isosctrlem3  26943  dquartlem1  26974  efrlim  27092  amgmlem  27112  fsumharmonic  27134  lgamgulmlem5  27155  lgamcvg2  27177  1sgm2ppw  27322  logexprlim  27347  perfectlem2  27352  sum2dchr  27396  dchrvmasum2lem  27618  dchrisum0flblem2  27631  dchrisum0lem1  27638  mulog2sumlem2  27657  selbergb  27671  selberg2b  27674  selberg3lem1  27679  selberg3lem2  27680  pntrmax  27686  pntrlog2bndlem2  27700  pntrlog2bndlem4  27702  pntrlog2bndlem6a  27704  pntrlog2bnd  27706  pntlemk  27728  kbpj  32217  znumd  33070  zdend  33071  cos9thpiminplylem2  34090  faclimlem1  36106  knoppndvlem17  36979  iblmulc2nc  38196  lcmineqlem11  42668  aks4d1p8  42716  aks6d1c1  42745  tan3rdpi  42973  expgrowth  44909  bccn1  44918  binomcxplemnotnn0  44930  ltdivgt1  45930  0ellimcdiv  46221  sinaover2ne0  46440  dvnxpaek  46514  stoweidlem7  46579  stoweidlem36  46608  stoweidlem42  46614  stoweidlem51  46623  stoweidlem59  46631  stirlinglem6  46651  stirlinglem7  46652  stirlinglem10  46655  stirlinglem15  46660  dirkertrigeq  46673  fourierdlem60  46738  fourierdlem61  46739  etransclem14  46820  etransclem24  46830  etransclem25  46831  etransclem35  46841  bits0ALTV  48299  perfectALTVlem2  48342  0dig2nn0e  49243  0dig2nn0o  49244  line2  49383  amgmwlem  50431