Theorem div1d 12011

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11932	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  1c1 11129   / cdiv 11899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900

This theorem is used by:  zq  13007  divlt1lt  13117  divle1le  13118  nnledivrp  13160  modfrac  13949  iexpcyc  14275  geo2sum2  15967  fallfacfac  16137  bpolysum  16145  sin01gt0  16284  bits0  16524  cncongrcoprm  16766  isprm6  16811  divdenle  16846  qden1elz  16854  pczpre  16945  prmreclem2  17015  mul4sq  17052  psgnunilem4  19630  znidomb  21780  iblcnlem1  26022  itgcnlem  26024  iblabsr  26064  iblmulc2  26065  aaliou2b  26584  aaliou3lem3  26587  tayl0  26605  logtayl2  26907  root1cj  27001  elogb  27015  logblog  27037  ang180lem4  27057  isosctrlem3  27065  dquartlem1  27096  efrlim  27214  amgmlem  27234  fsumharmonic  27256  lgamgulmlem5  27277  lgamcvg2  27299  1sgm2ppw  27444  logexprlim  27469  perfectlem2  27474  sum2dchr  27518  dchrvmasum2lem  27740  dchrisum0flblem2  27753  dchrisum0lem1  27760  mulog2sumlem2  27779  selbergb  27793  selberg2b  27796  selberg3lem1  27801  selberg3lem2  27802  pntrmax  27808  pntrlog2bndlem2  27822  pntrlog2bndlem4  27824  pntrlog2bndlem6a  27826  pntrlog2bnd  27828  pntlemk  27850  kbpj  32445  znumd  33291  zdend  33292  cos9thpiminplylem2  34301  faclimlem1  36330  knoppndvlem17  37233  iblmulc2nc  38442  lcmineqlem11  42913  aks4d1p8  42961  aks6d1c1  42990  tan3rdpi  43235  expgrowth  45167  bccn1  45176  binomcxplemnotnn0  45188  ltdivgt1  46194  0ellimcdiv  46485  sinaover2ne0  46704  dvnxpaek  46778  stoweidlem7  46843  stoweidlem36  46872  stoweidlem42  46878  stoweidlem51  46887  stoweidlem59  46895  stirlinglem6  46915  stirlinglem7  46916  stirlinglem10  46919  stirlinglem15  46924  dirkertrigeq  46937  fourierdlem60  47002  fourierdlem61  47003  etransclem14  47084  etransclem24  47094  etransclem25  47095  etransclem35  47105  bits0ALTV  48603  perfectALTVlem2  48646  0dig2nn0e  49550  0dig2nn0o  49551  line2  49690  amgmwlem  50828