Theorem div1d 12007

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11929	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7403  ℂcc 11125  1c1 11128   / cdiv 11892

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893

This theorem is referenced by:  zq  12968  divlt1lt  13076  divle1le  13077  nnledivrp  13119  modfrac  13899  iexpcyc  14223  geo2sum2  15888  fallfacfac  16059  bpolysum  16067  sin01gt0  16206  bits0  16445  cncongrcoprm  16687  isprm6  16731  divdenle  16766  qden1elz  16774  pczpre  16865  prmreclem2  16935  mul4sq  16972  psgnunilem4  19476  znidomb  21520  iblcnlem1  25739  itgcnlem  25741  iblabsr  25781  iblmulc2  25782  aaliou2b  26299  aaliou3lem3  26302  tayl0  26319  logtayl2  26621  root1cj  26716  elogb  26730  logblog  26752  ang180lem4  26772  isosctrlem3  26780  dquartlem1  26811  efrlim  26929  efrlimOLD  26930  amgmlem  26950  fsumharmonic  26972  lgamgulmlem5  26993  lgamcvg2  27015  1sgm2ppw  27161  logexprlim  27186  perfectlem2  27191  sum2dchr  27235  dchrvmasum2lem  27457  dchrisum0flblem2  27470  dchrisum0lem1  27477  mulog2sumlem2  27496  selbergb  27510  selberg2b  27513  selberg3lem1  27518  selberg3lem2  27519  pntrmax  27525  pntrlog2bndlem2  27539  pntrlog2bndlem4  27541  pntrlog2bndlem6a  27543  pntrlog2bnd  27545  pntlemk  27567  kbpj  31883  znumd  32737  zdend  32738  cos9thpiminplylem2  33763  faclimlem1  35706  knoppndvlem17  36492  iblmulc2nc  37655  lcmineqlem11  41998  aks4d1p8  42046  aks6d1c1  42075  tan3rdpi  42346  expgrowth  44307  bccn1  44316  binomcxplemnotnn0  44328  ltdivgt1  45331  0ellimcdiv  45626  sinaover2ne0  45845  dvnxpaek  45919  stoweidlem7  45984  stoweidlem36  46013  stoweidlem42  46019  stoweidlem51  46028  stoweidlem59  46036  stirlinglem6  46056  stirlinglem7  46057  stirlinglem10  46060  stirlinglem15  46065  dirkertrigeq  46078  fourierdlem60  46143  fourierdlem61  46144  etransclem14  46225  etransclem24  46235  etransclem25  46236  etransclem35  46246  bits0ALTV  47641  perfectALTVlem2  47684  0dig2nn0e  48540  0dig2nn0o  48541  line2  48680  amgmwlem  49614