Theorem div1d 11914

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11835	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  1c1 11030   / cdiv 11798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799

This theorem is referenced by:  zq  12895  divlt1lt  13004  divle1le  13005  nnledivrp  13047  modfrac  13834  iexpcyc  14160  geo2sum2  15830  fallfacfac  16001  bpolysum  16009  sin01gt0  16148  bits0  16388  cncongrcoprm  16630  isprm6  16675  divdenle  16710  qden1elz  16718  pczpre  16809  prmreclem2  16879  mul4sq  16916  psgnunilem4  19463  znidomb  21551  iblcnlem1  25765  itgcnlem  25767  iblabsr  25807  iblmulc2  25808  aaliou2b  26318  aaliou3lem3  26321  tayl0  26338  logtayl2  26639  root1cj  26733  elogb  26747  logblog  26769  ang180lem4  26789  isosctrlem3  26797  dquartlem1  26828  efrlim  26946  efrlimOLD  26947  amgmlem  26967  fsumharmonic  26989  lgamgulmlem5  27010  lgamcvg2  27032  1sgm2ppw  27177  logexprlim  27202  perfectlem2  27207  sum2dchr  27251  dchrvmasum2lem  27473  dchrisum0flblem2  27486  dchrisum0lem1  27493  mulog2sumlem2  27512  selbergb  27526  selberg2b  27529  selberg3lem1  27534  selberg3lem2  27535  pntrmax  27541  pntrlog2bndlem2  27555  pntrlog2bndlem4  27557  pntrlog2bndlem6a  27559  pntrlog2bnd  27561  pntlemk  27583  kbpj  32042  znumd  32901  zdend  32902  cos9thpiminplylem2  33943  faclimlem1  35941  knoppndvlem17  36804  iblmulc2nc  38020  lcmineqlem11  42492  aks4d1p8  42540  aks6d1c1  42569  tan3rdpi  42798  expgrowth  44780  bccn1  44789  binomcxplemnotnn0  44801  ltdivgt1  45804  0ellimcdiv  46095  sinaover2ne0  46314  dvnxpaek  46388  stoweidlem7  46453  stoweidlem36  46482  stoweidlem42  46488  stoweidlem51  46497  stoweidlem59  46505  stirlinglem6  46525  stirlinglem7  46526  stirlinglem10  46529  stirlinglem15  46534  dirkertrigeq  46547  fourierdlem60  46612  fourierdlem61  46613  etransclem14  46694  etransclem24  46704  etransclem25  46705  etransclem35  46715  bits0ALTV  48167  perfectALTVlem2  48210  0dig2nn0e  49100  0dig2nn0o  49101  line2  49240  amgmwlem  50289