Theorem div1d 11892

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  1c1 11010   / cdiv 11777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778

This theorem is referenced by:  zq  12855  divlt1lt  12964  divle1le  12965  nnledivrp  13007  modfrac  13788  iexpcyc  14114  geo2sum2  15781  fallfacfac  15952  bpolysum  15960  sin01gt0  16099  bits0  16339  cncongrcoprm  16581  isprm6  16625  divdenle  16660  qden1elz  16668  pczpre  16759  prmreclem2  16829  mul4sq  16866  psgnunilem4  19376  znidomb  21468  iblcnlem1  25687  itgcnlem  25689  iblabsr  25729  iblmulc2  25730  aaliou2b  26247  aaliou3lem3  26250  tayl0  26267  logtayl2  26569  root1cj  26664  elogb  26678  logblog  26700  ang180lem4  26720  isosctrlem3  26728  dquartlem1  26759  efrlim  26877  efrlimOLD  26878  amgmlem  26898  fsumharmonic  26920  lgamgulmlem5  26941  lgamcvg2  26963  1sgm2ppw  27109  logexprlim  27134  perfectlem2  27139  sum2dchr  27183  dchrvmasum2lem  27405  dchrisum0flblem2  27418  dchrisum0lem1  27425  mulog2sumlem2  27444  selbergb  27458  selberg2b  27461  selberg3lem1  27466  selberg3lem2  27467  pntrmax  27473  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem6a  27491  pntrlog2bnd  27493  pntlemk  27515  kbpj  31900  znumd  32757  zdend  32758  cos9thpiminplylem2  33750  faclimlem1  35716  knoppndvlem17  36502  iblmulc2nc  37665  lcmineqlem11  42012  aks4d1p8  42060  aks6d1c1  42089  tan3rdpi  42325  expgrowth  44308  bccn1  44317  binomcxplemnotnn0  44329  ltdivgt1  45336  0ellimcdiv  45630  sinaover2ne0  45849  dvnxpaek  45923  stoweidlem7  45988  stoweidlem36  46017  stoweidlem42  46023  stoweidlem51  46032  stoweidlem59  46040  stirlinglem6  46060  stirlinglem7  46061  stirlinglem10  46064  stirlinglem15  46069  dirkertrigeq  46082  fourierdlem60  46147  fourierdlem61  46148  etransclem14  46229  etransclem24  46239  etransclem25  46240  etransclem35  46250  bits0ALTV  47663  perfectALTVlem2  47706  0dig2nn0e  48597  0dig2nn0o  48598  line2  48737  amgmwlem  49787