Theorem div1d 11978

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11899	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  1c1 11107   / cdiv 11867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868

This theorem is referenced by:  zq  12934  divlt1lt  13039  divle1le  13040  nnledivrp  13082  modfrac  13845  iexpcyc  14167  geo2sum2  15816  fallfacfac  15985  bpolysum  15993  sin01gt0  16129  bits0  16365  cncongrcoprm  16603  isprm6  16647  divdenle  16681  qden1elz  16689  pczpre  16776  prmreclem2  16846  mul4sq  16883  psgnunilem4  19359  znidomb  21108  iblcnlem1  25296  itgcnlem  25298  iblabsr  25338  iblmulc2  25339  aaliou2b  25845  aaliou3lem3  25848  tayl0  25865  logtayl2  26161  root1cj  26253  elogb  26264  logblog  26286  ang180lem4  26306  isosctrlem3  26314  dquartlem1  26345  efrlim  26463  amgmlem  26483  fsumharmonic  26505  lgamgulmlem5  26526  lgamcvg2  26548  1sgm2ppw  26692  logexprlim  26717  perfectlem2  26722  sum2dchr  26766  dchrvmasum2lem  26988  dchrisum0flblem2  27001  dchrisum0lem1  27008  mulog2sumlem2  27027  selbergb  27041  selberg2b  27044  selberg3lem1  27049  selberg3lem2  27050  pntrmax  27056  pntrlog2bndlem2  27070  pntrlog2bndlem4  27072  pntrlog2bndlem6a  27074  pntrlog2bnd  27076  pntlemk  27098  kbpj  31196  faclimlem1  34701  knoppndvlem17  35392  iblmulc2nc  36541  lcmineqlem11  40892  aks4d1p8  40940  expgrowth  43079  bccn1  43088  binomcxplemnotnn0  43100  ltdivgt1  44052  0ellimcdiv  44351  sinaover2ne0  44570  dvnxpaek  44644  stoweidlem7  44709  stoweidlem36  44738  stoweidlem42  44744  stoweidlem51  44753  stoweidlem59  44761  stirlinglem6  44781  stirlinglem7  44782  stirlinglem10  44785  stirlinglem15  44790  dirkertrigeq  44803  fourierdlem60  44868  fourierdlem61  44869  etransclem14  44950  etransclem24  44960  etransclem25  44961  etransclem35  44971  bits0ALTV  46333  perfectALTVlem2  46376  0dig2nn0e  47251  0dig2nn0o  47252  line2  47391  amgmwlem  47802