Theorem div1d 12088

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 12009	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  1c1 11204   / cdiv 11976

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977

This theorem is used by:  zq  13084  divlt1lt  13194  divle1le  13195  nnledivrp  13237  modfrac  14027  iexpcyc  14354  geo2sum2  16048  fallfacfac  16216  bpolysum  16224  sin01gt0  16363  bits0  16603  cncongrcoprm  16850  isprm6  16895  divdenle  16930  qden1elz  16938  pczpre  17030  prmreclem2  17100  mul4sq  17137  psgnunilem4  19716  znidomb  21872  iblcnlem1  26113  itgcnlem  26115  iblabsr  26155  iblmulc2  26156  aaliou2b  26673  aaliou3lem3  26676  tayl0  26694  logtayl2  26995  root1cj  27089  elogb  27103  logblog  27125  ang180lem4  27145  isosctrlem3  27153  dquartlem1  27184  efrlim  27302  amgmlem  27322  fsumharmonic  27344  lgamgulmlem5  27365  lgamcvg2  27387  1sgm2ppw  27532  logexprlim  27557  perfectlem2  27562  sum2dchr  27606  dchrvmasum2lem  27828  dchrisum0flblem2  27841  dchrisum0lem1  27848  mulog2sumlem2  27867  selbergb  27881  selberg2b  27884  selberg3lem1  27889  selberg3lem2  27890  pntrmax  27896  pntrlog2bndlem2  27910  pntrlog2bndlem4  27912  pntrlog2bndlem6a  27914  pntrlog2bnd  27916  pntlemk  27938  kbpj  32563  znumd  33450  zdend  33451  cos9thpiminplylem2  34461  faclimlem1  36600  knoppndvlem17  37486  iblmulc2nc  38696  lcmineqlem11  43182  aks4d1p8  43230  aks6d1c1  43259  tan3rdpi  43496  expgrowth  45412  bccn1  45421  binomcxplemnotnn0  45433  ltdivgt1  46461  0ellimcdiv  46752  sinaover2ne0  46971  dvnxpaek  47045  stoweidlem7  47110  stoweidlem36  47139  stoweidlem42  47145  stoweidlem51  47154  stoweidlem59  47162  stirlinglem6  47182  stirlinglem7  47183  stirlinglem10  47186  stirlinglem15  47191  dirkertrigeq  47204  fourierdlem60  47269  fourierdlem61  47270  etransclem14  47351  etransclem24  47361  etransclem25  47362  etransclem35  47372  bits0ALTV  48870  perfectALTVlem2  48913  0dig2nn0e  49817  0dig2nn0o  49818  line2  49957  amgmwlem  51155