Theorem div1d 12006

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11927	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7414  ℂcc 11130  1c1 11133   / cdiv 11895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896

This theorem is referenced by:  zq  12962  divlt1lt  13069  divle1le  13070  nnledivrp  13112  modfrac  13875  iexpcyc  14196  geo2sum2  15846  fallfacfac  16015  bpolysum  16023  sin01gt0  16160  bits0  16396  cncongrcoprm  16634  isprm6  16678  divdenle  16714  qden1elz  16722  pczpre  16809  prmreclem2  16879  mul4sq  16916  psgnunilem4  19445  znidomb  21488  iblcnlem1  25710  itgcnlem  25712  iblabsr  25752  iblmulc2  25753  aaliou2b  26269  aaliou3lem3  26272  tayl0  26289  logtayl2  26589  root1cj  26684  elogb  26695  logblog  26717  ang180lem4  26737  isosctrlem3  26745  dquartlem1  26776  efrlim  26894  efrlimOLD  26895  amgmlem  26915  fsumharmonic  26937  lgamgulmlem5  26958  lgamcvg2  26980  1sgm2ppw  27126  logexprlim  27151  perfectlem2  27156  sum2dchr  27200  dchrvmasum2lem  27422  dchrisum0flblem2  27435  dchrisum0lem1  27442  mulog2sumlem2  27461  selbergb  27475  selberg2b  27478  selberg3lem1  27483  selberg3lem2  27484  pntrmax  27490  pntrlog2bndlem2  27504  pntrlog2bndlem4  27506  pntrlog2bndlem6a  27508  pntrlog2bnd  27510  pntlemk  27532  kbpj  31759  znumd  32572  zdend  32573  faclimlem1  35327  knoppndvlem17  35993  iblmulc2nc  37147  lcmineqlem11  41499  aks4d1p8  41547  aks6d1c1  41572  expgrowth  43744  bccn1  43753  binomcxplemnotnn0  43765  ltdivgt1  44710  0ellimcdiv  45009  sinaover2ne0  45228  dvnxpaek  45302  stoweidlem7  45367  stoweidlem36  45396  stoweidlem42  45402  stoweidlem51  45411  stoweidlem59  45419  stirlinglem6  45439  stirlinglem7  45440  stirlinglem10  45443  stirlinglem15  45448  dirkertrigeq  45461  fourierdlem60  45526  fourierdlem61  45527  etransclem14  45608  etransclem24  45618  etransclem25  45619  etransclem35  45629  bits0ALTV  46991  perfectALTVlem2  47034  0dig2nn0e  47657  0dig2nn0o  47658  line2  47797  amgmwlem  48207