Theorem div1d 12032

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11954	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  1c1 11153   / cdiv 11917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918

This theorem is referenced by:  zq  12993  divlt1lt  13101  divle1le  13102  nnledivrp  13144  modfrac  13920  iexpcyc  14242  geo2sum2  15906  fallfacfac  16077  bpolysum  16085  sin01gt0  16222  bits0  16461  cncongrcoprm  16703  isprm6  16747  divdenle  16782  qden1elz  16790  pczpre  16880  prmreclem2  16950  mul4sq  16987  psgnunilem4  19529  znidomb  21597  iblcnlem1  25837  itgcnlem  25839  iblabsr  25879  iblmulc2  25880  aaliou2b  26397  aaliou3lem3  26400  tayl0  26417  logtayl2  26718  root1cj  26813  elogb  26827  logblog  26849  ang180lem4  26869  isosctrlem3  26877  dquartlem1  26908  efrlim  27026  efrlimOLD  27027  amgmlem  27047  fsumharmonic  27069  lgamgulmlem5  27090  lgamcvg2  27112  1sgm2ppw  27258  logexprlim  27283  perfectlem2  27288  sum2dchr  27332  dchrvmasum2lem  27554  dchrisum0flblem2  27567  dchrisum0lem1  27574  mulog2sumlem2  27593  selbergb  27607  selberg2b  27610  selberg3lem1  27615  selberg3lem2  27616  pntrmax  27622  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem6a  27640  pntrlog2bnd  27642  pntlemk  27664  kbpj  31984  znumd  32818  zdend  32819  faclimlem1  35722  knoppndvlem17  36510  iblmulc2nc  37671  lcmineqlem11  42020  aks4d1p8  42068  aks6d1c1  42097  tan3rdpi  42364  expgrowth  44330  bccn1  44339  binomcxplemnotnn0  44351  ltdivgt1  45305  0ellimcdiv  45604  sinaover2ne0  45823  dvnxpaek  45897  stoweidlem7  45962  stoweidlem36  45991  stoweidlem42  45997  stoweidlem51  46006  stoweidlem59  46014  stirlinglem6  46034  stirlinglem7  46035  stirlinglem10  46038  stirlinglem15  46043  dirkertrigeq  46056  fourierdlem60  46121  fourierdlem61  46122  etransclem14  46203  etransclem24  46213  etransclem25  46214  etransclem35  46224  bits0ALTV  47603  perfectALTVlem2  47646  0dig2nn0e  48461  0dig2nn0o  48462  line2  48601  amgmwlem  49032