Theorem div1d 11921

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11842	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  1c1 11037   / cdiv 11805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806

This theorem is referenced by:  zq  12902  divlt1lt  13011  divle1le  13012  nnledivrp  13054  modfrac  13841  iexpcyc  14167  geo2sum2  15837  fallfacfac  16008  bpolysum  16016  sin01gt0  16155  bits0  16395  cncongrcoprm  16637  isprm6  16682  divdenle  16717  qden1elz  16725  pczpre  16816  prmreclem2  16886  mul4sq  16923  psgnunilem4  19470  znidomb  21543  iblcnlem1  25780  itgcnlem  25782  iblabsr  25822  iblmulc2  25823  aaliou2b  26332  aaliou3lem3  26335  tayl0  26352  logtayl2  26651  root1cj  26745  elogb  26759  logblog  26781  ang180lem4  26801  isosctrlem3  26809  dquartlem1  26840  efrlim  26958  amgmlem  26978  fsumharmonic  27000  lgamgulmlem5  27021  lgamcvg2  27043  1sgm2ppw  27188  logexprlim  27213  perfectlem2  27218  sum2dchr  27262  dchrvmasum2lem  27484  dchrisum0flblem2  27497  dchrisum0lem1  27504  mulog2sumlem2  27523  selbergb  27537  selberg2b  27540  selberg3lem1  27545  selberg3lem2  27546  pntrmax  27552  pntrlog2bndlem2  27566  pntrlog2bndlem4  27568  pntrlog2bndlem6a  27570  pntrlog2bnd  27572  pntlemk  27594  kbpj  32052  znumd  32912  zdend  32913  cos9thpiminplylem2  33974  faclimlem1  35978  knoppndvlem17  36841  iblmulc2nc  38059  lcmineqlem11  42531  aks4d1p8  42579  aks6d1c1  42608  tan3rdpi  42836  expgrowth  44786  bccn1  44795  binomcxplemnotnn0  44807  ltdivgt1  45808  0ellimcdiv  46099  sinaover2ne0  46318  dvnxpaek  46392  stoweidlem7  46457  stoweidlem36  46486  stoweidlem42  46492  stoweidlem51  46501  stoweidlem59  46509  stirlinglem6  46529  stirlinglem7  46530  stirlinglem10  46533  stirlinglem15  46538  dirkertrigeq  46551  fourierdlem60  46616  fourierdlem61  46617  etransclem14  46698  etransclem24  46708  etransclem25  46709  etransclem35  46719  bits0ALTV  48177  perfectALTVlem2  48220  0dig2nn0e  49110  0dig2nn0o  49111  line2  49250  amgmwlem  50299