Theorem div1d 12035

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11957	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  1c1 11156   / cdiv 11920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921

This theorem is referenced by:  zq  12996  divlt1lt  13104  divle1le  13105  nnledivrp  13147  modfrac  13924  iexpcyc  14246  geo2sum2  15910  fallfacfac  16081  bpolysum  16089  sin01gt0  16226  bits0  16465  cncongrcoprm  16707  isprm6  16751  divdenle  16786  qden1elz  16794  pczpre  16885  prmreclem2  16955  mul4sq  16992  psgnunilem4  19515  znidomb  21580  iblcnlem1  25823  itgcnlem  25825  iblabsr  25865  iblmulc2  25866  aaliou2b  26383  aaliou3lem3  26386  tayl0  26403  logtayl2  26704  root1cj  26799  elogb  26813  logblog  26835  ang180lem4  26855  isosctrlem3  26863  dquartlem1  26894  efrlim  27012  efrlimOLD  27013  amgmlem  27033  fsumharmonic  27055  lgamgulmlem5  27076  lgamcvg2  27098  1sgm2ppw  27244  logexprlim  27269  perfectlem2  27274  sum2dchr  27318  dchrvmasum2lem  27540  dchrisum0flblem2  27553  dchrisum0lem1  27560  mulog2sumlem2  27579  selbergb  27593  selberg2b  27596  selberg3lem1  27601  selberg3lem2  27602  pntrmax  27608  pntrlog2bndlem2  27622  pntrlog2bndlem4  27624  pntrlog2bndlem6a  27626  pntrlog2bnd  27628  pntlemk  27650  kbpj  31975  znumd  32814  zdend  32815  faclimlem1  35743  knoppndvlem17  36529  iblmulc2nc  37692  lcmineqlem11  42040  aks4d1p8  42088  aks6d1c1  42117  tan3rdpi  42386  expgrowth  44354  bccn1  44363  binomcxplemnotnn0  44375  ltdivgt1  45367  0ellimcdiv  45664  sinaover2ne0  45883  dvnxpaek  45957  stoweidlem7  46022  stoweidlem36  46051  stoweidlem42  46057  stoweidlem51  46066  stoweidlem59  46074  stirlinglem6  46094  stirlinglem7  46095  stirlinglem10  46098  stirlinglem15  46103  dirkertrigeq  46116  fourierdlem60  46181  fourierdlem61  46182  etransclem14  46263  etransclem24  46273  etransclem25  46274  etransclem35  46284  bits0ALTV  47666  perfectALTVlem2  47709  0dig2nn0e  48533  0dig2nn0o  48534  line2  48673  amgmwlem  49321