Theorem div1d 11921

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11843	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   / cdiv 11806

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807

This theorem is referenced by:  zq  12879  divlt1lt  12988  divle1le  12989  nnledivrp  13031  modfrac  13816  iexpcyc  14142  geo2sum2  15809  fallfacfac  15980  bpolysum  15988  sin01gt0  16127  bits0  16367  cncongrcoprm  16609  isprm6  16653  divdenle  16688  qden1elz  16696  pczpre  16787  prmreclem2  16857  mul4sq  16894  psgnunilem4  19438  znidomb  21528  iblcnlem1  25757  itgcnlem  25759  iblabsr  25799  iblmulc2  25800  aaliou2b  26317  aaliou3lem3  26320  tayl0  26337  logtayl2  26639  root1cj  26734  elogb  26748  logblog  26770  ang180lem4  26790  isosctrlem3  26798  dquartlem1  26829  efrlim  26947  efrlimOLD  26948  amgmlem  26968  fsumharmonic  26990  lgamgulmlem5  27011  lgamcvg2  27033  1sgm2ppw  27179  logexprlim  27204  perfectlem2  27209  sum2dchr  27253  dchrvmasum2lem  27475  dchrisum0flblem2  27488  dchrisum0lem1  27495  mulog2sumlem2  27514  selbergb  27528  selberg2b  27531  selberg3lem1  27536  selberg3lem2  27537  pntrmax  27543  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem6a  27561  pntrlog2bnd  27563  pntlemk  27585  kbpj  32043  znumd  32903  zdend  32904  cos9thpiminplylem2  33960  faclimlem1  35956  knoppndvlem17  36747  iblmulc2nc  37930  lcmineqlem11  42403  aks4d1p8  42451  aks6d1c1  42480  tan3rdpi  42716  expgrowth  44685  bccn1  44694  binomcxplemnotnn0  44706  ltdivgt1  45709  0ellimcdiv  46001  sinaover2ne0  46220  dvnxpaek  46294  stoweidlem7  46359  stoweidlem36  46388  stoweidlem42  46394  stoweidlem51  46403  stoweidlem59  46411  stirlinglem6  46431  stirlinglem7  46432  stirlinglem10  46435  stirlinglem15  46440  dirkertrigeq  46453  fourierdlem60  46518  fourierdlem61  46519  etransclem14  46600  etransclem24  46610  etransclem25  46611  etransclem35  46621  bits0ALTV  48033  perfectALTVlem2  48076  0dig2nn0e  48966  0dig2nn0o  48967  line2  49106  amgmwlem  50155