Theorem div1d 11896

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11818	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  1c1 11014   / cdiv 11781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-div 11782

This theorem is referenced by:  zq  12854  divlt1lt  12963  divle1le  12964  nnledivrp  13006  modfrac  13790  iexpcyc  14116  geo2sum2  15783  fallfacfac  15954  bpolysum  15962  sin01gt0  16101  bits0  16341  cncongrcoprm  16583  isprm6  16627  divdenle  16662  qden1elz  16670  pczpre  16761  prmreclem2  16831  mul4sq  16868  psgnunilem4  19411  znidomb  21500  iblcnlem1  25717  itgcnlem  25719  iblabsr  25759  iblmulc2  25760  aaliou2b  26277  aaliou3lem3  26280  tayl0  26297  logtayl2  26599  root1cj  26694  elogb  26708  logblog  26730  ang180lem4  26750  isosctrlem3  26758  dquartlem1  26789  efrlim  26907  efrlimOLD  26908  amgmlem  26928  fsumharmonic  26950  lgamgulmlem5  26971  lgamcvg2  26993  1sgm2ppw  27139  logexprlim  27164  perfectlem2  27169  sum2dchr  27213  dchrvmasum2lem  27435  dchrisum0flblem2  27448  dchrisum0lem1  27455  mulog2sumlem2  27474  selbergb  27488  selberg2b  27491  selberg3lem1  27496  selberg3lem2  27497  pntrmax  27503  pntrlog2bndlem2  27517  pntrlog2bndlem4  27519  pntrlog2bndlem6a  27521  pntrlog2bnd  27523  pntlemk  27545  kbpj  31938  znumd  32800  zdend  32801  cos9thpiminplylem2  33817  faclimlem1  35808  knoppndvlem17  36593  iblmulc2nc  37745  lcmineqlem11  42152  aks4d1p8  42200  aks6d1c1  42229  tan3rdpi  42470  expgrowth  44452  bccn1  44461  binomcxplemnotnn0  44473  ltdivgt1  45479  0ellimcdiv  45771  sinaover2ne0  45990  dvnxpaek  46064  stoweidlem7  46129  stoweidlem36  46158  stoweidlem42  46164  stoweidlem51  46173  stoweidlem59  46181  stirlinglem6  46201  stirlinglem7  46202  stirlinglem10  46205  stirlinglem15  46210  dirkertrigeq  46223  fourierdlem60  46288  fourierdlem61  46289  etransclem14  46370  etransclem24  46380  etransclem25  46381  etransclem35  46391  bits0ALTV  47803  perfectALTVlem2  47846  0dig2nn0e  48737  0dig2nn0o  48738  line2  48877  amgmwlem  49927