Theorem div1d 12001

Description: A number divided by 1 is itself. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
div1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
div1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

Proof of Theorem div1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		div1d.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		div1 11922	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 / 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 18	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 / 1) = 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  1c1 11119   / cdiv 11889

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-po 5574  df-so 5575  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-div 11890

This theorem is used by:  zq  12996  divlt1lt  13105  divle1le  13106  nnledivrp  13148  modfrac  13937  iexpcyc  14263  geo2sum2  15954  fallfacfac  16124  bpolysum  16132  sin01gt0  16271  bits0  16511  cncongrcoprm  16753  isprm6  16798  divdenle  16833  qden1elz  16841  pczpre  16932  prmreclem2  17002  mul4sq  17039  psgnunilem4  19598  znidomb  21748  iblcnlem1  25984  itgcnlem  25986  iblabsr  26026  iblmulc2  26027  aaliou2b  26541  aaliou3lem3  26544  tayl0  26562  logtayl2  26864  root1cj  26958  elogb  26972  logblog  26994  ang180lem4  27014  isosctrlem3  27022  dquartlem1  27053  efrlim  27171  amgmlem  27191  fsumharmonic  27213  lgamgulmlem5  27234  lgamcvg2  27256  1sgm2ppw  27401  logexprlim  27426  perfectlem2  27431  sum2dchr  27475  dchrvmasum2lem  27697  dchrisum0flblem2  27710  dchrisum0lem1  27717  mulog2sumlem2  27736  selbergb  27750  selberg2b  27753  selberg3lem1  27758  selberg3lem2  27759  pntrmax  27765  pntrlog2bndlem2  27779  pntrlog2bndlem4  27781  pntrlog2bndlem6a  27783  pntrlog2bnd  27785  pntlemk  27807  kbpj  32345  znumd  33194  zdend  33195  cos9thpiminplylem2  34204  faclimlem1  36256  knoppndvlem17  37158  iblmulc2nc  38377  lcmineqlem11  42847  aks4d1p8  42895  aks6d1c1  42924  tan3rdpi  43154  expgrowth  45086  bccn1  45095  binomcxplemnotnn0  45107  ltdivgt1  46113  0ellimcdiv  46404  sinaover2ne0  46623  dvnxpaek  46697  stoweidlem7  46762  stoweidlem36  46791  stoweidlem42  46797  stoweidlem51  46806  stoweidlem59  46814  stirlinglem6  46834  stirlinglem7  46835  stirlinglem10  46838  stirlinglem15  46843  dirkertrigeq  46856  fourierdlem60  46921  fourierdlem61  46922  etransclem14  47003  etransclem24  47013  etransclem25  47014  etransclem35  47024  bits0ALTV  48485  perfectALTVlem2  48528  0dig2nn0e  49433  0dig2nn0o  49434  line2  49573  amgmwlem  50691