Theorem ltmul1a 11754

Description: Lemma for ltmul1 11755. Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul1a	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))

Proof of Theorem ltmul1a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		simpl1 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	1, 2	resubcld 11333	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
4		simpl3l 1226	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℝ)
5		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
6	2, 1	posdifd 11492	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
7	5, 6	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < (𝐵 − 𝐴))
8		simpl3r 1227	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < 𝐶)
9	3, 4, 7, 8	mulgt0d 11060	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((𝐵 − 𝐴) · 𝐶))
10	1	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
11	2	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℂ)
12	4	recnd 10934	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐶 ∈ ℂ)
13	10, 11, 12	subdird 11362	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐵 − 𝐴) · 𝐶) = ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · 𝐶)))
14	9, 13	breqtrd 5096	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → 0 < ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · 𝐶)))
15	2, 4	remulcld 10936	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
16	1, 4	remulcld 10936	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℝ)
17	15, 16	posdifd 11492	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶) ↔ 0 < ((𝐵 · 𝐶) − (𝐴 · 𝐶))))
18	14, 17	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) ∧ 𝐴 < 𝐵) → (𝐴 · 𝐶) < (𝐵 · 𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802   · cmul 10807   < clt 10940   − cmin 11135

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  ltmul1  11755  aks4d1p1p2  40006  tgblthelfgott  45155