MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prodgt02 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prodgt02 12011
Description: Infer that a multiplier is positive from a nonnegative multiplicand and positive product. (Contributed by NM, 24-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
prodgt02 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ด)

Proof of Theorem prodgt02
StepHypRef Expression
1 recn 11149 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 recn 11149 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 mulcom 11145 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
41, 2, 3syl2an 597 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ต) = (๐ต ยท ๐ด))
54breq2d 5121 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†” 0 < (๐ต ยท ๐ด)))
65biimpd 228 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < (๐ด ยท ๐ต) โ†’ 0 < (๐ต ยท ๐ด)))
7 prodgt0 12010 . . . . 5 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ต ยท ๐ด))) โ†’ 0 < ๐ด)
87ex 414 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ต ยท ๐ด)) โ†’ 0 < ๐ด))
98ancoms 460 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ต ยท ๐ด)) โ†’ 0 < ๐ด))
106, 9sylan2d 606 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต)) โ†’ 0 < ๐ด))
1110imp 408 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ต โˆง 0 < (๐ด ยท ๐ต))) โ†’ 0 < ๐ด)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058  0cc0 11059   ยท cmul 11064   < clt 11197   โ‰ค cle 11198
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821
This theorem is referenced by:  supmul1  12132
  Copyright terms: Public domain W3C validator