MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltmul1 12063
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltmul1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))

Proof of Theorem ltmul1
StepHypRef Expression
1 ltmul1a 12062 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ด < ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))
21ex 412 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
3 oveq1 7409 . . . . . 6 (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))
43a1i 11 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด = ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)))
5 ltmul1a 12062 . . . . . . 7 (((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โˆง ๐ต < ๐ด) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))
65ex 412 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ)))
763com12 1120 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต < ๐ด โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ)))
84, 7orim12d 961 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))))
98con3d 152 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (ยฌ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ)) โ†’ ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด)))
10 simp1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
11 simp3l 1198 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
1210, 11remulcld 11243 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
13 simp2 1134 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1413, 11remulcld 11243 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
1512, 14lttrid 11351 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†” ยฌ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โˆจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))))
1610, 13lttrid 11351 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” ยฌ (๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต < ๐ด)))
179, 15, 163imtr4d 294 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ†’ ๐ด < ๐ต))
182, 17impbid 211 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐ถ)) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5139  (class class class)co 7402  โ„cr 11106  0cc0 11107   ยท cmul 11112   < clt 11247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-po 5579  df-so 5580  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446
This theorem is referenced by:  ltmul2  12064  lemul1  12065  ltdiv1  12077  ltdiv23  12104  recp1lt1  12111  ltmul1i  12131  ltdivp1i  12139  ltmul1d  13058  expmulnbnd  14199  discr1  14203  mertenslem1  15832  qnumgt0  16691  4sqlem12  16894  pgpfaclem2  20000  mbfi1fseqlem4  25592  itg2monolem1  25624  dgrcolem2  26153  tangtx  26381  ftalem1  26946  basellem4  26957  lgsquadlem1  27254  lgsquadlem2  27255  pntpbnd1  27460  ostth2lem1  27492  nn0prpwlem  35708  pellexlem2  42120  stoweidlem34  45296  stoweidlem59  45321
  Copyright terms: Public domain W3C validator