![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > ltmul1 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.) |
Ref | Expression |
---|---|
ltmul1 | โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | ltmul1a 12062 | . . 3 โข (((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โง ๐ด < ๐ต) โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ)) | |
2 | 1 | ex 412 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))) |
3 | oveq1 7409 | . . . . . 6 โข (๐ด = ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ)) | |
4 | 3 | a1i 11 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด = ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ))) |
5 | ltmul1a 12062 | . . . . . . 7 โข (((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โง ๐ต < ๐ด) โ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ)) | |
6 | 5 | ex 412 | . . . . . 6 โข ((๐ต โ โ โง ๐ด โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ต < ๐ด โ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))) |
7 | 6 | 3com12 1120 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ต < ๐ด โ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ))) |
8 | 4, 7 | orim12d 961 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด = ๐ต โจ ๐ต < ๐ด) โ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ)))) |
9 | 8 | con3d 152 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (ยฌ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ)) โ ยฌ (๐ด = ๐ต โจ ๐ต < ๐ด))) |
10 | simp1 1133 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ด โ โ) | |
11 | simp3l 1198 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ถ โ โ) | |
12 | 10, 11 | remulcld 11243 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด ยท ๐ถ) โ โ) |
13 | simp2 1134 | . . . . 5 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ๐ต โ โ) | |
14 | 13, 11 | remulcld 11243 | . . . 4 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ต ยท ๐ถ) โ โ) |
15 | 12, 14 | lttrid 11351 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ ยฌ ((๐ด ยท ๐ถ) = (๐ต ยท ๐ถ) โจ (๐ต ยท ๐ถ) < (๐ด ยท ๐ถ)))) |
16 | 10, 13 | lttrid 11351 | . . 3 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ ยฌ (๐ด = ๐ต โจ ๐ต < ๐ด))) |
17 | 9, 15, 16 | 3imtr4d 294 | . 2 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ ((๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ) โ ๐ด < ๐ต)) |
18 | 2, 17 | impbid 211 | 1 โข ((๐ด โ โ โง ๐ต โ โ โง (๐ถ โ โ โง 0 < ๐ถ)) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด ยท ๐ถ) < (๐ต ยท ๐ถ))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ยฌ wn 3 โ wi 4 โ wb 205 โง wa 395 โจ wo 844 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 class class class wbr 5139 (class class class)co 7402 โcr 11106 0cc0 11107 ยท cmul 11112 < clt 11247 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2695 ax-sep 5290 ax-nul 5297 ax-pow 5354 ax-pr 5418 ax-un 7719 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2526 df-eu 2555 df-clab 2702 df-cleq 2716 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2933 df-nel 3039 df-ral 3054 df-rex 3063 df-reu 3369 df-rab 3425 df-v 3468 df-sbc 3771 df-csb 3887 df-dif 3944 df-un 3946 df-in 3948 df-ss 3958 df-nul 4316 df-if 4522 df-pw 4597 df-sn 4622 df-pr 4624 df-op 4628 df-uni 4901 df-br 5140 df-opab 5202 df-mpt 5223 df-id 5565 df-po 5579 df-so 5580 df-xp 5673 df-rel 5674 df-cnv 5675 df-co 5676 df-dm 5677 df-rn 5678 df-res 5679 df-ima 5680 df-iota 6486 df-fun 6536 df-fn 6537 df-f 6538 df-f1 6539 df-fo 6540 df-f1o 6541 df-fv 6542 df-riota 7358 df-ov 7405 df-oprab 7406 df-mpo 7407 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11249 df-mnf 11250 df-ltxr 11252 df-sub 11445 df-neg 11446 |
This theorem is referenced by: ltmul2 12064 lemul1 12065 ltdiv1 12077 ltdiv23 12104 recp1lt1 12111 ltmul1i 12131 ltdivp1i 12139 ltmul1d 13058 expmulnbnd 14199 discr1 14203 mertenslem1 15832 qnumgt0 16691 4sqlem12 16894 pgpfaclem2 20000 mbfi1fseqlem4 25592 itg2monolem1 25624 dgrcolem2 26153 tangtx 26381 ftalem1 26946 basellem4 26957 lgsquadlem1 27254 lgsquadlem2 27255 pntpbnd1 27460 ostth2lem1 27492 nn0prpwlem 35708 pellexlem2 42120 stoweidlem34 45296 stoweidlem59 45321 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |