Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemn3 37271
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 31. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn3.l = (le‘𝐾)
cdlemn3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemn3.p 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn3.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemn3.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemn3.f 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
cdlemn3.g 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
cdlemn3.j 𝐽 = (𝑇 (𝑄) = 𝑅)
Assertion
Ref Expression
cdlemn3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝐹) = 𝐺)
Distinct variable groups:   ,   𝐴,   ,𝐻   ,𝐾   𝑃,   𝑄,   𝑅,   𝑇,   ,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐹()   𝐺()   𝐽()

Proof of Theorem cdlemn3
StepHypRef Expression
1 simp1 1170 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
2 cdlemn3.l . . . . . . . . . 10 = (le‘𝐾)
3 cdlemn3.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4 cdlemn3.h . . . . . . . . . 10 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 cdlemn3.p . . . . . . . . . 10 𝑃 = ((oc‘𝐾)‘𝑊)
62, 3, 4, 5lhpocnel2 36093 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
763ad2ant1 1167 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
8 simp2 1171 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊))
9 cdlemn3.t . . . . . . . . 9 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
10 cdlemn3.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (𝑇 (𝑃) = 𝑄)
112, 3, 4, 9, 10ltrniotacl 36653 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → 𝐹𝑇)
121, 7, 8, 11syl3anc 1494 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐹𝑇)
13 eqid 2825 . . . . . . . 8 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
1413, 4, 9ltrn1o 36198 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
151, 12, 14syl2anc 579 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾))
16 f1of 6382 . . . . . 6 (𝐹:(Base‘𝐾)–1-1-onto→(Base‘𝐾) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾))
187simpld 490 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝑃𝐴)
1913, 3atbase 35363 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
2018, 19syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
21 fvco3 6526 . . . . 5 ((𝐹:(Base‘𝐾)⟶(Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝐽𝐹)‘𝑃) = (𝐽‘(𝐹𝑃)))
2217, 20, 21syl2anc 579 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ((𝐽𝐹)‘𝑃) = (𝐽‘(𝐹𝑃)))
232, 3, 4, 9, 10ltrniotaval 36655 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
241, 7, 8, 23syl3anc 1494 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑄)
2524fveq2d 6441 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽‘(𝐹𝑃)) = (𝐽𝑄))
26 cdlemn3.j . . . . 5 𝐽 = (𝑇 (𝑄) = 𝑅)
272, 3, 4, 9, 26ltrniotaval 36655 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝑄) = 𝑅)
2822, 25, 273eqtrd 2865 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ((𝐽𝐹)‘𝑃) = 𝑅)
29 cdlemn3.g . . . . 5 𝐺 = (𝑇 (𝑃) = 𝑅)
302, 3, 4, 9, 29ltrniotaval 36655 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐺𝑃) = 𝑅)
317, 30syld3an2 1535 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐺𝑃) = 𝑅)
3228, 31eqtr4d 2864 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → ((𝐽𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃))
332, 3, 4, 9, 26ltrniotacl 36653 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐽𝑇)
344, 9ltrnco 36793 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐽𝑇𝐹𝑇) → (𝐽𝐹) ∈ 𝑇)
351, 33, 12, 34syl3anc 1494 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝐹) ∈ 𝑇)
362, 3, 4, 9, 29ltrniotacl 36653 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐺𝑇)
377, 36syld3an2 1535 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → 𝐺𝑇)
382, 3, 4, 9ltrneq3 36282 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝐽𝐹) ∈ 𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (((𝐽𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃) ↔ (𝐽𝐹) = 𝐺))
391, 35, 37, 7, 38syl121anc 1498 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (((𝐽𝐹)‘𝑃) = (𝐺𝑃) ↔ (𝐽𝐹) = 𝐺))
4032, 39mpbid 224 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) → (𝐽𝐹) = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  ccom 5350  wf 6123  1-1-ontowf1o 6126  cfv 6127  crio 6870  Basecbs 16229  lecple 16319  occoc 16320  Atomscatm 35337  HLchlt 35424  LHypclh 36058  LTrncltrn 36175
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-riotaBAD 35027
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-undef 7669  df-map 8129  df-proset 17288  df-poset 17306  df-plt 17318  df-lub 17334  df-glb 17335  df-join 17336  df-meet 17337  df-p0 17399  df-p1 17400  df-lat 17406  df-clat 17468  df-oposet 35250  df-ol 35252  df-oml 35253  df-covers 35340  df-ats 35341  df-atl 35372  df-cvlat 35396  df-hlat 35425  df-llines 35572  df-lplanes 35573  df-lvols 35574  df-lines 35575  df-psubsp 35577  df-pmap 35578  df-padd 35870  df-lhyp 36062  df-laut 36063  df-ldil 36178  df-ltrn 36179  df-trl 36233
This theorem is referenced by:  cdlemn4  37272
  Copyright terms: Public domain W3C validator