Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemd 39381
Description: If two translations agree at any atom not under the fiducial co-atom π‘Š, then they are equal. Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemd.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemd.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemd.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemd.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemd ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem cdlemd
Dummy variable π‘ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl11 1248 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
2 simpl12 1249 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
3 simpl13 1250 . . . . 5 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ 𝐺 ∈ 𝑇)
42, 3jca 512 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
5 simpr 485 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ π‘ž ∈ 𝐴)
6 simpl2 1192 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š))
7 simpl3 1193 . . . 4 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ))
8 cdlemd.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
9 eqid 2732 . . . . 5 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
10 cdlemd.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
11 cdlemd.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
12 cdlemd.t . . . . 5 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
138, 9, 10, 11, 12cdlemd9 39380 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΊβ€˜π‘ž))
141, 4, 5, 6, 7, 13syl311anc 1384 . . 3 (((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) ∧ π‘ž ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ž) = (πΊβ€˜π‘ž))
1514ralrimiva 3146 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘ž) = (πΊβ€˜π‘ž))
1610, 11, 12ltrneq2 39322 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘ž) = (πΊβ€˜π‘ž) ↔ 𝐹 = 𝐺))
17163ad2ant1 1133 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ (βˆ€π‘ž ∈ 𝐴 (πΉβ€˜π‘ž) = (πΊβ€˜π‘ž) ↔ 𝐹 = 𝐺))
1815, 17mpbid 231 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ Β¬ 𝑃 ≀ π‘Š) ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) = (πΊβ€˜π‘ƒ)) β†’ 𝐹 = 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  lecple 17208  joincjn 18268  Atomscatm 38436  HLchlt 38523  LHypclh 39158  LTrncltrn 39275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-p0 18382  df-p1 18383  df-lat 18389  df-clat 18456  df-oposet 38349  df-ol 38351  df-oml 38352  df-covers 38439  df-ats 38440  df-atl 38471  df-cvlat 38495  df-hlat 38524  df-llines 38672  df-psubsp 38677  df-pmap 38678  df-padd 38970  df-lhyp 39162  df-laut 39163  df-ldil 39278  df-ltrn 39279  df-trl 39333
This theorem is referenced by:  ltrneq3  39382  cdleme  39734  cdlemg1a  39744  ltrniotavalbN  39758  cdlemg44  39907  cdlemk19  40043  cdlemk27-3  40081  cdlemk33N  40083  cdlemk34  40084  cdlemk53a  40129  cdlemk19u  40144  dia2dimlem4  40241  dih1dimatlem0  40502
  Copyright terms: Public domain W3C validator