Theorem cdlemd 39067

Description: If two translations agree at any atom not under the fiducial co-atom 𝑊, then they are equal. Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemd.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemd.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemd	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem cdlemd

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl11 1249	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl12 1250	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simpl13 1251	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ 𝑇)
4	2, 3	jca 513	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
5		simpr 486	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
6		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
7		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃))
8		cdlemd.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10		cdlemd.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11		cdlemd.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12		cdlemd.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13	8, 9, 10, 11, 12	cdlemd9 39066	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) → (𝐹‘𝑞) = (𝐺‘𝑞))
14	1, 4, 5, 6, 7, 13	syl311anc 1385	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑞) = (𝐺‘𝑞))
15	14	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) → ∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑞) = (𝐺‘𝑞))
16	10, 11, 12	ltrneq2 39008	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑞) = (𝐺‘𝑞) ↔ 𝐹 = 𝐺))
17	16	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) → (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑞) = (𝐺‘𝑞) ↔ 𝐹 = 𝐺))
18	15, 17	mpbid 231	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  lecple 17201  joincjn 18261  Atomscatm 38122  HLchlt 38209  LHypclh 38844  LTrncltrn 38961

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-map 8819  df-proset 18245  df-poset 18263  df-plt 18280  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-p0 18375  df-p1 18376  df-lat 18382  df-clat 18449  df-oposet 38035  df-ol 38037  df-oml 38038  df-covers 38125  df-ats 38126  df-atl 38157  df-cvlat 38181  df-hlat 38210  df-llines 38358  df-psubsp 38363  df-pmap 38364  df-padd 38656  df-lhyp 38848  df-laut 38849  df-ldil 38964  df-ltrn 38965  df-trl 39019

This theorem is referenced by:  ltrneq3  39068  cdleme  39420  cdlemg1a  39430  ltrniotavalbN  39444  cdlemg44  39593  cdlemk19  39729  cdlemk27-3  39767  cdlemk33N  39769  cdlemk34  39770  cdlemk53a  39815  cdlemk19u  39830  dia2dimlem4  39927  dih1dimatlem0  40188