Theorem cdlemd 39953

Description: If two translations agree at any atom not under the fiducial co-atom 𝑊, then they are equal. Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 2-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemd.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemd.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemd.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemd.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemd	⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) → 𝐹 = 𝐺)

Proof of Theorem cdlemd

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl11 1245	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2		simpl12 1246	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐹 ∈ 𝑇)
3		simpl13 1247	. . . . 5 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝐺 ∈ 𝑇)
4	2, 3	jca 510	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇))
5		simpr 483	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → 𝑞 ∈ 𝐴)
6		simpl2 1189	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
7		simpl3 1190	. . . 4 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃))
8		cdlemd.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
9		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
10		cdlemd.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
11		cdlemd.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
12		cdlemd.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
13	8, 9, 10, 11, 12	cdlemd9 39952	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) → (𝐹‘𝑞) = (𝐺‘𝑞))
14	1, 4, 5, 6, 7, 13	syl311anc 1381	. . 3 ⊢ (((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) ∧ 𝑞 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑞) = (𝐺‘𝑞))
15	14	ralrimiva 3139	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) → ∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑞) = (𝐺‘𝑞))
16	10, 11, 12	ltrneq2 39894	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) → (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑞) = (𝐺‘𝑞) ↔ 𝐹 = 𝐺))
17	16	3ad2ant1 1130	. 2 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) → (∀𝑞 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑞) = (𝐺‘𝑞) ↔ 𝐹 = 𝐺))
18	15, 17	mpbid 231	1 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝐺 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝐹‘𝑃) = (𝐺‘𝑃)) → 𝐹 = 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100  ∀wral 3054   class class class wbr 5156  ‘cfv 6558  lecple 17294  joincjn 18357  Atomscatm 39008  HLchlt 39095  LHypclh 39730  LTrncltrn 39847

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-op 4643  df-uni 4919  df-iun 5008  df-iin 5009  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-id 5584  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-map 8865  df-proset 18341  df-poset 18359  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-join 18394  df-meet 18395  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-clat 18545  df-oposet 38921  df-ol 38923  df-oml 38924  df-covers 39011  df-ats 39012  df-atl 39043  df-cvlat 39067  df-hlat 39096  df-llines 39244  df-psubsp 39249  df-pmap 39250  df-padd 39542  df-lhyp 39734  df-laut 39735  df-ldil 39850  df-ltrn 39851  df-trl 39905

This theorem is referenced by:  ltrneq3  39954  cdleme  40306  cdlemg1a  40316  ltrniotavalbN  40330  cdlemg44  40479  cdlemk19  40615  cdlemk27-3  40653  cdlemk33N  40655  cdlemk34  40656  cdlemk53a  40701  cdlemk19u  40716  dia2dimlem4  40813  dih1dimatlem0  41074