Theorem ltrniotaidvalN 40602

Description: Value of the unique translation specified by identity value. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrniotaidval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrniotaidval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrniotaidval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaidval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaidval.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaidval.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ltrniotaidvalN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑓   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotaidvalN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrniotaidval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		ltrniotaidval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		ltrniotaidval.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrniotaidval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		ltrniotaidval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	ltrniotaval 40600	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑃)
7	6	3anidm23 1423	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑃)
8		simpl 482	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 5	ltrniotacl 40598	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10	9	3anidm23 1423	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
11		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
12		ltrniotaidval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13	12, 1, 2, 3, 4	ltrnideq 40194	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑃))
14	8, 10, 11, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑃))
15	7, 14	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119   I cid 5547   ↾ cres 5656  ‘cfv 6531  ℩crio 7361  Basecbs 17228  lecple 17278  Atomscatm 39281  HLchlt 39368  LHypclh 40003  LTrncltrn 40120

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-riotaBAD 38971

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-iin 4970  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-undef 8272  df-map 8842  df-proset 18306  df-poset 18325  df-plt 18340  df-lub 18356  df-glb 18357  df-join 18358  df-meet 18359  df-p0 18435  df-p1 18436  df-lat 18442  df-clat 18509  df-oposet 39194  df-ol 39196  df-oml 39197  df-covers 39284  df-ats 39285  df-atl 39316  df-cvlat 39340  df-hlat 39369  df-llines 39517  df-lplanes 39518  df-lvols 39519  df-lines 39520  df-psubsp 39522  df-pmap 39523  df-padd 39815  df-lhyp 40007  df-laut 40008  df-ldil 40123  df-ltrn 40124  df-trl 40178

This theorem is referenced by:  dihpN  41355