Theorem ltrniotaidvalN 41640

Description: Value of the unique translation specified by identity value. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrniotaidval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrniotaidval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
ltrniotaidval.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaidval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaidval.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaidval.f	⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)

Assertion

Ref	Expression
ltrniotaidvalN	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))

Distinct variable groups:   ≤ ,𝑓   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotaidvalN

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltrniotaidval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
2		ltrniotaidval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3		ltrniotaidval.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4		ltrniotaidval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5		ltrniotaidval.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (℩𝑓 ∈ 𝑇 (𝑓‘𝑃) = 𝑃)
6	1, 2, 3, 4, 5	ltrniotaval 41638	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑃)
7	6	3anidm23 1448	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹‘𝑃) = 𝑃)
8		simpl 488	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9	1, 2, 3, 4, 5	ltrniotacl 41636	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
10	9	3anidm23 1448	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
11		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊))
12		ltrniotaidval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
13	12, 1, 2, 3, 4	ltrnideq 41232	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑃))
14	8, 10, 11, 13	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹‘𝑃) = 𝑃))
15	7, 14	mpbird 260	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ ¬ 𝑃 ≤ 𝑊)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103   I cid 5545   ↾ cres 5653  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  Basecbs 17387  lecple 17435  Atomscatm 40320  HLchlt 40407  LHypclh 41041  LTrncltrn 41158

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-riotaBAD 40010

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-undef 8290  df-map 8849  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-oposet 40233  df-ol 40235  df-oml 40236  df-covers 40323  df-ats 40324  df-atl 40355  df-cvlat 40379  df-hlat 40408  df-llines 40555  df-lplanes 40556  df-lvols 40557  df-lines 40558  df-psubsp 40560  df-pmap 40561  df-padd 40853  df-lhyp 41045  df-laut 41046  df-ldil 41161  df-ltrn 41162  df-trl 41216

This theorem is used by:  dihpN  42393