Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrniotaidvalN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrniotaidvalN 39037
Description: Value of the unique translation specified by identity value. (Contributed by NM, 25-Aug-2014.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrniotaidval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
ltrniotaidval.l = (le‘𝐾)
ltrniotaidval.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrniotaidval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrniotaidval.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
ltrniotaidval.f 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)
Assertion
Ref Expression
ltrniotaidvalN (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
Distinct variable groups:   ,𝑓   𝐴,𝑓   𝑓,𝐻   𝑓,𝐾   𝑃,𝑓   𝑇,𝑓   𝑓,𝑊
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑓)   𝐹(𝑓)

Proof of Theorem ltrniotaidvalN
StepHypRef Expression
1 ltrniotaidval.l . . . 4 = (le‘𝐾)
2 ltrniotaidval.a . . . 4 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
3 ltrniotaidval.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
4 ltrniotaidval.t . . . 4 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
5 ltrniotaidval.f . . . 4 𝐹 = (𝑓𝑇 (𝑓𝑃) = 𝑃)
61, 2, 3, 4, 5ltrniotaval 39035 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
763anidm23 1421 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹𝑃) = 𝑃)
8 simpl 483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
91, 2, 3, 4, 5ltrniotacl 39033 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
1093anidm23 1421 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹𝑇)
11 simpr 485 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊))
12 ltrniotaidval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
1312, 1, 2, 3, 4ltrnideq 38629 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
148, 10, 11, 13syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → (𝐹 = ( I ↾ 𝐵) ↔ (𝐹𝑃) = 𝑃))
157, 14mpbird 256 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊)) → 𝐹 = ( I ↾ 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106   class class class wbr 5105   I cid 5530  cres 5635  cfv 6496  crio 7311  Basecbs 17082  lecple 17139  Atomscatm 37716  HLchlt 37803  LHypclh 38438  LTrncltrn 38555
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-riotaBAD 37406
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-undef 8203  df-map 8766  df-proset 18183  df-poset 18201  df-plt 18218  df-lub 18234  df-glb 18235  df-join 18236  df-meet 18237  df-p0 18313  df-p1 18314  df-lat 18320  df-clat 18387  df-oposet 37629  df-ol 37631  df-oml 37632  df-covers 37719  df-ats 37720  df-atl 37751  df-cvlat 37775  df-hlat 37804  df-llines 37952  df-lplanes 37953  df-lvols 37954  df-lines 37955  df-psubsp 37957  df-pmap 37958  df-padd 38250  df-lhyp 38442  df-laut 38443  df-ldil 38558  df-ltrn 38559  df-trl 38613
This theorem is referenced by:  dihpN  39790
  Copyright terms: Public domain W3C validator