MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mapfienlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapfienlem1 9438
Description: Lemma 1 for mapfien 9441. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.) (Revised by AV, 28-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mapfien.s 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
mapfien.t 𝑇 = {𝑥 ∈ (𝐷m 𝐶) ∣ 𝑥 finSupp 𝑊}
mapfien.w 𝑊 = (𝐺𝑍)
mapfien.f (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
mapfien.g (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
mapfien.a (𝜑𝐴𝑈)
mapfien.b (𝜑𝐵𝑉)
mapfien.c (𝜑𝐶𝑋)
mapfien.d (𝜑𝐷𝑌)
mapfien.z (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mapfienlem1 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝑓,𝐹   𝑓,𝐺,𝑥   𝜑,𝑓   𝑥,𝐷   𝑆,𝑓   𝑇,𝑓   𝑥,𝑊   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐴(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐶(𝑓)   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑥)   𝑇(𝑥)   𝑈(𝑥,𝑓)   𝑉(𝑥,𝑓)   𝑊(𝑓)   𝑋(𝑥,𝑓)   𝑌(𝑥,𝑓)   𝑍(𝑓)

Proof of Theorem mapfienlem1
StepHypRef Expression
1 mapfien.w . . . 4 𝑊 = (𝐺𝑍)
21fvexi 6916 . . 3 𝑊 ∈ V
32a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑊 ∈ V)
4 mapfien.z . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
54adantr 479 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑍𝐵)
6 elrabi 3678 . . . . 5 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} → 𝑓 ∈ (𝐵m 𝐴))
7 elmapi 8876 . . . . 5 (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐴) → 𝑓:𝐴𝐵)
86, 7syl 17 . . . 4 (𝑓 ∈ {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍} → 𝑓:𝐴𝐵)
9 mapfien.s . . . 4 𝑆 = {𝑥 ∈ (𝐵m 𝐴) ∣ 𝑥 finSupp 𝑍}
108, 9eleq2s 2847 . . 3 (𝑓𝑆𝑓:𝐴𝐵)
11 mapfien.f . . . 4 (𝜑𝐹:𝐶1-1-onto𝐴)
12 f1of 6844 . . . 4 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶𝐴)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑𝐹:𝐶𝐴)
14 fco 6752 . . 3 ((𝑓:𝐴𝐵𝐹:𝐶𝐴) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
1510, 13, 14syl2anr 595 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹):𝐶𝐵)
16 mapfien.g . . . 4 (𝜑𝐺:𝐵1-1-onto𝐷)
17 f1of 6844 . . . 4 (𝐺:𝐵1-1-onto𝐷𝐺:𝐵𝐷)
1816, 17syl 17 . . 3 (𝜑𝐺:𝐵𝐷)
1918adantr 479 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐺:𝐵𝐷)
20 ssidd 4005 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐵𝐵)
21 mapfien.c . . 3 (𝜑𝐶𝑋)
2221adantr 479 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐶𝑋)
23 mapfien.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
2423adantr 479 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐵𝑉)
25 breq1 5155 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑓 → (𝑥 finSupp 𝑍𝑓 finSupp 𝑍))
2625, 9elrab2 3687 . . . . 5 (𝑓𝑆 ↔ (𝑓 ∈ (𝐵m 𝐴) ∧ 𝑓 finSupp 𝑍))
2726simprbi 495 . . . 4 (𝑓𝑆𝑓 finSupp 𝑍)
2827adantl 480 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓 finSupp 𝑍)
29 f1of1 6843 . . . . 5 (𝐹:𝐶1-1-onto𝐴𝐹:𝐶1-1𝐴)
3011, 29syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:𝐶1-1𝐴)
3130adantr 479 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝐹:𝐶1-1𝐴)
32 simpr 483 . . 3 ((𝜑𝑓𝑆) → 𝑓𝑆)
3328, 31, 5, 32fsuppco 9435 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝑓𝐹) finSupp 𝑍)
341eqcomi 2737 . . 3 (𝐺𝑍) = 𝑊
3534a1i 11 . 2 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺𝑍) = 𝑊)
363, 5, 15, 19, 20, 22, 24, 33, 35fsuppcor 9437 1 ((𝜑𝑓𝑆) → (𝐺 ∘ (𝑓𝐹)) finSupp 𝑊)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3430  Vcvv 3473   class class class wbr 5152  ccom 5686  wf 6549  1-1wf1 6550  1-1-ontowf1o 6552  cfv 6553  (class class class)co 7426  m cmap 8853   finSupp cfsupp 9395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8174  df-1o 8495  df-map 8855  df-en 8973  df-fin 8976  df-fsupp 9396
This theorem is referenced by:  mapfien  9441
  Copyright terms: Public domain W3C validator