Theorem mdetleib 22562

Description: Full substitution of our determinant definition (also known as Leibniz' Formula, expanding by columns). Proposition 4.6 in [Lang] p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2015.) (Revised by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetleib	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑝)   · (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem mdetleib

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq 7366	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥) = ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))
2	1	mpteq2dv 5180	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))
3	2	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))
4	3	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))
5	4	mpteq2dv 5180	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))))
6	5	oveq2d 7376	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
7		mdetfval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
8		mdetfval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		mdetfval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
10		mdetfval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11		mdetfval.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
12		mdetfval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
13		mdetfval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14		mdetfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
15	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	mdetfval 22561	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
16		ovex 7393	. 2 ⊢ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))) ∈ V
17	6, 15, 16	fvmpt 6941	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ↦ cmpt 5167   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212   Σ_g cgsu 17394  SymGrpcsymg 19335  pmSgncpsgn 19455  mulGrpcmgp 20112  ℤRHomczrh 21489   Mat cmat 22382   maDet cmdat 22559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-mat 22383  df-mdet 22560

This theorem is referenced by:  mdetleib2  22563  m1detdiag  22572  mdetdiag  22574  mdetralt  22583  mdettpos  22586  chpmatval2  22808  mdetpmtr1  33983