![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mdetleib | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Full substitution of our determinant definition (also known as Leibniz' Formula, expanding by columns). Proposition 4.6 in [Lang] p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2015.) (Revised by SO, 9-Jul-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetfval.d | โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) |
mdetfval.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mdetfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mdetfval.p | โข ๐ = (Baseโ(SymGrpโ๐)) |
mdetfval.y | โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) |
mdetfval.s | โข ๐ = (pmSgnโ๐) |
mdetfval.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mdetfval.u | โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetleib | โข (๐ โ ๐ต โ (๐ทโ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq 7418 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ โ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ) = ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)) | |
2 | 1 | mpteq2dv 5251 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)) = (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))) |
3 | 2 | oveq2d 7428 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))) = (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))) |
4 | 3 | oveq2d 7428 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))) |
5 | 4 | mpteq2dv 5251 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))) = (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))))) |
6 | 5 | oveq2d 7428 | . 2 โข (๐ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
7 | mdetfval.d | . . 3 โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) | |
8 | mdetfval.a | . . 3 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
9 | mdetfval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
10 | mdetfval.p | . . 3 โข ๐ = (Baseโ(SymGrpโ๐)) | |
11 | mdetfval.y | . . 3 โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) | |
12 | mdetfval.s | . . 3 โข ๐ = (pmSgnโ๐) | |
13 | mdetfval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
14 | mdetfval.u | . . 3 โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) | |
15 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | mdetfval 22309 | . 2 โข ๐ท = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
16 | ovex 7445 | . 2 โข (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))))) โ V | |
17 | 6, 15, 16 | fvmpt 6999 | 1 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ทโ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1540 โ wcel 2105 โฆ cmpt 5232 โ ccom 5681 โcfv 6544 (class class class)co 7412 Basecbs 17149 .rcmulr 17203 ฮฃg cgsu 17391 SymGrpcsymg 19276 pmSgncpsgn 19399 mulGrpcmgp 20029 โคRHomczrh 21269 Mat cmat 22128 maDet cmdat 22307 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1796 ax-4 1810 ax-5 1912 ax-6 1970 ax-7 2010 ax-8 2107 ax-9 2115 ax-10 2136 ax-11 2153 ax-12 2170 ax-ext 2702 ax-rep 5286 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pow 5364 ax-pr 5428 ax-un 7728 ax-cnex 11169 ax-1cn 11171 ax-addcl 11173 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1543 df-fal 1553 df-ex 1781 df-nf 1785 df-sb 2067 df-mo 2533 df-eu 2562 df-clab 2709 df-cleq 2723 df-clel 2809 df-nfc 2884 df-ne 2940 df-ral 3061 df-rex 3070 df-reu 3376 df-rab 3432 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4324 df-if 4530 df-pw 4605 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-iun 5000 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-tr 5267 df-id 5575 df-eprel 5581 df-po 5589 df-so 5590 df-fr 5632 df-we 5634 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-res 5689 df-ima 5690 df-pred 6301 df-ord 6368 df-on 6369 df-lim 6370 df-suc 6371 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-f 6548 df-f1 6549 df-fo 6550 df-f1o 6551 df-fv 6552 df-ov 7415 df-oprab 7416 df-mpo 7417 df-om 7859 df-2nd 7979 df-frecs 8269 df-wrecs 8300 df-recs 8374 df-rdg 8413 df-nn 12218 df-slot 17120 df-ndx 17132 df-base 17150 df-mat 22129 df-mdet 22308 |
This theorem is referenced by: mdetleib2 22311 m1detdiag 22320 mdetdiag 22322 mdetralt 22331 mdettpos 22334 chpmatval2 22556 mdetpmtr1 33098 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |