![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mdetleib | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Full substitution of our determinant definition (also known as Leibniz' Formula, expanding by columns). Proposition 4.6 in [Lang] p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2015.) (Revised by SO, 9-Jul-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetfval.d | โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) |
mdetfval.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mdetfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mdetfval.p | โข ๐ = (Baseโ(SymGrpโ๐)) |
mdetfval.y | โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) |
mdetfval.s | โข ๐ = (pmSgnโ๐) |
mdetfval.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mdetfval.u | โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetleib | โข (๐ โ ๐ต โ (๐ทโ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq 7414 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ โ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ) = ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)) | |
2 | 1 | mpteq2dv 5250 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)) = (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))) |
3 | 2 | oveq2d 7424 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))) = (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))) |
4 | 3 | oveq2d 7424 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))) |
5 | 4 | mpteq2dv 5250 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))) = (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))))) |
6 | 5 | oveq2d 7424 | . 2 โข (๐ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
7 | mdetfval.d | . . 3 โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) | |
8 | mdetfval.a | . . 3 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
9 | mdetfval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
10 | mdetfval.p | . . 3 โข ๐ = (Baseโ(SymGrpโ๐)) | |
11 | mdetfval.y | . . 3 โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) | |
12 | mdetfval.s | . . 3 โข ๐ = (pmSgnโ๐) | |
13 | mdetfval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
14 | mdetfval.u | . . 3 โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) | |
15 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | mdetfval 22087 | . 2 โข ๐ท = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
16 | ovex 7441 | . 2 โข (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))))) โ V | |
17 | 6, 15, 16 | fvmpt 6998 | 1 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ทโ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1541 โ wcel 2106 โฆ cmpt 5231 โ ccom 5680 โcfv 6543 (class class class)co 7408 Basecbs 17143 .rcmulr 17197 ฮฃg cgsu 17385 SymGrpcsymg 19233 pmSgncpsgn 19356 mulGrpcmgp 19986 โคRHomczrh 21048 Mat cmat 21906 maDet cmdat 22085 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-rep 5285 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7724 ax-cnex 11165 ax-1cn 11167 ax-addcl 11169 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-f 6547 df-f1 6548 df-fo 6549 df-f1o 6550 df-fv 6551 df-ov 7411 df-oprab 7412 df-mpo 7413 df-om 7855 df-2nd 7975 df-frecs 8265 df-wrecs 8296 df-recs 8370 df-rdg 8409 df-nn 12212 df-slot 17114 df-ndx 17126 df-base 17144 df-mat 21907 df-mdet 22086 |
This theorem is referenced by: mdetleib2 22089 m1detdiag 22098 mdetdiag 22100 mdetralt 22109 mdettpos 22112 chpmatval2 22334 mdetpmtr1 32798 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |