![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mdetleib | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Full substitution of our determinant definition (also known as Leibniz' Formula, expanding by columns). Proposition 4.6 in [Lang] p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2015.) (Revised by SO, 9-Jul-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetfval.d | โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) |
mdetfval.a | โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) |
mdetfval.b | โข ๐ต = (Baseโ๐ด) |
mdetfval.p | โข ๐ = (Baseโ(SymGrpโ๐)) |
mdetfval.y | โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) |
mdetfval.s | โข ๐ = (pmSgnโ๐) |
mdetfval.t | โข ยท = (.rโ๐ ) |
mdetfval.u | โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) |
Ref | Expression |
---|---|
mdetleib | โข (๐ โ ๐ต โ (๐ทโ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | oveq 7368 | . . . . . . 7 โข (๐ = ๐ โ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ) = ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)) | |
2 | 1 | mpteq2dv 5212 | . . . . . 6 โข (๐ = ๐ โ (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)) = (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))) |
3 | 2 | oveq2d 7378 | . . . . 5 โข (๐ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))) = (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))) |
4 | 3 | oveq2d 7378 | . . . 4 โข (๐ = ๐ โ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))) = (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))) |
5 | 4 | mpteq2dv 5212 | . . 3 โข (๐ = ๐ โ (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))) = (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))))) |
6 | 5 | oveq2d 7378 | . 2 โข (๐ = ๐ โ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))))) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
7 | mdetfval.d | . . 3 โข ๐ท = (๐ maDet ๐ ) | |
8 | mdetfval.a | . . 3 โข ๐ด = (๐ Mat ๐ ) | |
9 | mdetfval.b | . . 3 โข ๐ต = (Baseโ๐ด) | |
10 | mdetfval.p | . . 3 โข ๐ = (Baseโ(SymGrpโ๐)) | |
11 | mdetfval.y | . . 3 โข ๐ = (โคRHomโ๐ ) | |
12 | mdetfval.s | . . 3 โข ๐ = (pmSgnโ๐) | |
13 | mdetfval.t | . . 3 โข ยท = (.rโ๐ ) | |
14 | mdetfval.u | . . 3 โข ๐ = (mulGrpโ๐ ) | |
15 | 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14 | mdetfval 21951 | . 2 โข ๐ท = (๐ โ ๐ต โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
16 | ovex 7395 | . 2 โข (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ)))))) โ V | |
17 | 6, 15, 16 | fvmpt 6953 | 1 โข (๐ โ ๐ต โ (๐ทโ๐) = (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ (((๐ โ ๐)โ๐) ยท (๐ ฮฃg (๐ฅ โ ๐ โฆ ((๐โ๐ฅ)๐๐ฅ))))))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 โฆ cmpt 5193 โ ccom 5642 โcfv 6501 (class class class)co 7362 Basecbs 17090 .rcmulr 17141 ฮฃg cgsu 17329 SymGrpcsymg 19155 pmSgncpsgn 19278 mulGrpcmgp 19903 โคRHomczrh 20916 Mat cmat 21770 maDet cmdat 21949 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-rep 5247 ax-sep 5261 ax-nul 5268 ax-pow 5325 ax-pr 5389 ax-un 7677 ax-cnex 11114 ax-1cn 11116 ax-addcl 11118 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-ral 3066 df-rex 3075 df-reu 3357 df-rab 3411 df-v 3450 df-sbc 3745 df-csb 3861 df-dif 3918 df-un 3920 df-in 3922 df-ss 3932 df-pss 3934 df-nul 4288 df-if 4492 df-pw 4567 df-sn 4592 df-pr 4594 df-op 4598 df-uni 4871 df-iun 4961 df-br 5111 df-opab 5173 df-mpt 5194 df-tr 5228 df-id 5536 df-eprel 5542 df-po 5550 df-so 5551 df-fr 5593 df-we 5595 df-xp 5644 df-rel 5645 df-cnv 5646 df-co 5647 df-dm 5648 df-rn 5649 df-res 5650 df-ima 5651 df-pred 6258 df-ord 6325 df-on 6326 df-lim 6327 df-suc 6328 df-iota 6453 df-fun 6503 df-fn 6504 df-f 6505 df-f1 6506 df-fo 6507 df-f1o 6508 df-fv 6509 df-ov 7365 df-oprab 7366 df-mpo 7367 df-om 7808 df-2nd 7927 df-frecs 8217 df-wrecs 8248 df-recs 8322 df-rdg 8361 df-nn 12161 df-slot 17061 df-ndx 17073 df-base 17091 df-mat 21771 df-mdet 21950 |
This theorem is referenced by: mdetleib2 21953 m1detdiag 21962 mdetdiag 21964 mdetralt 21973 mdettpos 21976 chpmatval2 22198 mdetpmtr1 32444 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |