Theorem mdetleib 22815

Description: Full substitution of our determinant definition (also known as Leibniz' Formula, expanding by columns). Proposition 4.6 in [Lang] p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2015.) (Revised by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetleib	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥, 𝑝)   𝐵(𝑥, 𝑝)   𝐷(𝑥, 𝑝)   𝑃(𝑥, 𝑝)   𝑆(𝑥, 𝑝)   · (𝑥, 𝑝)   𝑈(𝑥, 𝑝)   𝑌(𝑥, 𝑝)

Proof of Theorem mdetleib

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq 7423	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥) = ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))
2	1	mpteq2dv 5203	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))
3	2	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))
4	3	oveq2d 7433	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))
5	4	mpteq2dv 5203	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))))
6	5	oveq2d 7433	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
7		mdetfval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
8		mdetfval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		mdetfval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
10		mdetfval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11		mdetfval.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
12		mdetfval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
13		mdetfval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14		mdetfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
15	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	mdetfval 22814	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
16		ovex 7450	. 2 ⊢ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))) ∈ V
17	6, 15, 16	fvmpt 6990	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ↦ cmpt 5190   ∘ ccom 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349   Σ_g cgsu 17531  SymGrpcsymg 19502  pmSgncpsgn 19622  mulGrpcmgp 20279  ℤRHomczrh 21718   Mat cmat 22635   maDet cmdat 22812

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-1cn 11186  ax-addcl 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-nn 12262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-mat 22636  df-mdet 22813

This theorem is used by:  mdetleib2  22816  m1detdiag  22825  mdetdiag  22827  mdetralt  22836  mdettpos  22839  chpmatval2  23064  mdetpmtr1  34341