Theorem mdetleib 22614

Description: Full substitution of our determinant definition (also known as Leibniz' Formula, expanding by columns). Proposition 4.6 in [Lang] p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2015.) (Revised by SO, 9-Jul-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetfval.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetfval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetfval.p	⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
mdetfval.y	⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
mdetfval.s	⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
mdetfval.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
mdetfval.u	⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetleib	⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑝,𝑀   𝑁,𝑝,𝑥   𝑅,𝑝,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑝)   𝐵(𝑥,𝑝)   𝐷(𝑥,𝑝)   𝑃(𝑥,𝑝)   𝑆(𝑥,𝑝)   · (𝑥,𝑝)   𝑈(𝑥,𝑝)   𝑌(𝑥,𝑝)

Proof of Theorem mdetleib

Dummy variable 𝑚 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq 7454	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥) = ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))
2	1	mpteq2dv 5268	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)) = (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))
3	2	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))) = (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))
4	3	oveq2d 7464	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))) = (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))
5	4	mpteq2dv 5268	. . 3 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥))))) = (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥))))))
6	5	oveq2d 7464	. 2 ⊢ (𝑚 = 𝑀 → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))
7		mdetfval.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
8		mdetfval.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
9		mdetfval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
10		mdetfval.p	. . 3 ⊢ 𝑃 = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
11		mdetfval.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (ℤRHom‘𝑅)
12		mdetfval.s	. . 3 ⊢ 𝑆 = (pmSgn‘𝑁)
13		mdetfval.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
14		mdetfval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (mulGrp‘𝑅)
15	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14	mdetfval 22613	. 2 ⊢ 𝐷 = (𝑚 ∈ 𝐵 ↦ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑚𝑥)))))))
16		ovex 7481	. 2 ⊢ (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))) ∈ V
17	6, 15, 16	fvmpt 7029	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ 𝑃 ↦ (((𝑌 ∘ 𝑆)‘𝑝) · (𝑈 Σg (𝑥 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑥)𝑀𝑥)))))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ↦ cmpt 5249   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312   Σ_g cgsu 17500  SymGrpcsymg 19410  pmSgncpsgn 19531  mulGrpcmgp 20161  ℤRHomczrh 21533   Mat cmat 22432   maDet cmdat 22611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-1cn 11242  ax-addcl 11244

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-nn 12294  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-mat 22433  df-mdet 22612

This theorem is referenced by:  mdetleib2  22615  m1detdiag  22624  mdetdiag  22626  mdetralt  22635  mdettpos  22638  chpmatval2  22860  mdetpmtr1  33769