MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetleib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetleib 21952
Description: Full substitution of our determinant definition (also known as Leibniz' Formula, expanding by columns). Proposition 4.6 in [Lang] p. 514. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Oct-2015.) (Revised by SO, 9-Jul-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetfval.d ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
mdetfval.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
mdetfval.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
mdetfval.p ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
mdetfval.y ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
mdetfval.s ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
mdetfval.t ยท = (.rโ€˜๐‘…)
mdetfval.u ๐‘ˆ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
Assertion
Ref Expression
mdetleib (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘€   ๐‘,๐‘,๐‘ฅ   ๐‘…,๐‘,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘)   ๐ท(๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘†(๐‘ฅ,๐‘)   ยท (๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘ˆ(๐‘ฅ,๐‘)   ๐‘Œ(๐‘ฅ,๐‘)

Proof of Theorem mdetleib
Dummy variable ๐‘š is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq 7368 . . . . . . 7 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ) = ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))
21mpteq2dv 5212 . . . . . 6 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)) = (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))
32oveq2d 7378 . . . . 5 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))) = (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))))
43oveq2d 7378 . . . 4 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))) = (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))
54mpteq2dv 5212 . . 3 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ))))) = (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ))))))
65oveq2d 7378 . 2 (๐‘š = ๐‘€ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))))
7 mdetfval.d . . 3 ๐ท = (๐‘ maDet ๐‘…)
8 mdetfval.a . . 3 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
9 mdetfval.b . . 3 ๐ต = (Baseโ€˜๐ด)
10 mdetfval.p . . 3 ๐‘ƒ = (Baseโ€˜(SymGrpโ€˜๐‘))
11 mdetfval.y . . 3 ๐‘Œ = (โ„คRHomโ€˜๐‘…)
12 mdetfval.s . . 3 ๐‘† = (pmSgnโ€˜๐‘)
13 mdetfval.t . . 3 ยท = (.rโ€˜๐‘…)
14 mdetfval.u . . 3 ๐‘ˆ = (mulGrpโ€˜๐‘…)
157, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14mdetfval 21951 . 2 ๐ท = (๐‘š โˆˆ ๐ต โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘š๐‘ฅ)))))))
16 ovex 7395 . 2 (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))) โˆˆ V
176, 15, 16fvmpt 6953 1 (๐‘€ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐ทโ€˜๐‘€) = (๐‘… ฮฃg (๐‘ โˆˆ ๐‘ƒ โ†ฆ (((๐‘Œ โˆ˜ ๐‘†)โ€˜๐‘) ยท (๐‘ˆ ฮฃg (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘โ€˜๐‘ฅ)๐‘€๐‘ฅ)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ†ฆ cmpt 5193   โˆ˜ ccom 5642  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17090  .rcmulr 17141   ฮฃg cgsu 17329  SymGrpcsymg 19155  pmSgncpsgn 19278  mulGrpcmgp 19903  โ„คRHomczrh 20916   Mat cmat 21770   maDet cmdat 21949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-1cn 11116  ax-addcl 11118
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-nn 12161  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-mat 21771  df-mdet 21950
This theorem is referenced by:  mdetleib2  21953  m1detdiag  21962  mdetdiag  21964  mdetralt  21973  mdettpos  21976  chpmatval2  22198  mdetpmtr1  32444
  Copyright terms: Public domain W3C validator