MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetdiag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetdiag 22445
Description: The determinant of a diagonal matrix is the product of the entries in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetdiag ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetdiag
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1190 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑀𝐵)
2 mdetdiag.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3 mdetdiag.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 mdetdiag.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 eqid 2724 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2724 . . . . 5 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
7 eqid 2724 . . . . 5 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
8 eqid 2724 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9 mdetdiag.g . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mdetleib 22433 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))))))
111, 10syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))))))
12 simpl1 1188 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑅 ∈ CRing)
1312ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
141ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑀𝐵)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑝 = ( I ↾ 𝑁))
163, 4, 9, 6, 7, 8madetsumid 22307 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
18 iftrue 4527 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
1918eqcomd 2730 . . . . . . . 8 (𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
2019adantl 481 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
2117, 20eqtrd 2764 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
22 simplll 772 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵))
23 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
2423ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
25 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
26 neqne 2940 . . . . . . . . 9 𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁))
2725, 26anim12i 612 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁)))
28 mdetdiag.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
292, 3, 4, 9, 28, 5, 6, 7, 8mdetdiaglem 22444 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
3022, 24, 27, 29syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
31 iffalse 4530 . . . . . . . . 9 𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = 0 )
3231adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = 0 )
3332eqcomd 2730 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 0 = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
3430, 33eqtrd 2764 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
3521, 34pm2.61dan 810 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
3635mpteq2dva 5239 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 )))
3736oveq2d 7418 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))))
38 crngring 20146 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
39 ringmnd 20144 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
41403ad2ant1 1130 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
4241adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑅 ∈ Mnd)
43 fvexd 6897 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V)
44 eqid 2724 . . . . . . . 8 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
4544symgid 19317 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
46453ad2ant2 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
4744symggrp 19316 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
48473ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
49 eqid 2724 . . . . . . . 8 (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
505, 49grpidcl 18891 . . . . . . 7 ((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp → (0g‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5148, 50syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (0g‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5246, 51eqeltrd 2825 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → ( I ↾ 𝑁) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5352adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ( I ↾ 𝑁) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
54 eqid 2724 . . . 4 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 )) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
55 eqid 2724 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
569, 55mgpbas 20041 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
579crngmgp 20142 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
58573ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
5958adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
60 simpl2 1189 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑁 ∈ Fin)
61 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
624eleq2i 2817 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
6362biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
64633ad2ant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
6564ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
663, 55matecl 22271 . . . . . . 7 ((𝑘𝑁𝑘𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
6761, 61, 65, 66syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
6867ralrimiva 3138 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ∀𝑘𝑁 (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
6956, 59, 60, 68gsummptcl 19883 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
7028, 42, 43, 53, 54, 69gsummptif1n0 19882 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
7111, 37, 703eqtrd 2768 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐷𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
7271ex 412 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  wral 3053  Vcvv 3466  ifcif 4521  cmpt 5222   I cid 5564  cres 5669  ccom 5671  cfv 6534  (class class class)co 7402  Fincfn 8936  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  0gc0g 17390   Σg cgsu 17391  Mndcmnd 18663  Grpcgrp 18859  SymGrpcsymg 19282  pmSgncpsgn 19405  CMndccmn 19696  mulGrpcmgp 20035  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  ℤRHomczrh 21375   Mat cmat 22251   maDet cmdat 22430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-tp 4626  df-op 4628  df-ot 4630  df-uni 4901  df-int 4942  df-iun 4990  df-iin 4991  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-se 5623  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-isom 6543  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8142  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-er 8700  df-map 8819  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-rp 12976  df-fz 13486  df-fzo 13629  df-seq 13968  df-exp 14029  df-hash 14292  df-word 14467  df-lsw 14515  df-concat 14523  df-s1 14548  df-substr 14593  df-pfx 14623  df-splice 14702  df-reverse 14711  df-s2 14801  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18709  df-submnd 18710  df-efmnd 18790  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-mulg 18992  df-subg 19046  df-ghm 19135  df-gim 19180  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-symg 19283  df-pmtr 19358  df-psgn 19407  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-sra 21017  df-rgmod 21018  df-cnfld 21235  df-zring 21323  df-zrh 21379  df-dsmm 21616  df-frlm 21631  df-mat 22252  df-mdet 22431
This theorem is referenced by:  mdetdiagid  22446  chpdmat  22687
  Copyright terms: Public domain W3C validator