Theorem mdetdiag 22605

Description: The determinant of a diagonal matrix is the product of the entries in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetdiag	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetdiag

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		mdetdiag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3		mdetdiag.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		mdetdiag.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
7		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		mdetdiag.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mdetleib 22593	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))))))
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))))))
12		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑅 ∈ CRing)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
14	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑝 = ( I ↾ 𝑁))
16	3, 4, 9, 6, 7, 8	madetsumid 22467	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
18		iftrue 4531	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
19	18	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
21	17, 20	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
22		simplll 775	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
25		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
26		neqne 2948	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁))
27	25, 26	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁)))
28		mdetdiag.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	2, 3, 4, 9, 28, 5, 6, 7, 8	mdetdiaglem 22604	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
30	22, 24, 27, 29	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
31		iffalse 4534	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = 0 )
32	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = 0 )
33	32	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 0 = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
34	30, 33	eqtrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
35	21, 34	pm2.61dan 813	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
36	35	mpteq2dva 5242	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 )))
37	36	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))))
38		crngring 20242	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
39		ringmnd 20240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
41	40	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
42	41	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑅 ∈ Mnd)
43		fvexd 6921	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V)
44		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
45	44	symgid 19419	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
46	45	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
47	44	symggrp 19418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
48	47	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
49		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
50	5, 49	grpidcl 18983	. . . . . . 7 ⊢ ((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp → (0g‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
51	48, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
52	46, 51	eqeltrd 2841	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( I ↾ 𝑁) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
53	52	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ( I ↾ 𝑁) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
54		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 )) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
55		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
56	9, 55	mgpbas 20142	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
57	9	crngmgp 20238	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
58	57	3ad2ant1 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
60		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑁 ∈ Fin)
61		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
62	4	eleq2i 2833	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
63	62	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
64	63	3ad2ant3 1136	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
65	64	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
66	3, 55	matecl 22431	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
67	61, 61, 65, 66	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
68	67	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
69	56, 59, 60, 68	gsummptcl 19985	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
70	28, 42, 43, 53, 54, 69	gsummptif1n0 19984	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
71	11, 37, 70	3eqtrd 2781	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
72	71	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  Vcvv 3480  ifcif 4525   ↦ cmpt 5225   I cid 5577   ↾ cres 5687   ∘ ccom 5689  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Fincfn 8985  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Mndcmnd 18747  Grpcgrp 18951  SymGrpcsymg 19386  pmSgncpsgn 19507  CMndccmn 19798  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  ℤRHomczrh 21510   Mat cmat 22411   maDet cmdat 22590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1512  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-word 14553  df-lsw 14601  df-concat 14609  df-s1 14634  df-substr 14679  df-pfx 14709  df-splice 14788  df-reverse 14797  df-s2 14887  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-efmnd 18882  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-gim 19277  df-cntz 19335  df-oppg 19364  df-symg 19387  df-pmtr 19460  df-psgn 19509  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412  df-mdet 22591

This theorem is referenced by:  mdetdiagid  22606  chpdmat  22847