MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mdetdiag Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mdetdiag 22500
Description: The determinant of a diagonal matrix is the product of the entries in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mdetdiag.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
mdetdiag ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetdiag
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl3 1191 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑀𝐵)
2 mdetdiag.d . . . . 5 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3 mdetdiag.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4 mdetdiag.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐴)
5 eqid 2728 . . . . 5 (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6 eqid 2728 . . . . 5 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
7 eqid 2728 . . . . 5 (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
8 eqid 2728 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
9 mdetdiag.g . . . . 5 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9mdetleib 22488 . . . 4 (𝑀𝐵 → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))))))
111, 10syl 17 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐷𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))))))
12 simpl1 1189 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑅 ∈ CRing)
1312ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
141ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑀𝐵)
15 simpr 484 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑝 = ( I ↾ 𝑁))
163, 4, 9, 6, 7, 8madetsumid 22362 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀𝐵𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
1713, 14, 15, 16syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
18 iftrue 4535 . . . . . . . . 9 (𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
1918eqcomd 2734 . . . . . . . 8 (𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
2019adantl 481 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
2117, 20eqtrd 2768 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
22 simplll 774 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵))
23 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
2423ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
25 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
26 neqne 2945 . . . . . . . . 9 𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁))
2725, 26anim12i 612 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁)))
28 mdetdiag.0 . . . . . . . . 9 0 = (0g𝑅)
292, 3, 4, 9, 28, 5, 6, 7, 8mdetdiaglem 22499 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
3022, 24, 27, 29syl3anc 1369 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
31 iffalse 4538 . . . . . . . . 9 𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = 0 )
3231adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = 0 )
3332eqcomd 2734 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 0 = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
3430, 33eqtrd 2768 . . . . . 6 (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
3521, 34pm2.61dan 812 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
3635mpteq2dva 5248 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 )))
3736oveq2d 7436 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r𝑅)(𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ ((𝑝𝑘)𝑀𝑘)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))))
38 crngring 20184 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
39 ringmnd 20182 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
4038, 39syl 17 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
41403ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
4241adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑅 ∈ Mnd)
43 fvexd 6912 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V)
44 eqid 2728 . . . . . . . 8 (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
4544symgid 19355 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
46453ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
4744symggrp 19354 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
48473ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
49 eqid 2728 . . . . . . . 8 (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
505, 49grpidcl 18921 . . . . . . 7 ((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp → (0g‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5148, 50syl 17 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (0g‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5246, 51eqeltrd 2829 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → ( I ↾ 𝑁) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
5352adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ( I ↾ 𝑁) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
54 eqid 2728 . . . 4 (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 )) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
55 eqid 2728 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
569, 55mgpbas 20079 . . . . 5 (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
579crngmgp 20180 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
58573ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
5958adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
60 simpl2 1190 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑁 ∈ Fin)
61 simpr 484 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑘𝑁)
624eleq2i 2821 . . . . . . . . . 10 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
6362biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
64633ad2ant3 1133 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
6564ad2antrr 725 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
663, 55matecl 22326 . . . . . . 7 ((𝑘𝑁𝑘𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
6761, 61, 65, 66syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
6867ralrimiva 3143 . . . . 5 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ∀𝑘𝑁 (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
6956, 59, 60, 68gsummptcl 19921 . . . 4 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
7028, 42, 43, 53, 54, 69gsummptif1n0 19920 . . 3 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
7111, 37, 703eqtrd 2772 . 2 (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) ∧ ∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐷𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
7271ex 412 1 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀𝐵) → (∀𝑖𝑁𝑗𝑁 (𝑖𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2937  wral 3058  Vcvv 3471  ifcif 4529  cmpt 5231   I cid 5575  cres 5680  ccom 5682  cfv 6548  (class class class)co 7420  Fincfn 8963  Basecbs 17179  .rcmulr 17233  0gc0g 17420   Σg cgsu 17421  Mndcmnd 18693  Grpcgrp 18889  SymGrpcsymg 19320  pmSgncpsgn 19443  CMndccmn 19734  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  CRingccrg 20173  ℤRHomczrh 21424   Mat cmat 22306   maDet cmdat 22485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217  ax-mulf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1506  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-tpos 8231  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-er 8724  df-map 8846  df-ixp 8916  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-fin 8967  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-word 14497  df-lsw 14545  df-concat 14553  df-s1 14578  df-substr 14623  df-pfx 14653  df-splice 14732  df-reverse 14741  df-s2 14831  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-efmnd 18820  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-gim 19212  df-cntz 19267  df-oppg 19296  df-symg 19321  df-pmtr 19396  df-psgn 19445  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-dvr 20339  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-cnfld 21279  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-mat 22307  df-mdet 22486
This theorem is referenced by:  mdetdiagid  22501  chpdmat  22742
  Copyright terms: Public domain W3C validator