Theorem mdetdiag 22639

Description: The determinant of a diagonal matrix is the product of the entries in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetdiag	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetdiag

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1206	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		mdetdiag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3		mdetdiag.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		mdetdiag.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
7		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
8		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		mdetdiag.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mdetleib 22627	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))))))
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))))))
12		simpl1 1204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑅 ∈ CRing)
13	12	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
14	1	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
15		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑝 = ( I ↾ 𝑁))
16	3, 4, 9, 6, 7, 8	madetsumid 22501	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
18		iftrue 4485	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
19	18	eqcomd 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
20	19	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
21	17, 20	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
22		simplll 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
23		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
24	23	ad2antrr 736	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
25		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
26		neqne 2964	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁))
27	25, 26	anim12i 622	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁)))
28		mdetdiag.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	2, 3, 4, 9, 28, 5, 6, 7, 8	mdetdiaglem 22638	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
30	22, 24, 27, 29	syl3anc 1389	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
31		iffalse 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = 0 )
32	31	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = 0 )
33	32	eqcomd 2767	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 0 = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
34	30, 33	eqtrd 2796	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
35	21, 34	pm2.61dan 822	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
36	35	mpteq2dva 5192	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 )))
37	36	oveq2d 7408	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))))
38		crngring 20274	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
39		ringmnd 20272	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
41	40	3ad2ant1 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
42	41	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑅 ∈ Mnd)
43		fvexd 6878	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V)
44		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
45	44	symgid 19424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
46	45	3ad2ant2 1146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
47	44	symggrp 19423	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
48	47	3ad2ant2 1146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
49		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
50	5, 49	grpidcl 18990	. . . . . . 7 ⊢ ((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp → (0g‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
51	48, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
52	46, 51	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( I ↾ 𝑁) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
53	52	adantr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ( I ↾ 𝑁) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
54		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 )) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
55		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
56	9, 55	mgpbas 20174	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
57	9	crngmgp 20270	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
58	57	3ad2ant1 1145	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
59	58	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
60		simpl2 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑁 ∈ Fin)
61		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
62	4	eleq2i 2853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
63	62	biimpi 218	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
64	63	3ad2ant3 1147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
65	64	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
66	3, 55	matecl 22465	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
67	61, 61, 65, 66	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
68	67	ralrimiva 3153	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
69	56, 59, 60, 68	gsummptcl 19990	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
70	28, 42, 43, 53, 54, 69	gsummptif1n0 19989	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
71	11, 37, 70	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
72	71	ex 416	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3075  Vcvv 3453  ifcif 4479   ↦ cmpt 5180   I cid 5539   ↾ cres 5647   ∘ ccom 5649  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Fincfn 8923  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270  0_gc0g 17451   Σ_g cgsu 17452  Mndcmnd 18751  Grpcgrp 18958  SymGrpcsymg 19392  pmSgncpsgn 19512  CMndccmn 19803  mulGrpcmgp 20169  Ringcrg 20262  CRingccrg 20263  ℤRHomczrh 21531   Mat cmat 22447   maDet cmdat 22624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-addf 11149  ax-mulf 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-xor 1531  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-oi 9455  df-card 9894  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-rp 12991  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-seq 14012  df-exp 14072  df-hash 14341  df-word 14524  df-lsw 14573  df-concat 14581  df-s1 14607  df-substr 14652  df-pfx 14682  df-splice 14760  df-reverse 14769  df-s2 14858  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-prds 17459  df-pws 17461  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-mhm 18800  df-submnd 18801  df-efmnd 18886  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-mulg 19093  df-subg 19148  df-ghm 19237  df-gim 19282  df-cntz 19340  df-oppg 19369  df-symg 19393  df-pmtr 19465  df-psgn 19514  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-cring 20265  df-oppr 20365  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-rhm 20500  df-subrng 20575  df-subrg 20599  df-drng 20760  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-cnfld 21405  df-zring 21479  df-zrh 21535  df-dsmm 21764  df-frlm 21779  df-mat 22448  df-mdet 22625

This theorem is referenced by:  mdetdiagid  22640  chpdmat  22881