Theorem mdetdiag 22512

Description: The determinant of a diagonal matrix is the product of the entries in the diagonal. (Contributed by AV, 17-Aug-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mdetdiag.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
mdetdiag.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mdetdiag.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mdetdiag.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
mdetdiag.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mdetdiag	⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑘,𝐺   𝑖,𝑀,𝑗,𝑘   𝑖,𝑁,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   0 ,𝑖,𝑗,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗,𝑘)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝐷(𝑖,𝑗,𝑘)   𝑅(𝑖,𝑗)   𝐺(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mdetdiag

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑀 ∈ 𝐵)
2		mdetdiag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
3		mdetdiag.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4		mdetdiag.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
5		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) = (Base‘(SymGrp‘𝑁))
6		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
7		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (pmSgn‘𝑁) = (pmSgn‘𝑁)
8		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
9		mdetdiag.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
10	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9	mdetleib 22500	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))))))
11	1, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐷‘𝑀) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))))))
12		simpl1 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑅 ∈ CRing)
13	12	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑅 ∈ CRing)
14	1	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
15		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 𝑝 = ( I ↾ 𝑁))
16	3, 4, 9, 6, 7, 8	madetsumid 22374	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
17	13, 14, 15, 16	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
18		iftrue 4481	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
19	18	eqcomd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
20	19	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
21	17, 20	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
22		simplll 774	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵))
23		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
24	23	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ))
25		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
26		neqne 2936	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁))
27	25, 26	anim12i 613	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁)))
28		mdetdiag.0	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
29	2, 3, 4, 9, 28, 5, 6, 7, 8	mdetdiaglem 22511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) ∧ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∧ 𝑝 ≠ ( I ↾ 𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
30	22, 24, 27, 29	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = 0 )
31		iffalse 4484	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = 0 )
32	31	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ) = 0 )
33	32	eqcomd 2737	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → 0 = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
34	30, 33	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) ∧ ¬ 𝑝 = ( I ↾ 𝑁)) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
35	21, 34	pm2.61dan 812	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁))) → ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))) = if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
36	35	mpteq2dva 5184	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘))))) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 )))
37	36	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ ((((ℤRHom‘𝑅) ∘ (pmSgn‘𝑁))‘𝑝)(.r‘𝑅)(𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑝‘𝑘)𝑀𝑘)))))) = (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))))
38		crngring 20161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Ring)
39		ringmnd 20159	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Mnd)
40	38, 39	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝑅 ∈ Mnd)
41	40	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mnd)
42	41	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑅 ∈ Mnd)
43		fvexd 6837	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ V)
44		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (SymGrp‘𝑁) = (SymGrp‘𝑁)
45	44	symgid 19311	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
46	45	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( I ↾ 𝑁) = (0g‘(SymGrp‘𝑁)))
47	44	symggrp 19310	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ Fin → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
48	47	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (SymGrp‘𝑁) ∈ Grp)
49		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘(SymGrp‘𝑁)) = (0g‘(SymGrp‘𝑁))
50	5, 49	grpidcl 18875	. . . . . . 7 ⊢ ((SymGrp‘𝑁) ∈ Grp → (0g‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
51	48, 50	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (0g‘(SymGrp‘𝑁)) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
52	46, 51	eqeltrd 2831	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ( I ↾ 𝑁) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
53	52	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ( I ↾ 𝑁) ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)))
54		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 )) = (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))
55		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
56	9, 55	mgpbas 20061	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝐺)
57	9	crngmgp 20157	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
58	57	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐺 ∈ CMnd)
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝐺 ∈ CMnd)
60		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → 𝑁 ∈ Fin)
61		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑘 ∈ 𝑁)
62	4	eleq2i 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
63	62	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
64	63	3ad2ant3 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
65	64	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
66	3, 55	matecl 22338	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑘 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
67	61, 61, 65, 66	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) ∧ 𝑘 ∈ 𝑁) → (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
68	67	ralrimiva 3124	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → ∀𝑘 ∈ 𝑁 (𝑘𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
69	56, 59, 60, 68	gsummptcl 19877	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
70	28, 42, 43, 53, 54, 69	gsummptif1n0 19876	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝑅 Σg (𝑝 ∈ (Base‘(SymGrp‘𝑁)) ↦ if(𝑝 = ( I ↾ 𝑁), (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))), 0 ))) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
71	11, 37, 70	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ ∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 )) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘))))
72	71	ex 412	1 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (∀𝑖 ∈ 𝑁 ∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑖 ≠ 𝑗 → (𝑖𝑀𝑗) = 0 ) → (𝐷‘𝑀) = (𝐺 Σg (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑘𝑀𝑘)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436  ifcif 4475   ↦ cmpt 5172   I cid 5510   ↾ cres 5618   ∘ ccom 5620  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Fincfn 8869  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159  0_gc0g 17340   Σ_g cgsu 17341  Mndcmnd 18639  Grpcgrp 18843  SymGrpcsymg 19279  pmSgncpsgn 19399  CMndccmn 19690  mulGrpcmgp 20056  Ringcrg 20149  CRingccrg 20150  ℤRHomczrh 21434   Mat cmat 22320   maDet cmdat 22497

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080  ax-addf 11082  ax-mulf 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-xor 1513  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9829  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-div 11772  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-xnn0 12452  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-rp 12888  df-fz 13405  df-fzo 13552  df-seq 13906  df-exp 13966  df-hash 14235  df-word 14418  df-lsw 14467  df-concat 14475  df-s1 14501  df-substr 14546  df-pfx 14576  df-splice 14654  df-reverse 14663  df-s2 14752  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-starv 17173  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-unif 17181  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-gsum 17343  df-prds 17348  df-pws 17350  df-mre 17485  df-mrc 17486  df-acs 17488  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-mhm 18688  df-submnd 18689  df-efmnd 18774  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-mulg 18978  df-subg 19033  df-ghm 19123  df-gim 19169  df-cntz 19227  df-oppg 19256  df-symg 19280  df-pmtr 19352  df-psgn 19401  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-cring 20152  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-dvr 20317  df-rhm 20388  df-subrng 20459  df-subrg 20483  df-drng 20644  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-cnfld 21290  df-zring 21382  df-zrh 21438  df-dsmm 21667  df-frlm 21682  df-mat 22321  df-mdet 22498

This theorem is referenced by:  mdetdiagid  22513  chpdmat  22754