Theorem tmsms 23091

Description: The constructed metric space is a metric space given a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tmsbas.k	⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tmsms	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)

Proof of Theorem tmsms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 22938	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		tmsbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
3	2	tmsxms 23090	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
5	2	tmsds 23088	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
7	2	tmsbas 23087	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
8	1, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
9	8	fveq2d 6669	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝐾)))
10	6, 9	eleq12d 2907	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
11	10	ibi 269	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
12		ssid 3989	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
13		metres2 22967	. . 3 ⊢ (((dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
14	11, 12, 13	sylancl 588	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
15		eqid 2821	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
16		eqid 2821	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17		eqid 2821	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
18	15, 16, 17	isms 23053	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
19	4, 14, 18	sylanbrc 585	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3936   × cxp 5548   ↾ cres 5552  ‘cfv 6350  Basecbs 16477  distcds 16568  TopOpenctopn 16689  ∞Metcxmet 20524  Metcmet 20525  ∞MetSpcxms 22921  MetSpcms 22922  toMetSpctms 22923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-rep 5183  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-int 4870  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-xneg 12501  df-xadd 12502  df-xmul 12503  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-tset 16578  df-ds 16581  df-rest 16690  df-topn 16691  df-topgen 16711  df-psmet 20531  df-xmet 20532  df-met 20533  df-bl 20534  df-mopn 20535  df-top 21496  df-topon 21513  df-topsp 21535  df-bases 21548  df-xms 22924  df-ms 22925  df-tms 22926

This theorem is referenced by: (None)