Theorem tmsms 24786

Description: The constructed metric space is a metric space given a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tmsbas.k	⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tmsms	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)

Proof of Theorem tmsms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 24633	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		tmsbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
3	2	tmsxms 24785	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
4	1, 3	syl 18	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
5	2	tmsds 24783	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
6	1, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
7	2	tmsbas 24782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
8	1, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
9	8	fveq2d 6881	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝐾)))
10	6, 9	eleq12d 2855	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
11	10	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
12		ssid 3953	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
13		metres2 24662	. . 3 ⊢ (((dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
14	11, 12, 13	sylancl 598	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
15		eqid 2761	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
16		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17		eqid 2761	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
18	15, 16, 17	isms 24748	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
19	4, 14, 18	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6531  Basecbs 17367  distcds 17417  TopOpenctopn 17572  ∞Metcxmet 21643  Metcmet 21644  ∞MetSpcxms 24616  MetSpcms 24617  toMetSpctms 24618

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-7 12391  df-8 12392  df-9 12393  df-n0 12588  df-z 12675  df-dec 12796  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-xneg 13222  df-xadd 13223  df-xmul 13224  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-tset 17427  df-ds 17430  df-rest 17573  df-topn 17574  df-topgen 17594  df-psmet 21650  df-xmet 21651  df-met 21652  df-bl 21653  df-mopn 21654  df-top 23192  df-topon 23209  df-topsp 23231  df-bases 23244  df-xms 24619  df-ms 24620  df-tms 24621

This theorem is used by: (None)