Theorem tmsms 23643

Description: The constructed metric space is a metric space given a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tmsbas.k	⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tmsms	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)

Proof of Theorem tmsms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 23487	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		tmsbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
3	2	tmsxms 23642	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
5	2	tmsds 23640	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
7	2	tmsbas 23639	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
8	1, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
9	8	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝐾)))
10	6, 9	eleq12d 2833	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
11	10	ibi 266	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
12		ssid 3943	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
13		metres2 23516	. . 3 ⊢ (((dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
14	11, 12, 13	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
15		eqid 2738	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
16		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
18	15, 16, 17	isms 23602	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
19	4, 14, 18	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   × cxp 5587   ↾ cres 5591  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  distcds 16971  TopOpenctopn 17132  ∞Metcxmet 20582  Metcmet 20583  ∞MetSpcxms 23470  MetSpcms 23471  toMetSpctms 23472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-tset 16981  df-ds 16984  df-rest 17133  df-topn 17134  df-topgen 17154  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475

This theorem is referenced by: (None)