Theorem tmsms 23202

Description: The constructed metric space is a metric space given a metric. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tmsbas.k	⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
tmsms	⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)

Proof of Theorem tmsms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metxmet 23049	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
2		tmsbas.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (toMetSp‘𝐷)
3	2	tmsxms 23201	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
4	1, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ ∞MetSp)
5	2	tmsds 23199	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
6	1, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐷 = (dist‘𝐾))
7	2	tmsbas 23198	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
8	1, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝑋 = (Base‘𝐾))
9	8	fveq2d 6667	. . . . 5 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (Met‘𝑋) = (Met‘(Base‘𝐾)))
10	6, 9	eleq12d 2846	. . . 4 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) ↔ (dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
11	10	ibi 270	. . 3 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → (dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
12		ssid 3916	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)
13		metres2 23078	. . 3 ⊢ (((dist‘𝐾) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)) ∧ (Base‘𝐾) ⊆ (Base‘𝐾)) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
14	11, 12, 13	sylancl 589	. 2 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾)))
15		eqid 2758	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝐾) = (TopOpen‘𝐾)
16		eqid 2758	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
17		eqid 2758	. . 3 ⊢ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) = ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾)))
18	15, 16, 17	isms 23164	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ MetSp ↔ (𝐾 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝐾) ↾ ((Base‘𝐾) × (Base‘𝐾))) ∈ (Met‘(Base‘𝐾))))
19	4, 14, 18	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝐷 ∈ (Met‘𝑋) → 𝐾 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860   × cxp 5526   ↾ cres 5530  ‘cfv 6340  Basecbs 16554  distcds 16645  TopOpenctopn 16766  ∞Metcxmet 20164  Metcmet 20165  ∞MetSpcxms 23032  MetSpcms 23033  toMetSpctms 23034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-sup 8952  df-inf 8953  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-q 12402  df-rp 12444  df-xneg 12561  df-xadd 12562  df-xmul 12563  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-tset 16655  df-ds 16658  df-rest 16767  df-topn 16768  df-topgen 16788  df-psmet 20171  df-xmet 20172  df-met 20173  df-bl 20174  df-mopn 20175  df-top 21607  df-topon 21624  df-topsp 21646  df-bases 21659  df-xms 23035  df-ms 23036  df-tms 23037

This theorem is referenced by: (None)