Theorem imasf1oms 24451

Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasf1obl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasf1obl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasf1oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ MetSp)

Assertion

Ref	Expression
imasf1oms	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)

Proof of Theorem imasf1oms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasf1obl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasf1obl.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasf1obl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
4		imasf1oms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ MetSp)
5		msxms 24415	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
7	1, 2, 3, 6	imasf1oxms 24450	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
12	10, 11	msmet 24418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
13	4, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
14	2	sqxpeqd 5666	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
15	14	reseq2d 5948	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
16	2	fveq2d 6848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝑉) = (Met‘(Base‘𝑅)))
17	13, 15, 16	3eltr4d 2852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Met‘𝑉))
18	1, 2, 3, 4, 8, 9, 17	imasf1omet 24337	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘𝐵))
19		f1ofo 6791	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
21	1, 2, 20, 4	imasbas 17447	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
22	21	fveq2d 6848	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘𝑈)))
23	18, 22	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
24		ssid 3958	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)
25		metres2 24324	. . 3 ⊢ (((dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)) → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
26	23, 24, 25	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
27		eqid 2737	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
28		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) = ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈)))
30	27, 28, 29	isms 24410	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp ↔ (𝑈 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈))))
31	7, 26, 30	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   × cxp 5632   ↾ cres 5636  –onto→wfo 6500  –1-1-onto→wf1o 6501  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  distcds 17200  TopOpenctopn 17355   “_s cimas 17439  Metcmet 21312  ∞MetSpcxms 24278  MetSpcms 24279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-se 5588  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-isom 6511  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-of 7634  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-supp 8115  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-1o 8409  df-2o 8410  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-fin 8901  df-fsupp 9279  df-sup 9359  df-inf 9360  df-oi 9429  df-card 9865  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-4 12224  df-5 12225  df-6 12226  df-7 12227  df-8 12228  df-9 12229  df-n0 12416  df-z 12503  df-dec 12622  df-uz 12766  df-q 12876  df-rp 12920  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-fz 13438  df-fzo 13585  df-seq 13939  df-hash 14268  df-struct 17088  df-sets 17105  df-slot 17123  df-ndx 17135  df-base 17151  df-ress 17172  df-plusg 17204  df-mulr 17205  df-sca 17207  df-vsca 17208  df-ip 17209  df-tset 17210  df-ple 17211  df-ds 17213  df-rest 17356  df-topn 17357  df-0g 17375  df-gsum 17376  df-topgen 17377  df-xrs 17437  df-qtop 17442  df-imas 17443  df-mre 17519  df-mrc 17520  df-acs 17522  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-submnd 18723  df-mulg 19015  df-cntz 19263  df-cmn 19728  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-top 22855  df-topon 22872  df-topsp 22894  df-bases 22907  df-xms 24281  df-ms 24282

This theorem is referenced by:  xpsms  24496