MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1oms 22703
Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1obl.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1oms.r (𝜑𝑅 ∈ MetSp)
Assertion
Ref Expression
imasf1oms (𝜑𝑈 ∈ MetSp)

Proof of Theorem imasf1oms
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasf1obl.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasf1obl.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
4 imasf1oms.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ MetSp)
5 msxms 22667 . . . 4 (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ∞MetSp)
71, 2, 3, 6imasf1oxms 22702 . 2 (𝜑𝑈 ∈ ∞MetSp)
8 eqid 2777 . . . . 5 ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
9 eqid 2777 . . . . 5 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
10 eqid 2777 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2777 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
1210, 11msmet 22670 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
134, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
142sqxpeqd 5387 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
1514reseq2d 5642 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
162fveq2d 6450 . . . . . 6 (𝜑 → (Met‘𝑉) = (Met‘(Base‘𝑅)))
1713, 15, 163eltr4d 2873 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Met‘𝑉))
181, 2, 3, 4, 8, 9, 17imasf1omet 22589 . . . 4 (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘𝐵))
19 f1ofo 6398 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
203, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
211, 2, 20, 4imasbas 16558 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑈))
2221fveq2d 6450 . . . 4 (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘𝑈)))
2318, 22eleqtrd 2860 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
24 ssid 3841 . . 3 (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)
25 metres2 22576 . . 3 (((dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)) → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
2623, 24, 25sylancl 580 . 2 (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
27 eqid 2777 . . 3 (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
28 eqid 2777 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29 eqid 2777 . . 3 ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) = ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈)))
3027, 28, 29isms 22662 . 2 (𝑈 ∈ MetSp ↔ (𝑈 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈))))
317, 26, 30sylanbrc 578 1 (𝜑𝑈 ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1601  wcel 2106  wss 3791   × cxp 5353  cres 5357  ontowfo 6133  1-1-ontowf1o 6134  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  distcds 16347  TopOpenctopn 16468  s cimas 16550  Metcmet 20128  ∞MetSpcxms 22530  MetSpcms 22531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-pss 3807  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-hash 13436  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-xrs 16548  df-qtop 16553  df-imas 16554  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-mulg 17928  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-xms 22533  df-ms 22534
This theorem is referenced by:  xpsms  22748
  Copyright terms: Public domain W3C validator