Theorem imasf1oms 24552

Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasf1obl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasf1obl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasf1oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ MetSp)

Assertion

Ref	Expression
imasf1oms	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)

Proof of Theorem imasf1oms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasf1obl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasf1obl.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasf1obl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
4		imasf1oms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ MetSp)
5		msxms 24516	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
7	1, 2, 3, 6	imasf1oxms 24551	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
8		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
9		eqid 2764	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
10		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2764	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
12	10, 11	msmet 24519	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
13	4, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
14	2	sqxpeqd 5681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
15	14	reseq2d 5967	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
16	2	fveq2d 6873	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝑉) = (Met‘(Base‘𝑅)))
17	13, 15, 16	3eltr4d 2879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Met‘𝑉))
18	1, 2, 3, 4, 8, 9, 17	imasf1omet 24438	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘𝐵))
19		f1ofo 6816	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
21	1, 2, 20, 4	imasbas 17544	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
22	21	fveq2d 6873	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘𝑈)))
23	18, 22	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
24		ssid 3960	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)
25		metres2 24425	. . 3 ⊢ (((dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)) → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
26	23, 24, 25	sylancl 595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
27		eqid 2764	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
28		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29		eqid 2764	. . 3 ⊢ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) = ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈)))
30	27, 28, 29	isms 24511	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp ↔ (𝑈 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈))))
31	7, 26, 30	sylanbrc 592	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906   × cxp 5647   ↾ cres 5651  –onto→wfo 6521  –1-1-onto→wf1o 6522  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  distcds 17297  TopOpenctopn 17452   “_s cimas 17536  Metcmet 21412  ∞MetSpcxms 24379  MetSpcms 24380

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8143  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-seq 14017  df-hash 14346  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-ress 17269  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-rest 17453  df-topn 17454  df-0g 17472  df-gsum 17473  df-topgen 17474  df-xrs 17534  df-qtop 17539  df-imas 17540  df-mre 17616  df-mrc 17617  df-acs 17619  df-mgm 18676  df-sgrp 18755  df-mnd 18771  df-submnd 18820  df-mulg 19112  df-cntz 19359  df-cmn 19824  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-top 22956  df-topon 22973  df-topsp 22995  df-bases 23008  df-xms 24382  df-ms 24383

This theorem is referenced by:  xpsms  24597