Theorem imasf1oms 24447

Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasf1obl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasf1obl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasf1oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ MetSp)

Assertion

Ref	Expression
imasf1oms	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)

Proof of Theorem imasf1oms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasf1obl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasf1obl.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasf1obl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
4		imasf1oms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ MetSp)
5		msxms 24409	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
7	1, 2, 3, 6	imasf1oxms 24446	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
8		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
9		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
10		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
12	10, 11	msmet 24412	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
13	4, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
14	2	sqxpeqd 5697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
15	14	reseq2d 5977	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
16	2	fveq2d 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝑉) = (Met‘(Base‘𝑅)))
17	13, 15, 16	3eltr4d 2848	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Met‘𝑉))
18	1, 2, 3, 4, 8, 9, 17	imasf1omet 24331	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘𝐵))
19		f1ofo 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
21	1, 2, 20, 4	imasbas 17528	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
22	21	fveq2d 6890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘𝑈)))
23	18, 22	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
24		ssid 3986	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)
25		metres2 24318	. . 3 ⊢ (((dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)) → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
26	23, 24, 25	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
27		eqid 2734	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
28		eqid 2734	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29		eqid 2734	. . 3 ⊢ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) = ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈)))
30	27, 28, 29	isms 24404	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp ↔ (𝑈 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈))))
31	7, 26, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3931   × cxp 5663   ↾ cres 5667  –onto→wfo 6539  –1-1-onto→wf1o 6540  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229  distcds 17282  TopOpenctopn 17437   “_s cimas 17520  Metcmet 21312  ∞MetSpcxms 24272  MetSpcms 24273

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-pre-sup 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-supp 8168  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-fsupp 9384  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9532  df-card 9961  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11903  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12510  df-z 12597  df-dec 12717  df-uz 12861  df-q 12973  df-rp 13017  df-xneg 13136  df-xadd 13137  df-xmul 13138  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14352  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-ip 17291  df-tset 17292  df-ple 17293  df-ds 17295  df-rest 17438  df-topn 17439  df-0g 17457  df-gsum 17458  df-topgen 17459  df-xrs 17518  df-qtop 17523  df-imas 17524  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-mulg 19055  df-cntz 19304  df-cmn 19768  df-psmet 21318  df-xmet 21319  df-met 21320  df-bl 21321  df-mopn 21322  df-top 22848  df-topon 22865  df-topsp 22887  df-bases 22900  df-xms 24275  df-ms 24276

This theorem is referenced by:  xpsms  24492