Theorem imasf1oms 24439

Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasf1obl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasf1obl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasf1oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ MetSp)

Assertion

Ref	Expression
imasf1oms	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)

Proof of Theorem imasf1oms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasf1obl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasf1obl.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasf1obl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
4		imasf1oms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ MetSp)
5		msxms 24403	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
7	1, 2, 3, 6	imasf1oxms 24438	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
8		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
10		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
12	10, 11	msmet 24406	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
13	4, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
14	2	sqxpeqd 5657	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
15	14	reseq2d 5939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
16	2	fveq2d 6839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝑉) = (Met‘(Base‘𝑅)))
17	13, 15, 16	3eltr4d 2852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Met‘𝑉))
18	1, 2, 3, 4, 8, 9, 17	imasf1omet 24325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘𝐵))
19		f1ofo 6782	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
21	1, 2, 20, 4	imasbas 17438	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
22	21	fveq2d 6839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘𝑈)))
23	18, 22	eleqtrd 2839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
24		ssid 3957	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)
25		metres2 24312	. . 3 ⊢ (((dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)) → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
26	23, 24, 25	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
27		eqid 2737	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
28		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29		eqid 2737	. . 3 ⊢ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) = ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈)))
30	27, 28, 29	isms 24398	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp ↔ (𝑈 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈))))
31	7, 26, 30	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902   × cxp 5623   ↾ cres 5627  –onto→wfo 6491  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  Basecbs 17141  distcds 17191  TopOpenctopn 17346   “_s cimas 17430  Metcmet 21300  ∞MetSpcxms 24266  MetSpcms 24267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8106  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-fsupp 9270  df-sup 9350  df-inf 9351  df-oi 9420  df-card 9856  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-9 12220  df-n0 12407  df-z 12494  df-dec 12613  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-xneg 13031  df-xadd 13032  df-xmul 13033  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-seq 13930  df-hash 14259  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-ress 17163  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-tset 17201  df-ple 17202  df-ds 17204  df-rest 17347  df-topn 17348  df-0g 17366  df-gsum 17367  df-topgen 17368  df-xrs 17428  df-qtop 17433  df-imas 17434  df-mre 17510  df-mrc 17511  df-acs 17513  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18714  df-mulg 19003  df-cntz 19251  df-cmn 19716  df-psmet 21306  df-xmet 21307  df-met 21308  df-bl 21309  df-mopn 21310  df-top 22843  df-topon 22860  df-topsp 22882  df-bases 22895  df-xms 24269  df-ms 24270

This theorem is referenced by:  xpsms  24484