Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasf1oms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem imasf1oms 23138
 Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasf1obl.u (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
imasf1obl.v (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
imasf1oms.r (𝜑𝑅 ∈ MetSp)
Assertion
Ref Expression
imasf1oms (𝜑𝑈 ∈ MetSp)

Proof of Theorem imasf1oms
StepHypRef Expression
1 imasf1obl.u . . 3 (𝜑𝑈 = (𝐹s 𝑅))
2 imasf1obl.v . . 3 (𝜑𝑉 = (Base‘𝑅))
3 imasf1obl.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑉1-1-onto𝐵)
4 imasf1oms.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ MetSp)
5 msxms 23102 . . . 4 (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ ∞MetSp)
71, 2, 3, 6imasf1oxms 23137 . 2 (𝜑𝑈 ∈ ∞MetSp)
8 eqid 2798 . . . . 5 ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
9 eqid 2798 . . . . 5 (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
10 eqid 2798 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11 eqid 2798 . . . . . . . 8 ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
1210, 11msmet 23105 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
134, 12syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
142sqxpeqd 5555 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
1514reseq2d 5822 . . . . . 6 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
162fveq2d 6659 . . . . . 6 (𝜑 → (Met‘𝑉) = (Met‘(Base‘𝑅)))
1713, 15, 163eltr4d 2905 . . . . 5 (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Met‘𝑉))
181, 2, 3, 4, 8, 9, 17imasf1omet 23024 . . . 4 (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘𝐵))
19 f1ofo 6606 . . . . . . 7 (𝐹:𝑉1-1-onto𝐵𝐹:𝑉onto𝐵)
203, 19syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐹:𝑉onto𝐵)
211, 2, 20, 4imasbas 16797 . . . . 5 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑈))
2221fveq2d 6659 . . . 4 (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘𝑈)))
2318, 22eleqtrd 2892 . . 3 (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
24 ssid 3939 . . 3 (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)
25 metres2 23011 . . 3 (((dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)) → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
2623, 24, 25sylancl 589 . 2 (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
27 eqid 2798 . . 3 (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
28 eqid 2798 . . 3 (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29 eqid 2798 . . 3 ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) = ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈)))
3027, 28, 29isms 23097 . 2 (𝑈 ∈ MetSp ↔ (𝑈 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈))))
317, 26, 30sylanbrc 586 1 (𝜑𝑈 ∈ MetSp)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3883   × cxp 5521   ↾ cres 5525  –onto→wfo 6330  –1-1-onto→wf1o 6331  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  Basecbs 16495  distcds 16586  TopOpenctopn 16707   “s cimas 16789  Metcmet 20098  ∞MetSpcxms 22965  MetSpcms 22966 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5158  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621  ax-pre-sup 10622 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-int 4843  df-iun 4887  df-iin 4888  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-isom 6341  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7400  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-supp 7827  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-1o 8103  df-oadd 8107  df-er 8290  df-map 8409  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-fin 8514  df-fsupp 8836  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-div 11305  df-nn 11644  df-2 11706  df-3 11707  df-4 11708  df-5 11709  df-6 11710  df-7 11711  df-8 11712  df-9 11713  df-n0 11904  df-z 11990  df-dec 12107  df-uz 12252  df-q 12357  df-rp 12398  df-xneg 12515  df-xadd 12516  df-xmul 12517  df-fz 12906  df-fzo 13049  df-seq 13385  df-hash 13707  df-struct 16497  df-ndx 16498  df-slot 16499  df-base 16501  df-sets 16502  df-ress 16503  df-plusg 16590  df-mulr 16591  df-sca 16593  df-vsca 16594  df-ip 16595  df-tset 16596  df-ple 16597  df-ds 16599  df-rest 16708  df-topn 16709  df-0g 16727  df-gsum 16728  df-topgen 16729  df-xrs 16787  df-qtop 16792  df-imas 16793  df-mre 16869  df-mrc 16870  df-acs 16872  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-submnd 17969  df-mulg 18238  df-cntz 18460  df-cmn 18921  df-psmet 20104  df-xmet 20105  df-met 20106  df-bl 20107  df-mopn 20108  df-top 21540  df-topon 21557  df-topsp 21579  df-bases 21592  df-xms 22968  df-ms 22969 This theorem is referenced by:  xpsms  23183
 Copyright terms: Public domain W3C validator