Theorem imasf1oms 23646

Description: The image of a metric space is a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasf1obl.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
imasf1obl.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
imasf1obl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
imasf1oms.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ MetSp)

Assertion

Ref	Expression
imasf1oms	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)

Proof of Theorem imasf1oms

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasf1obl.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝐹 “s 𝑅))
2		imasf1obl.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
3		imasf1obl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵)
4		imasf1oms.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ MetSp)
5		msxms 23607	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ∞MetSp)
7	1, 2, 3, 6	imasf1oxms 23645	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ∞MetSp)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉))
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (dist‘𝑈) = (dist‘𝑈)
10		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
12	10, 11	msmet 23610	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ MetSp → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
13	4, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))) ∈ (Met‘(Base‘𝑅)))
14	2	sqxpeqd 5621	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑉 × 𝑉) = ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅)))
15	14	reseq2d 5891	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) = ((dist‘𝑅) ↾ ((Base‘𝑅) × (Base‘𝑅))))
16	2	fveq2d 6778	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝑉) = (Met‘(Base‘𝑅)))
17	13, 15, 16	3eltr4d 2854	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑅) ↾ (𝑉 × 𝑉)) ∈ (Met‘𝑉))
18	1, 2, 3, 4, 8, 9, 17	imasf1omet 23529	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘𝐵))
19		f1ofo 6723	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹:𝑉–1-1-onto→𝐵 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
20	3, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑉–onto→𝐵)
21	1, 2, 20, 4	imasbas 17223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑈))
22	21	fveq2d 6778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Met‘𝐵) = (Met‘(Base‘𝑈)))
23	18, 22	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → (dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
24		ssid 3943	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)
25		metres2 23516	. . 3 ⊢ (((dist‘𝑈) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)) ∧ (Base‘𝑈) ⊆ (Base‘𝑈)) → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
26	23, 24, 25	sylancl 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈)))
27		eqid 2738	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑈) = (TopOpen‘𝑈)
28		eqid 2738	. . 3 ⊢ (Base‘𝑈) = (Base‘𝑈)
29		eqid 2738	. . 3 ⊢ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) = ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈)))
30	27, 28, 29	isms 23602	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ MetSp ↔ (𝑈 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑈) ↾ ((Base‘𝑈) × (Base‘𝑈))) ∈ (Met‘(Base‘𝑈))))
31	7, 26, 30	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   × cxp 5587   ↾ cres 5591  –onto→wfo 6431  –1-1-onto→wf1o 6432  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  distcds 16971  TopOpenctopn 17132   “_s cimas 17215  Metcmet 20583  ∞MetSpcxms 23470  MetSpcms 23471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-seq 13722  df-hash 14045  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-xms 23473  df-ms 23474

This theorem is referenced by:  xpsms  23691