Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccbnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iccbnd 36696
Description: A closed interval in ℝ is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1 𝐽 = (𝐴[,]𝐡)
iccbnd.2 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))
Assertion
Ref Expression
iccbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π½))
Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))
2 cnmet 24279 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
3 iccbnd.1 . . . . . 6 𝐽 = (𝐴[,]𝐡)
4 iccssre 13402 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
53, 4eqsstrid 4029 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐽 βŠ† ℝ)
6 ax-resscn 11163 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstrdi 3993 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐽 βŠ† β„‚)
8 metres2 23860 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽)) ∈ (Metβ€˜π½))
92, 7, 8sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽)) ∈ (Metβ€˜π½))
101, 9eqeltrid 2837 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π½))
11 resubcl 11520 . . . 4 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
1211ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
131oveqi 7418 . . . . . . 7 (π‘₯𝑀𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))𝑦)
14 ovres 7569 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))𝑦) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦))
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))𝑦) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦))
1613, 15eqtrid 2784 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦))
177sselda 3981 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
187sselda 3981 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1917, 18anim12dan 619 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚))
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2120cnmetdval 24278 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
2316, 22eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
24 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
2524, 3eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
26 elicc2 13385 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
2825, 27mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
2928simp1d 1142 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3012adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
31 resubcl 11520 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
3229, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
33 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
34 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
3534, 3eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
36 elicc2 13385 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
3736adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
3835, 37mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
3938simp1d 1142 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
40 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4128simp3d 1144 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4229, 40, 33, 41lesub1dd 11826 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
4329, 33, 30, 42subled 11813 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ≀ 𝐴)
4438simp2d 1143 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
4532, 33, 39, 43, 44letrd 11367 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ≀ π‘₯)
4629, 30readdcld 11239 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
4738simp3d 1144 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
4828simp2d 1143 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
4933, 29, 40, 48lesub2dd 11827 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5040, 29, 30lesubadd2d 11809 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ↔ 𝐡 ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐡 ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5239, 40, 46, 47, 51letrd 11367 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5339, 29, 30absdifled 15377 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ↔ ((𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
5445, 52, 53mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5523, 54eqbrtrd 5169 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5655ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
57 breq2 5151 . . . . 5 (π‘Ÿ = (𝐡 βˆ’ 𝐴) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ ↔ (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
58572ralbidv 3218 . . . 4 (π‘Ÿ = (𝐡 βˆ’ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5958rspcev 3612 . . 3 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ)
6012, 56, 59syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ)
61 isbnd3b 36641 . 2 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π½) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π½) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ))
6210, 60, 61sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3947   class class class wbr 5147   Γ— cxp 5673   β†Ύ cres 5677   ∘ ccom 5679  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105   + caddc 11109   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  [,]cicc 13323  abscabs 15177  Metcmet 20922  Bndcbnd 36623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-ec 8701  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-icc 13327  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-bnd 36635
This theorem is referenced by:  icccmpALT  36697
  Copyright terms: Public domain W3C validator