Theorem iccbnd 38214

Description: A closed interval in ℝ is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccbnd.1	⊢ 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
iccbnd.2	⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
iccbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))

Proof of Theorem iccbnd

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccbnd.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
2		cnmet 24761	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3		iccbnd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
4		iccssre 13380	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5	3, 4	eqsstrid 3960	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℝ)
6		ax-resscn 11093	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstrdi 3934	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℂ)
8		metres2 24353	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐽 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
9	2, 7, 8	sylancr 593	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
10	1, 9	eqeltrid 2844	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝐽))
11		resubcl 11456	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 459	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	1	oveqi 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦)
14		ovres 7529	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
16	13, 15	eqtrid 2787	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
17	7	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	7	sselda 3922	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	17, 18	anim12dan 625	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
20		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
21	20	cnmetdval 24760	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
22	19, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
23	16, 22	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
24		simprr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
25	24, 3	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		elicc2 13362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
28	25, 27	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
29	28	simp1d 1148	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	12	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
31		resubcl 11456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	syl2anc 590	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
33		simpll 772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34		simprl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
35	34, 3	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36		elicc2 13362	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
39	38	simp1d 1148	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40		simplr 774	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
41	28	simp3d 1150	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
42	29, 40, 33, 41	lesub1dd 11764	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐴))
43	29, 33, 30, 42	subled 11751	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ≤ 𝐴)
44	38	simp2d 1149	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
45	32, 33, 39, 43, 44	letrd 11301	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ≤ 𝑥)
46	29, 30	readdcld 11172	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
47	38	simp3d 1150	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
48	28	simp2d 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
49	33, 29, 40, 48	lesub2dd 11765	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝐵 − 𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴))
50	40, 29, 30	lesubadd2d 11747	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((𝐵 − 𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴))))
51	49, 50	mpbid 233	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)))
52	39, 40, 46, 47, 51	letrd 11301	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)))
53	39, 29, 30	absdifled 15397	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ ((𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)))))
54	45, 52, 53	mpbir2and 719	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ (𝐵 − 𝐴))
55	23, 54	eqbrtrd 5101	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴))
56	55	ralrimivva 3183	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴))
57		breq2 5083	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝐵 − 𝐴) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
58	57	2ralbidv 3204	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝐵 − 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
59	58	rspcev 3567	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
60	12, 56, 59	syl2anc 590	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
61		isbnd3b 38159	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝐽) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
62	10, 60, 61	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3890   class class class wbr 5079   × cxp 5623   ↾ cres 5627   ∘ ccom 5629  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℝcr 11035   + caddc 11039   ≤ cle 11178   − cmin 11375  [,]cicc 13299  abscabs 15194  Metcmet 21340  Bndcbnd 38141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-ec 8642  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9352  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-icc 13303  df-seq 13962  df-exp 14022  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-bnd 38153

This theorem is referenced by:  icccmpALT  38215