Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccbnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iccbnd 36708
Description: A closed interval in ℝ is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1 𝐽 = (𝐴[,]𝐡)
iccbnd.2 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))
Assertion
Ref Expression
iccbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π½))
Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))
2 cnmet 24288 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
3 iccbnd.1 . . . . . 6 𝐽 = (𝐴[,]𝐡)
4 iccssre 13406 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
53, 4eqsstrid 4031 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐽 βŠ† ℝ)
6 ax-resscn 11167 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstrdi 3995 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐽 βŠ† β„‚)
8 metres2 23869 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽)) ∈ (Metβ€˜π½))
92, 7, 8sylancr 588 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽)) ∈ (Metβ€˜π½))
101, 9eqeltrid 2838 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π½))
11 resubcl 11524 . . . 4 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
1211ancoms 460 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
131oveqi 7422 . . . . . . 7 (π‘₯𝑀𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))𝑦)
14 ovres 7573 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))𝑦) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦))
1514adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))𝑦) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦))
1613, 15eqtrid 2785 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦))
177sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
187sselda 3983 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1917, 18anim12dan 620 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚))
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2120cnmetdval 24287 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
2316, 22eqtrd 2773 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
24 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
2524, 3eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
26 elicc2 13389 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
2726adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
2825, 27mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
2928simp1d 1143 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3012adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
31 resubcl 11524 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
3229, 30, 31syl2anc 585 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
33 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
34 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
3534, 3eleqtrdi 2844 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
36 elicc2 13389 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
3736adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
3835, 37mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
3938simp1d 1143 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
40 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4128simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4229, 40, 33, 41lesub1dd 11830 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
4329, 33, 30, 42subled 11817 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ≀ 𝐴)
4438simp2d 1144 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
4532, 33, 39, 43, 44letrd 11371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ≀ π‘₯)
4629, 30readdcld 11243 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
4738simp3d 1145 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
4828simp2d 1144 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
4933, 29, 40, 48lesub2dd 11831 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5040, 29, 30lesubadd2d 11813 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ↔ 𝐡 ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐡 ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5239, 40, 46, 47, 51letrd 11371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5339, 29, 30absdifled 15381 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ↔ ((𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
5445, 52, 53mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5523, 54eqbrtrd 5171 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5655ralrimivva 3201 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
57 breq2 5153 . . . . 5 (π‘Ÿ = (𝐡 βˆ’ 𝐴) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ ↔ (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
58572ralbidv 3219 . . . 4 (π‘Ÿ = (𝐡 βˆ’ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5958rspcev 3613 . . 3 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ)
6012, 56, 59syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ)
61 isbnd3b 36653 . 2 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π½) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π½) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ))
6210, 60, 61sylanbrc 584 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„‚cc 11108  β„cr 11109   + caddc 11113   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  [,]cicc 13327  abscabs 15181  Metcmet 20930  Bndcbnd 36635
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-ec 8705  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-icc 13331  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-bnd 36647
This theorem is referenced by:  icccmpALT  36709
  Copyright terms: Public domain W3C validator