Theorem iccbnd 37800

Description: A closed interval in ℝ is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccbnd.1	⊢ 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
iccbnd.2	⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))

Assertion

Ref	Expression
iccbnd	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))

Proof of Theorem iccbnd

Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccbnd.2	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
2		cnmet 24813	. . . 4 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3		iccbnd.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
4		iccssre 13489	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
5	3, 4	eqsstrid 4057	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℝ)
6		ax-resscn 11241	. . . . 5 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
7	5, 6	sstrdi 4021	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℂ)
8		metres2 24394	. . . 4 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐽 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
9	2, 7, 8	sylancr 586	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
10	1, 9	eqeltrid 2848	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝐽))
11		resubcl 11600	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
12	11	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
13	1	oveqi 7461	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦)
14		ovres 7616	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
16	13, 15	eqtrid 2792	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
17	7	sselda 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐽) → 𝑥 ∈ ℂ)
18	7	sselda 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) → 𝑦 ∈ ℂ)
19	17, 18	anim12dan 618	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
20		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
21	20	cnmetdval 24812	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
22	19, 21	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
23	16, 22	eqtrd 2780	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (abs‘(𝑥 − 𝑦)))
24		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ 𝐽)
25	24, 3	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26		elicc2 13472	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵)))
28	25, 27	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝐵))
29	28	simp1d 1142	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ∈ ℝ)
30	12	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ)
31		resubcl 11600	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
32	29, 30, 31	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
33		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34		simprl 770	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ 𝐽)
35	34, 3	eleqtrdi 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36		elicc2 13472	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵)))
38	35, 37	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝐵))
39	38	simp1d 1142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
41	28	simp3d 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑦 ≤ 𝐵)
42	29, 40, 33, 41	lesub1dd 11906	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − 𝐴) ≤ (𝐵 − 𝐴))
43	29, 33, 30, 42	subled 11893	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ≤ 𝐴)
44	38	simp2d 1143	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ≤ 𝑥)
45	32, 33, 39, 43, 44	letrd 11447	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ≤ 𝑥)
46	29, 30	readdcld 11319	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)) ∈ ℝ)
47	38	simp3d 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ≤ 𝐵)
48	28	simp2d 1143	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐴 ≤ 𝑦)
49	33, 29, 40, 48	lesub2dd 11907	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝐵 − 𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴))
50	40, 29, 30	lesubadd2d 11889	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((𝐵 − 𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴))))
51	49, 50	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)))
52	39, 40, 46, 47, 51	letrd 11447	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → 𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)))
53	39, 29, 30	absdifled 15483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → ((abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ (𝐵 − 𝐴) ↔ ((𝑦 − (𝐵 − 𝐴)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵 − 𝐴)))))
54	45, 52, 53	mpbir2and 712	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (abs‘(𝑥 − 𝑦)) ≤ (𝐵 − 𝐴))
55	23, 54	eqbrtrd 5188	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴))
56	55	ralrimivva 3208	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴))
57		breq2 5170	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = (𝐵 − 𝐴) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
58	57	2ralbidv 3227	. . . 4 ⊢ (𝑟 = (𝐵 − 𝐴) → (∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴)))
59	58	rspcev 3635	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵 − 𝐴)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
60	12, 56, 59	syl2anc 583	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
61		isbnd3b 37745	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝐽) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥 ∈ 𝐽 ∀𝑦 ∈ 𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
62	10, 60, 61	sylanbrc 582	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   × cxp 5698   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183   + caddc 11187   ≤ cle 11325   − cmin 11520  [,]cicc 13410  abscabs 15283  Metcmet 21373  Bndcbnd 37727

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-ec 8765  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-icc 13414  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-bnd 37739

This theorem is referenced by:  icccmpALT  37801