Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccbnd 37308
Description: A closed interval in is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
iccbnd.2 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
Assertion
Ref Expression
iccbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))

Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
2 cnmet 24682 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3 iccbnd.1 . . . . . 6 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
4 iccssre 13433 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
53, 4eqsstrid 4027 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 11190 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
75, 6sstrdi 3991 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℂ)
8 metres2 24263 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐽 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
92, 7, 8sylancr 586 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
101, 9eqeltrid 2833 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝐽))
11 resubcl 11549 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1211ancoms 458 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
131oveqi 7428 . . . . . . 7 (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦)
14 ovres 7582 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐽𝑦𝐽) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1514adantl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1613, 15eqtrid 2780 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
177sselda 3979 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ ℂ)
187sselda 3979 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦 ∈ ℂ)
1917, 18anim12dan 618 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
20 eqid 2728 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2120cnmetdval 24681 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
2316, 22eqtrd 2768 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
24 simprr 772 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦𝐽)
2524, 3eleqtrdi 2839 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 elicc2 13416 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
2726adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
2825, 27mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
2928simp1d 1140 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3012adantr 480 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
31 resubcl 11549 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
3229, 30, 31syl2anc 583 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
33 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 simprl 770 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝐽)
3534, 3eleqtrdi 2839 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36 elicc2 13416 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3736adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3835, 37mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
3938simp1d 1140 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40 simplr 768 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4128simp3d 1142 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦𝐵)
4229, 40, 33, 41lesub1dd 11855 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦𝐴) ≤ (𝐵𝐴))
4329, 33, 30, 42subled 11842 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝐴)
4438simp2d 1141 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴𝑥)
4532, 33, 39, 43, 44letrd 11396 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝑥)
4629, 30readdcld 11268 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 + (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
4738simp3d 1142 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝐵)
4828simp2d 1141 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴𝑦)
4933, 29, 40, 48lesub2dd 11856 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝐵𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
5040, 29, 30lesubadd2d 11838 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝐵𝑦) ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴))))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))
5239, 40, 46, 47, 51letrd 11396 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))
5339, 29, 30absdifled 15408 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((abs‘(𝑥𝑦)) ≤ (𝐵𝐴) ↔ ((𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))))
5445, 52, 53mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ (𝐵𝐴))
5523, 54eqbrtrd 5165 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
5655ralrimivva 3196 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
57 breq2 5147 . . . . 5 (𝑟 = (𝐵𝐴) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)))
58572ralbidv 3214 . . . 4 (𝑟 = (𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)))
5958rspcev 3608 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
6012, 56, 59syl2anc 583 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
61 isbnd3b 37253 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝐽) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
6210, 60, 61sylanbrc 582 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  wrex 3066  wss 3945   class class class wbr 5143   × cxp 5671  cres 5675  ccom 5677  cfv 6543  (class class class)co 7415  cc 11131  cr 11132   + caddc 11136  cle 11274  cmin 11469  [,]cicc 13354  abscabs 15208  Metcmet 21259  Bndcbnd 37235
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-ec 8721  df-map 8841  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-sup 9460  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-icc 13358  df-seq 13994  df-exp 14054  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-psmet 21265  df-xmet 21266  df-met 21267  df-bl 21268  df-bnd 37247
This theorem is referenced by:  icccmpALT  37309
  Copyright terms: Public domain W3C validator