Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccbnd 34182
Description: A closed interval in is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
iccbnd.2 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
Assertion
Ref Expression
iccbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))

Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3 𝑀 = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))
2 cnmet 22946 . . . 4 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3 iccbnd.1 . . . . . 6 𝐽 = (𝐴[,]𝐵)
4 iccssre 12544 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
53, 4syl5eqss 3875 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℝ)
6 ax-resscn 10310 . . . . 5 ℝ ⊆ ℂ
75, 6syl6ss 3840 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐽 ⊆ ℂ)
8 metres2 22539 . . . 4 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ 𝐽 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
92, 7, 8sylancr 583 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽)) ∈ (Met‘𝐽))
101, 9syl5eqel 2911 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Met‘𝐽))
11 resubcl 10667 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
1211ancoms 452 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
131oveqi 6919 . . . . . . 7 (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦)
14 ovres 7061 . . . . . . . 8 ((𝑥𝐽𝑦𝐽) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1514adantl 475 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥((abs ∘ − ) ↾ (𝐽 × 𝐽))𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
1613, 15syl5eq 2874 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (𝑥(abs ∘ − )𝑦))
177sselda 3828 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐽) → 𝑥 ∈ ℂ)
187sselda 3828 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑦𝐽) → 𝑦 ∈ ℂ)
1917, 18anim12dan 614 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
20 eqid 2826 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
2120cnmetdval 22945 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥(abs ∘ − )𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
2316, 22eqtrd 2862 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) = (abs‘(𝑥𝑦)))
24 simprr 791 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦𝐽)
2524, 3syl6eleq 2917 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵))
26 elicc2 12527 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
2726adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵)))
2825, 27mpbid 224 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑦𝑦𝐵))
2928simp1d 1178 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦 ∈ ℝ)
3012adantr 474 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
31 resubcl 10667 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐵𝐴) ∈ ℝ) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
3229, 30, 31syl2anc 581 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
33 simpll 785 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴 ∈ ℝ)
34 simprl 789 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝐽)
3534, 3syl6eleq 2917 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵))
36 elicc2 12527 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3736adantr 474 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵)))
3835, 37mpbid 224 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑥𝑥𝐵))
3938simp1d 1178 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ∈ ℝ)
40 simplr 787 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐵 ∈ ℝ)
4128simp3d 1180 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑦𝐵)
4229, 40, 33, 41lesub1dd 10969 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦𝐴) ≤ (𝐵𝐴))
4329, 33, 30, 42subled 10956 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝐴)
4438simp2d 1179 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴𝑥)
4532, 33, 39, 43, 44letrd 10514 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝑥)
4629, 30readdcld 10387 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑦 + (𝐵𝐴)) ∈ ℝ)
4738simp3d 1180 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥𝐵)
4828simp2d 1179 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐴𝑦)
4933, 29, 40, 48lesub2dd 10970 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝐵𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
5040, 29, 30lesubadd2d 10952 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((𝐵𝑦) ≤ (𝐵𝐴) ↔ 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴))))
5149, 50mpbid 224 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝐵 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))
5239, 40, 46, 47, 51letrd 10514 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → 𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))
5339, 29, 30absdifled 14551 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → ((abs‘(𝑥𝑦)) ≤ (𝐵𝐴) ↔ ((𝑦 − (𝐵𝐴)) ≤ 𝑥𝑥 ≤ (𝑦 + (𝐵𝐴)))))
5445, 52, 53mpbir2and 706 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (abs‘(𝑥𝑦)) ≤ (𝐵𝐴))
5523, 54eqbrtrd 4896 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑥𝐽𝑦𝐽)) → (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
5655ralrimivva 3181 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴))
57 breq2 4878 . . . . 5 (𝑟 = (𝐵𝐴) → ((𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)))
58572ralbidv 3199 . . . 4 (𝑟 = (𝐵𝐴) → (∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟 ↔ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)))
5958rspcev 3527 . . 3 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ (𝐵𝐴)) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
6012, 56, 59syl2anc 581 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟)
61 isbnd3b 34127 . 2 (𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽) ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝐽) ∧ ∃𝑟 ∈ ℝ ∀𝑥𝐽𝑦𝐽 (𝑥𝑀𝑦) ≤ 𝑟))
6210, 60, 61sylanbrc 580 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝑀 ∈ (Bnd‘𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1113   = wceq 1658  wcel 2166  wral 3118  wrex 3119  wss 3799   class class class wbr 4874   × cxp 5341  cres 5345  ccom 5347  cfv 6124  (class class class)co 6906  cc 10251  cr 10252   + caddc 10256  cle 10393  cmin 10586  [,]cicc 12467  abscabs 14352  Metcmet 20093  Bndcbnd 34109
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-iun 4743  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-er 8010  df-ec 8012  df-map 8125  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-sup 8618  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-n0 11620  df-z 11706  df-uz 11970  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-icc 12471  df-seq 13097  df-exp 13156  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-bnd 34121
This theorem is referenced by:  icccmpALT  34183
  Copyright terms: Public domain W3C validator