Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iccbnd Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem iccbnd 37011
Description: A closed interval in ℝ is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
iccbnd.1 𝐽 = (𝐴[,]𝐡)
iccbnd.2 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))
Assertion
Ref Expression
iccbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π½))
Proof of Theorem iccbnd
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccbnd.2 . . 3 𝑀 = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))
2 cnmet 24508 . . . 4 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚)
3 iccbnd.1 . . . . . 6 𝐽 = (𝐴[,]𝐡)
4 iccssre 13410 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† ℝ)
53, 4eqsstrid 4030 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐽 βŠ† ℝ)
6 ax-resscn 11169 . . . . 5 ℝ βŠ† β„‚
75, 6sstrdi 3994 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝐽 βŠ† β„‚)
8 metres2 24089 . . . 4 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐽 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽)) ∈ (Metβ€˜π½))
92, 7, 8sylancr 587 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽)) ∈ (Metβ€˜π½))
101, 9eqeltrid 2837 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Metβ€˜π½))
11 resubcl 11528 . . . 4 ((𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
1211ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
131oveqi 7424 . . . . . . 7 (π‘₯𝑀𝑦) = (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))𝑦)
14 ovres 7575 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))𝑦) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦))
1514adantl 482 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐽 Γ— 𝐽))𝑦) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦))
1613, 15eqtrid 2784 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) = (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦))
177sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
187sselda 3982 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐽) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
1917, 18anim12dan 619 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚))
20 eqid 2732 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
2120cnmetdval 24507 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
2219, 21syl 17 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯(abs ∘ βˆ’ )𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
2316, 22eqtrd 2772 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) = (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)))
24 simprr 771 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐽)
2524, 3eleqtrdi 2843 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡))
26 elicc2 13393 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
2726adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡)))
2825, 27mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ 𝐡))
2928simp1d 1142 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
3012adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
31 resubcl 11528 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℝ ∧ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
3229, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
33 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
34 simprl 769 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐽)
3534, 3eleqtrdi 2843 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡))
36 elicc2 13393 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
3736adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ (𝐴[,]𝐡) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡)))
3835, 37mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝐡))
3938simp1d 1142 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
40 simplr 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
4128simp3d 1144 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝑦 ≀ 𝐡)
4229, 40, 33, 41lesub1dd 11834 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ 𝐴) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
4329, 33, 30, 42subled 11821 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ≀ 𝐴)
4438simp2d 1143 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐴 ≀ π‘₯)
4532, 33, 39, 43, 44letrd 11375 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ≀ π‘₯)
4629, 30readdcld 11247 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∈ ℝ)
4738simp3d 1144 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ≀ 𝐡)
4828simp2d 1143 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐴 ≀ 𝑦)
4933, 29, 40, 48lesub2dd 11835 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (𝐡 βˆ’ 𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5040, 29, 30lesubadd2d 11817 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ↔ 𝐡 ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴))))
5149, 50mpbid 231 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ 𝐡 ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5239, 40, 46, 47, 51letrd 11375 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ π‘₯ ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5339, 29, 30absdifled 15385 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ ((absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ↔ ((𝑦 βˆ’ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ (𝑦 + (𝐡 βˆ’ 𝐴)))))
5445, 52, 53mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝑦)) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5523, 54eqbrtrd 5170 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ 𝐽)) β†’ (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
5655ralrimivva 3200 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴))
57 breq2 5152 . . . . 5 (π‘Ÿ = (𝐡 βˆ’ 𝐴) β†’ ((π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ ↔ (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
58572ralbidv 3218 . . . 4 (π‘Ÿ = (𝐡 βˆ’ 𝐴) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5958rspcev 3612 . . 3 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ (𝐡 βˆ’ 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ)
6012, 56, 59syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ)
61 isbnd3b 36956 . 2 (𝑀 ∈ (Bndβ€˜π½) ↔ (𝑀 ∈ (Metβ€˜π½) ∧ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐽 βˆ€π‘¦ ∈ 𝐽 (π‘₯𝑀𝑦) ≀ π‘Ÿ))
6210, 60, 61sylanbrc 583 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ) β†’ 𝑀 ∈ (Bndβ€˜π½))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βŠ† wss 3948   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„‚cc 11110  β„cr 11111   + caddc 11115   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  [,]cicc 13331  abscabs 15185  Metcmet 21130  Bndcbnd 36938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-ec 8707  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-icc 13335  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-bnd 36950
This theorem is referenced by:  icccmpALT  37012
  Copyright terms: Public domain W3C validator