MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  prdsms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem prdsms 23136
Description: The indexed product structure is a metric space when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
prdsxms.y 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
Assertion
Ref Expression
prdsms ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ MetSp)

Proof of Theorem prdsms
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 msxms 23059 . . . . 5 (𝑥 ∈ MetSp → 𝑥 ∈ ∞MetSp)
21ssriv 3946 . . . 4 MetSp ⊆ ∞MetSp
3 fss 6508 . . . 4 ((𝑅:𝐼⟶MetSp ∧ MetSp ⊆ ∞MetSp) → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
42, 3mpan2 690 . . 3 (𝑅:𝐼⟶MetSp → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
5 prdsxms.y . . . 4 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
65prdsxms 23135 . . 3 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
74, 6syl3an3 1162 . 2 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
8 simp1 1133 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑆𝑊)
9 simp2 1134 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝐼 ∈ Fin)
10 eqid 2822 . . . 4 (dist‘𝑌) = (dist‘𝑌)
11 eqid 2822 . . . 4 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
12 simp3 1135 . . . 4 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑅:𝐼⟶MetSp)
135, 8, 9, 10, 11, 12prdsmslem1 23132 . . 3 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → (dist‘𝑌) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
14 ssid 3964 . . 3 (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)
15 metres2 22968 . . 3 (((dist‘𝑌) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)) ∧ (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
1613, 14, 15sylancl 589 . 2 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
17 eqid 2822 . . 3 (TopOpen‘𝑌) = (TopOpen‘𝑌)
18 eqid 2822 . . 3 ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) = ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
1917, 11, 18isms 23054 . 2 (𝑌 ∈ MetSp ↔ (𝑌 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌))))
207, 16, 19sylanbrc 586 1 ((𝑆𝑊𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ MetSp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114  wss 3908   × cxp 5530  cres 5534  wf 6330  cfv 6334  (class class class)co 7140  Fincfn 8496  Basecbs 16474  distcds 16565  TopOpenctopn 16686  Xscprds 16710  Metcmet 20075  ∞MetSpcxms 22922  MetSpcms 22923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-icc 12733  df-fz 12886  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-xms 22925  df-ms 22926
This theorem is referenced by:  pwsms  23138  xpsms  23140
  Copyright terms: Public domain W3C validator