Theorem prdsms 24653

Description: The indexed product structure is a metric space when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prdsxms.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsms	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ MetSp)

Proof of Theorem prdsms

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msxms 24576	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ MetSp → 𝑥 ∈ ∞MetSp)
2	1	ssriv 3949	. . . 4 ⊢ MetSp ⊆ ∞MetSp
3		fss 6720	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶MetSp ∧ MetSp ⊆ ∞MetSp) → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
4	2, 3	mpan2 703	. . 3 ⊢ (𝑅:𝐼⟶MetSp → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
5		prdsxms.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
6	5	prdsxms 24652	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
7	4, 6	syl3an3 1181	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
8		simp1 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑆 ∈ 𝑊)
9		simp2 1153	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝐼 ∈ Fin)
10		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑌) = (dist‘𝑌)
11		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
12		simp3 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑅:𝐼⟶MetSp)
13	5, 8, 9, 10, 11, 12	prdsmslem1 24649	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → (dist‘𝑌) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
14		ssid 3967	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)
15		metres2 24485	. . 3 ⊢ (((dist‘𝑌) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)) ∧ (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
16	13, 14, 15	sylancl 597	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
17		eqid 2769	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑌) = (TopOpen‘𝑌)
18		eqid 2769	. . 3 ⊢ ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) = ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
19	17, 11, 18	isms 24571	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ MetSp ↔ (𝑌 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌))))
20	7, 16, 19	sylanbrc 594	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ⊆ wss 3913   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ⟶wf 6530  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408  Fincfn 8939  Basecbs 17265  distcds 17315  TopOpenctopn 17470  X_scprds 17494  Metcmet 21473  ∞MetSpcxms 24439  MetSpcms 24440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173  ax-pre-sup 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-div 11868  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-icc 13375  df-fz 13532  df-struct 17203  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-rest 17471  df-topn 17472  df-topgen 17492  df-pt 17493  df-prds 17496  df-psmet 21479  df-xmet 21480  df-met 21481  df-bl 21482  df-mopn 21483  df-top 23016  df-topon 23033  df-topsp 23055  df-bases 23068  df-xms 24442  df-ms 24443

This theorem is referenced by:  pwsms  24655  xpsms  24657