Theorem prdsms 24554

Description: The indexed product structure is a metric space when the index set is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
prdsxms.y	⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)

Assertion

Ref	Expression
prdsms	⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ MetSp)

Proof of Theorem prdsms

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		msxms 24474	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ MetSp → 𝑥 ∈ ∞MetSp)
2	1	ssriv 3995	. . . 4 ⊢ MetSp ⊆ ∞MetSp
3		fss 6748	. . . 4 ⊢ ((𝑅:𝐼⟶MetSp ∧ MetSp ⊆ ∞MetSp) → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
4	2, 3	mpan2 689	. . 3 ⊢ (𝑅:𝐼⟶MetSp → 𝑅:𝐼⟶∞MetSp)
5		prdsxms.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑆Xs𝑅)
6	5	prdsxms 24553	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶∞MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
7	4, 6	syl3an3 1162	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ ∞MetSp)
8		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑆 ∈ 𝑊)
9		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝐼 ∈ Fin)
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (dist‘𝑌) = (dist‘𝑌)
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
12		simp3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑅:𝐼⟶MetSp)
13	5, 8, 9, 10, 11, 12	prdsmslem1 24550	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → (dist‘𝑌) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
14		ssid 4014	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)
15		metres2 24383	. . 3 ⊢ (((dist‘𝑌) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)) ∧ (Base‘𝑌) ⊆ (Base‘𝑌)) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
16	13, 14, 15	sylancl 584	. 2 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌)))
17		eqid 2729	. . 3 ⊢ (TopOpen‘𝑌) = (TopOpen‘𝑌)
18		eqid 2729	. . 3 ⊢ ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) = ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌)))
19	17, 11, 18	isms 24469	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ MetSp ↔ (𝑌 ∈ ∞MetSp ∧ ((dist‘𝑌) ↾ ((Base‘𝑌) × (Base‘𝑌))) ∈ (Met‘(Base‘𝑌))))
20	7, 16, 19	sylanbrc 581	1 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝑊 ∧ 𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅:𝐼⟶MetSp) → 𝑌 ∈ MetSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2100   ⊆ wss 3959   × cxp 5684   ↾ cres 5688  ⟶wf 6554  ‘cfv 6558  (class class class)co 7430  Fincfn 8982  Basecbs 17234  distcds 17296  TopOpenctopn 17457  X_scprds 17481  Metcmet 21351  ∞MetSpcxms 24337  MetSpcms 24338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2102  ax-9 2110  ax-10 2133  ax-11 2150  ax-12 2170  ax-ext 2700  ax-rep 5293  ax-sep 5307  ax-nul 5314  ax-pow 5373  ax-pr 5437  ax-un 7751  ax-cnex 11221  ax-resscn 11222  ax-1cn 11223  ax-icn 11224  ax-addcl 11225  ax-addrcl 11226  ax-mulcl 11227  ax-mulrcl 11228  ax-mulcom 11229  ax-addass 11230  ax-mulass 11231  ax-distr 11232  ax-i2m1 11233  ax-1ne0 11234  ax-1rid 11235  ax-rnegex 11236  ax-rrecex 11237  ax-cnre 11238  ax-pre-lttri 11239  ax-pre-lttrn 11240  ax-pre-ltadd 11241  ax-pre-mulgt0 11242  ax-pre-sup 11243

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2062  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2707  df-cleq 2721  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2934  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3064  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3429  df-v 3474  df-sbc 3789  df-csb 3905  df-dif 3962  df-un 3964  df-in 3966  df-ss 3976  df-pss 3979  df-nul 4336  df-if 4537  df-pw 4612  df-sn 4637  df-pr 4639  df-tp 4641  df-op 4643  df-uni 4919  df-int 4960  df-iun 5008  df-iin 5009  df-br 5157  df-opab 5219  df-mpt 5240  df-tr 5274  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5692  df-rel 5693  df-cnv 5694  df-co 5695  df-dm 5696  df-rn 5697  df-res 5698  df-ima 5699  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7386  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7885  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8742  df-map 8865  df-ixp 8935  df-en 8983  df-dom 8984  df-sdom 8985  df-fin 8986  df-fi 9461  df-sup 9492  df-inf 9493  df-pnf 11307  df-mnf 11308  df-xr 11309  df-ltxr 11310  df-le 11311  df-sub 11503  df-neg 11504  df-div 11929  df-nn 12275  df-2 12337  df-3 12338  df-4 12339  df-5 12340  df-6 12341  df-7 12342  df-8 12343  df-9 12344  df-n0 12535  df-z 12621  df-dec 12740  df-uz 12885  df-q 12995  df-rp 13039  df-xneg 13156  df-xadd 13157  df-xmul 13158  df-icc 13395  df-fz 13549  df-struct 17170  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-plusg 17300  df-mulr 17301  df-sca 17303  df-vsca 17304  df-ip 17305  df-tset 17306  df-ple 17307  df-ds 17309  df-hom 17311  df-cco 17312  df-rest 17458  df-topn 17459  df-topgen 17479  df-pt 17480  df-prds 17483  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-top 22910  df-topon 22927  df-topsp 22949  df-bases 22963  df-xms 24340  df-ms 24341

This theorem is referenced by:  pwsms  24556  xpsms  24558