MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  remet Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem remet 24149
Description: The absolute value metric determines a metric space on the reals. (Contributed by NM, 10-Feb-2007.)
Hypothesis
Ref Expression
remet.1 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
Assertion
Ref Expression
remet 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)

Proof of Theorem remet
StepHypRef Expression
1 remet.1 . 2 𝐷 = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
2 cnmet 24131 . . 3 (abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ)
3 ax-resscn 11105 . . 3 ℝ ⊆ ℂ
4 metres2 23712 . . 3 (((abs ∘ − ) ∈ (Met‘ℂ) ∧ ℝ ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ))
52, 3, 4mp2an 690 . 2 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (Met‘ℝ)
61, 5eqeltri 2834 1 𝐷 ∈ (Met‘ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1541  wcel 2106  wss 3909   × cxp 5630  cres 5634  ccom 5636  cfv 6494  cc 11046  cr 11047  cmin 11382  abscabs 15116  Metcmet 20778
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-er 8645  df-map 8764  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-sup 9375  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-rp 12913  df-xadd 13031  df-seq 13904  df-exp 13965  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-xmet 20785  df-met 20786
This theorem is referenced by:  rexmet  24150  blssioo  24154  nmcvcn  29535  rrncmslem  36280  repwsmet  36282  rrnequiv  36283  sblpnf  42570
  Copyright terms: Public domain W3C validator