Theorem rrnheibor 37844

Description: Heine-Borel theorem for Euclidean space. A subset of Euclidean space is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnheibor.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnheibor.2	⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
rrnheibor.3	⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
rrnheibor.4	⊢ 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrnheibor	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem rrnheibor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnheibor.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2	1	rrnmet 37836	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
3		rrnheibor.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
4		metres2 24373	. . . . . 6 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
5	3, 4	eqeltrid 2845	. . . . 5 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
6	2, 5	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
7	6	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp)))
8		rrnheibor.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
9	8	heibor 37828	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp) ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
10	7, 9	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌))))
11	3	eleq1i 2832	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
12	1	rrncms 37840	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
14		rrnheibor.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
15	14	cmetss 25350	. . . . 5 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) → (((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
17	11, 16	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
18	1, 3	rrntotbnd 37843	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
20	17, 19	anbi12d 632	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)) ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))
21	10, 20	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951   × cxp 5683   ↾ cres 5687  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  ℝcr 11154  Metcmet 21350  MetOpencmopn 21354  Clsdccld 23024  Compccmp 23394  CMetccmet 25288  TotBndctotbnd 37773  Bndcbnd 37774  ℝⁿcrrn 37832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cc 10475  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-omul 8511  df-er 8745  df-ec 8747  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-acn 9982  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15507  df-clim 15524  df-rlim 15525  df-sum 15723  df-gz 16968  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-topgen 17488  df-prds 17492  df-pws 17494  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lm 23237  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-cfil 25289  df-cau 25290  df-cmet 25291  df-totbnd 37775  df-bnd 37786  df-rrn 37833

This theorem is referenced by:  reheibor  37846