Theorem rrnheibor 37797

Description: Heine-Borel theorem for Euclidean space. A subset of Euclidean space is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnheibor.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnheibor.2	⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
rrnheibor.3	⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
rrnheibor.4	⊢ 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrnheibor	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem rrnheibor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnheibor.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2	1	rrnmet 37789	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
3		rrnheibor.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
4		metres2 24394	. . . . . 6 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
5	3, 4	eqeltrid 2848	. . . . 5 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
6	2, 5	sylan 579	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
7	6	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp)))
8		rrnheibor.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
9	8	heibor 37781	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp) ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
10	7, 9	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌))))
11	3	eleq1i 2835	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
12	1	rrncms 37793	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
14		rrnheibor.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
15	14	cmetss 25369	. . . . 5 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) → (((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
17	11, 16	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
18	1, 3	rrntotbnd 37796	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
20	17, 19	anbi12d 631	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)) ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))
21	10, 20	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   × cxp 5698   ↾ cres 5702  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℝcr 11183  Metcmet 21373  MetOpencmopn 21377  Clsdccld 23045  Compccmp 23415  CMetccmet 25307  TotBndctotbnd 37726  Bndcbnd 37727  ℝⁿcrrn 37785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cc 10504  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-ec 8765  df-map 8886  df-pm 8887  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fi 9480  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-gz 16977  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17482  df-topn 17483  df-topgen 17503  df-prds 17507  df-pws 17509  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-fbas 21384  df-fg 21385  df-cnfld 21388  df-top 22921  df-topon 22938  df-topsp 22960  df-bases 22974  df-cld 23048  df-ntr 23049  df-cls 23050  df-nei 23127  df-lm 23258  df-haus 23344  df-cmp 23416  df-fil 23875  df-fm 23967  df-flim 23968  df-flf 23969  df-xms 24351  df-ms 24352  df-cfil 25308  df-cau 25309  df-cmet 25310  df-totbnd 37728  df-bnd 37739  df-rrn 37786

This theorem is referenced by:  reheibor  37799