Theorem rrnheibor 38771

Description: Heine-Borel theorem for Euclidean space. A subset of Euclidean space is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnheibor.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnheibor.2	⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
rrnheibor.3	⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
rrnheibor.4	⊢ 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrnheibor	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem rrnheibor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnheibor.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2	1	rrnmet 38763	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
3		rrnheibor.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
4		metres2 24682	. . . . . 6 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
5	3, 4	eqeltrid 2865	. . . . 5 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
6	2, 5	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
7	6	biantrurd 542	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp)))
8		rrnheibor.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
9	8	heibor 38755	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp) ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
10	7, 9	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌))))
11	3	eleq1i 2852	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
12	1	rrncms 38767	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
14		rrnheibor.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
15	14	cmetss 25637	. . . . 5 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) → (((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
16	13, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
17	11, 16	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
18	1, 3	rrntotbnd 38770	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
20	17, 19	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)) ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))
21	10, 20	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8847  Fincfn 8973  ℝcr 11199  Metcmet 21664  MetOpencmopn 21668  Clsdccld 23334  Compccmp 23704  CMetccmet 25575  TotBndctotbnd 38700  Bndcbnd 38701  ℝⁿcrrn 38759

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-inf2 9642  ax-cc 10513  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-omul 8481  df-er 8717  df-ec 8719  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-acn 10023  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-ico 13482  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-limsup 15638  df-clim 15655  df-rlim 15656  df-sum 15854  df-gz 17108  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-topgen 17614  df-prds 17618  df-pws 17620  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lm 23547  df-haus 23633  df-cmp 23705  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-cfil 25576  df-cau 25577  df-cmet 25578  df-totbnd 38702  df-bnd 38713  df-rrn 38760

This theorem is used by:  reheibor  38773