Theorem rrnheibor 38908

Description: Heine-Borel theorem for Euclidean space. A subset of Euclidean space is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnheibor.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnheibor.2	⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
rrnheibor.3	⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
rrnheibor.4	⊢ 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrnheibor	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem rrnheibor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnheibor.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2	1	rrnmet 38900	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
3		rrnheibor.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
4		metres2 24691	. . . . . 6 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
5	3, 4	eqeltrid 2864	. . . . 5 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
6	2, 5	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
7	6	biantrurd 542	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp)))
8		rrnheibor.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
9	8	heibor 38892	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp) ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
10	7, 9	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌))))
11	3	eleq1i 2851	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
12	1	rrncms 38904	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
13	12	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
14		rrnheibor.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
15	14	cmetss 25646	. . . . 5 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) → (((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
16	13, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
17	11, 16	bitrid 286	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
18	1, 3	rrntotbnd 38907	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
19	18	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
20	17, 19	anbi12d 644	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)) ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))
21	10, 20	bitrd 282	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   × cxp 5649   ↾ cres 5653  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8981  ℝcr 11206  Metcmet 21673  MetOpencmopn 21677  Clsdccld 23343  Compccmp 23713  CMetccmet 25584  TotBndctotbnd 38837  Bndcbnd 38838  ℝⁿcrrn 38896

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649  ax-cc 10520  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284  ax-pre-sup 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-2o 8485  df-oadd 8488  df-omul 8489  df-er 8725  df-ec 8727  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9511  df-card 10027  df-acn 10030  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-div 11981  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-q 13083  df-rp 13128  df-xneg 13248  df-xadd 13249  df-xmul 13250  df-ico 13489  df-icc 13490  df-fz 13647  df-fzo 13796  df-fl 13939  df-seq 14152  df-exp 14212  df-hash 14482  df-cj 15275  df-re 15276  df-im 15277  df-sqrt 15411  df-abs 15412  df-limsup 15647  df-clim 15664  df-rlim 15665  df-sum 15863  df-gz 17117  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-starv 17452  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-unif 17460  df-hom 17461  df-cco 17462  df-rest 17602  df-topn 17603  df-topgen 17623  df-prds 17627  df-pws 17629  df-psmet 21679  df-xmet 21680  df-met 21681  df-bl 21682  df-mopn 21683  df-fbas 21684  df-fg 21685  df-cnfld 21688  df-top 23221  df-topon 23238  df-topsp 23260  df-bases 23273  df-cld 23346  df-ntr 23347  df-cls 23348  df-nei 23425  df-lm 23556  df-haus 23642  df-cmp 23714  df-fil 24174  df-fm 24266  df-flim 24267  df-flf 24268  df-xms 24648  df-ms 24649  df-cfil 25585  df-cau 25586  df-cmet 25587  df-totbnd 38839  df-bnd 38850  df-rrn 38897

This theorem is used by:  reheibor  38910