Theorem rrnheibor 38088

Description: Heine-Borel theorem for Euclidean space. A subset of Euclidean space is compact iff it is closed and bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rrnheibor.1	⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
rrnheibor.2	⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
rrnheibor.3	⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
rrnheibor.4	⊢ 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))

Assertion

Ref	Expression
rrnheibor	⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Proof of Theorem rrnheibor

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rrnheibor.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (ℝ ↑m 𝐼)
2	1	rrnmet 38080	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋))
3		rrnheibor.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌))
4		metres2 24319	. . . . . 6 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (Met‘𝑌))
5	3, 4	eqeltrid 2841	. . . . 5 ⊢ (((ℝn‘𝐼) ∈ (Met‘𝑋) ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
6	2, 5	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → 𝑀 ∈ (Met‘𝑌))
7	6	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp)))
8		rrnheibor.3	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (MetOpen‘𝑀)
9	8	heibor 38072	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (Met‘𝑌) ∧ 𝑇 ∈ Comp) ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)))
10	7, 9	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌))))
11	3	eleq1i 2828	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ ((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌))
12	1	rrncms 38084	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
13	12	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋))
14		rrnheibor.4	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (MetOpen‘(ℝn‘𝐼))
15	14	cmetss 25284	. . . . 5 ⊢ ((ℝn‘𝐼) ∈ (CMet‘𝑋) → (((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
16	13, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (((ℝn‘𝐼) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
17	11, 16	bitrid 283	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ↔ 𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈)))
18	1, 3	rrntotbnd 38087	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌) ↔ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌)))
20	17, 19	anbi12d 633	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → ((𝑀 ∈ (CMet‘𝑌) ∧ 𝑀 ∈ (TotBnd‘𝑌)) ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))
21	10, 20	bitrd 279	1 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑌 ⊆ 𝑋) → (𝑇 ∈ Comp ↔ (𝑌 ∈ (Clsd‘𝑈) ∧ 𝑀 ∈ (Bnd‘𝑌))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3903   × cxp 5630   ↾ cres 5634  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895  ℝcr 11037  Metcmet 21307  MetOpencmopn 21311  Clsdccld 22972  Compccmp 23342  CMetccmet 25222  TotBndctotbnd 38017  Bndcbnd 38018  ℝⁿcrrn 38076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cc 10357  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-ec 8647  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-gz 16870  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-topgen 17375  df-prds 17379  df-pws 17381  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lm 23185  df-haus 23271  df-cmp 23343  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-cfil 25223  df-cau 25224  df-cmet 25225  df-totbnd 38019  df-bnd 38030  df-rrn 38077

This theorem is referenced by:  reheibor  38090