Theorem mulasssr 11048

Description: Multiplication of signed reals is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulasssr	⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶))

Proof of Theorem mulasssr

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11014	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		mulsrpr 11034	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3		mulsrpr 11034	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R )
4		mulsrpr 11034	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)), ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣))⟩] ~R )
5		mulsrpr 11034	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)))), ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))))⟩] ~R )
6		mulclpr 10978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
7		mulclpr 10978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
8		addclpr 10976	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
9	6, 7, 8	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
10	9	an4s 670	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
11		mulclpr 10978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
12		mulclpr 10978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
13		addclpr 10976	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·P 𝑤) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
14	11, 12, 13	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
15	14	an42s 671	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
16	10, 15	jca 519	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P))
17		mulclpr 10978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (𝑧 ·P 𝑣) ∈ P)
18		mulclpr 10978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) → (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P)
19		addclpr 10976	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ·P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
20	17, 18, 19	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
21	20	an4s 670	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
22		mulclpr 10978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) → (𝑧 ·P 𝑢) ∈ P)
23		mulclpr 10978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P)
24		addclpr 10976	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ·P 𝑢) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
25	22, 23, 24	syl2an 605	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
26	25	an42s 671	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
27	21, 26	jca 519	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P))
28		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
29		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
30		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
31		mulcompr 10981	. . . 4 ⊢ (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓)
32		distrpr 10986	. . . 4 ⊢ (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ))
33		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑤 ∈ V
34		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑣 ∈ V
35		mulasspr 10982	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ·P 𝑔) ·P ℎ) = (𝑓 ·P (𝑔 ·P ℎ))
36		vex 3458	. . . 4 ⊢ 𝑢 ∈ V
37		addcompr 10979	. . . 4 ⊢ (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓)
38		addasspr 10980	. . . 4 ⊢ ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ))
39	28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38	caovlem2 7632	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))))
40	28, 29, 30, 31, 32, 33, 36, 35, 34, 37, 38	caovlem2 7632	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))))
41	1, 2, 3, 4, 5, 16, 27, 39, 40	ecovass 8806	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))
42		dmmulsr 11044	. . 3 ⊢ dom ·R = (R × R)
43		0nsr 11037	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ R
44	42, 43	ndmovass 7584	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))
45	41, 44	pm2.61i 183	1 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶))

Syntax hints:   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  Pcnp 10817   +_P cpp 10819   ·_P cmp 10820   ~_R cer 10822  Rcnr 10823   ·_R cmr 10828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-ec 8680  df-qs 8684  df-ni 10830  df-pli 10831  df-mi 10832  df-lti 10833  df-plpq 10866  df-mpq 10867  df-ltpq 10868  df-enq 10869  df-nq 10870  df-erq 10871  df-plq 10872  df-mq 10873  df-1nq 10874  df-rq 10875  df-ltnq 10876  df-np 10939  df-plp 10941  df-mp 10942  df-ltp 10943  df-enr 11013  df-nr 11014  df-mr 11016

This theorem is referenced by:  sqgt0sr  11064  recexsr  11065  axmulass  11115