MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulasssr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulasssr 10197
Description: Multiplication of signed reals is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulasssr ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶))

Proof of Theorem mulasssr
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nr 10164 . . 3 R = ((P × P) / ~R )
2 mulsrpr 10183 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3 mulsrpr 10183 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R )
4 mulsrpr 10183 . . 3 (((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ([⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)), ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣))⟩] ~R )
5 mulsrpr 10183 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)))), ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))))⟩] ~R )
6 mulclpr 10128 . . . . . 6 ((𝑥P𝑧P) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
7 mulclpr 10128 . . . . . 6 ((𝑦P𝑤P) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
8 addclpr 10126 . . . . . 6 (((𝑥 ·P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
96, 7, 8syl2an 590 . . . . 5 (((𝑥P𝑧P) ∧ (𝑦P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
109an4s 651 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
11 mulclpr 10128 . . . . . 6 ((𝑥P𝑤P) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
12 mulclpr 10128 . . . . . 6 ((𝑦P𝑧P) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
13 addclpr 10126 . . . . . 6 (((𝑥 ·P 𝑤) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1411, 12, 13syl2an 590 . . . . 5 (((𝑥P𝑤P) ∧ (𝑦P𝑧P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1514an42s 652 . . . 4 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
1610, 15jca 508 . . 3 (((𝑥P𝑦P) ∧ (𝑧P𝑤P)) → (((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P))
17 mulclpr 10128 . . . . . 6 ((𝑧P𝑣P) → (𝑧 ·P 𝑣) ∈ P)
18 mulclpr 10128 . . . . . 6 ((𝑤P𝑢P) → (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P)
19 addclpr 10126 . . . . . 6 (((𝑧 ·P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
2017, 18, 19syl2an 590 . . . . 5 (((𝑧P𝑣P) ∧ (𝑤P𝑢P)) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
2120an4s 651 . . . 4 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
22 mulclpr 10128 . . . . . 6 ((𝑧P𝑢P) → (𝑧 ·P 𝑢) ∈ P)
23 mulclpr 10128 . . . . . 6 ((𝑤P𝑣P) → (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P)
24 addclpr 10126 . . . . . 6 (((𝑧 ·P 𝑢) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
2522, 23, 24syl2an 590 . . . . 5 (((𝑧P𝑢P) ∧ (𝑤P𝑣P)) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
2625an42s 652 . . . 4 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
2721, 26jca 508 . . 3 (((𝑧P𝑤P) ∧ (𝑣P𝑢P)) → (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P))
28 vex 3386 . . . 4 𝑥 ∈ V
29 vex 3386 . . . 4 𝑦 ∈ V
30 vex 3386 . . . 4 𝑧 ∈ V
31 mulcompr 10131 . . . 4 (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓)
32 distrpr 10136 . . . 4 (𝑓 ·P (𝑔 +P )) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ))
33 vex 3386 . . . 4 𝑤 ∈ V
34 vex 3386 . . . 4 𝑣 ∈ V
35 mulasspr 10132 . . . 4 ((𝑓 ·P 𝑔) ·P ) = (𝑓 ·P (𝑔 ·P ))
36 vex 3386 . . . 4 𝑢 ∈ V
37 addcompr 10129 . . . 4 (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓)
38 addasspr 10130 . . . 4 ((𝑓 +P 𝑔) +P ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ))
3928, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38caovlem2 7102 . . 3 ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))))
4028, 29, 30, 31, 32, 33, 36, 35, 34, 37, 38caovlem2 7102 . . 3 ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))))
411, 2, 3, 4, 5, 16, 27, 39, 40ecovass 8091 . 2 ((𝐴R𝐵R𝐶R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))
42 dmmulsr 10193 . . 3 dom ·R = (R × R)
43 0nsr 10186 . . 3 ¬ ∅ ∈ R
4442, 43ndmovass 7054 . 2 (¬ (𝐴R𝐵R𝐶R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))
4541, 44pm2.61i 177 1 ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  (class class class)co 6876  Pcnp 9967   +P cpp 9969   ·P cmp 9970   ~R cer 9972  Rcnr 9973   ·R cmr 9978
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-omul 7802  df-er 7980  df-ec 7982  df-qs 7986  df-ni 9980  df-pli 9981  df-mi 9982  df-lti 9983  df-plpq 10016  df-mpq 10017  df-ltpq 10018  df-enq 10019  df-nq 10020  df-erq 10021  df-plq 10022  df-mq 10023  df-1nq 10024  df-rq 10025  df-ltnq 10026  df-np 10089  df-plp 10091  df-mp 10092  df-ltp 10093  df-enr 10163  df-nr 10164  df-mr 10166
This theorem is referenced by:  sqgt0sr  10213  recexsr  10214  axmulass  10264
  Copyright terms: Public domain W3C validator