Theorem mulasssr 11099

Description: Multiplication of signed reals is associative. (Contributed by NM, 2-Sep-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2015.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulasssr	⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶))

Proof of Theorem mulasssr

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 11065	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		mulsrpr 11085	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R )
3		mulsrpr 11085	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R )
4		mulsrpr 11085	. . 3 ⊢ (((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ([⟨((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)), ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧))⟩] ~R ·R [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~R ) = [⟨((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)), ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣))⟩] ~R )
5		mulsrpr 11085	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R ·R [⟨((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)), ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))⟩] ~R ) = [⟨((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)))), ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))))⟩] ~R )
6		mulclpr 11029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 ·P 𝑧) ∈ P)
7		mulclpr 11029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P)
8		addclpr 11027	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑤) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
10	9	an4s 673	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P)
11		mulclpr 11029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑥 ·P 𝑤) ∈ P)
12		mulclpr 11029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P)
13		addclpr 11027	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ·P 𝑤) ∈ P ∧ (𝑦 ·P 𝑧) ∈ P) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
15	14	an42s 674	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P)
16	10, 15	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → (((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ∈ P ∧ ((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ∈ P))
17		mulclpr 11029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (𝑧 ·P 𝑣) ∈ P)
18		mulclpr 11029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) → (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P)
19		addclpr 11027	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ·P 𝑣) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑢) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
20	17, 18, 19	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
21	20	an4s 673	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P)
22		mulclpr 11029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑧 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) → (𝑧 ·P 𝑢) ∈ P)
23		mulclpr 11029	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P) → (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P)
24		addclpr 11027	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ·P 𝑢) ∈ P ∧ (𝑤 ·P 𝑣) ∈ P) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
25	22, 23, 24	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P) ∧ (𝑤 ∈ P ∧ 𝑣 ∈ P)) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
26	25	an42s 674	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P)
27	21, 26	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) ∧ (𝑣 ∈ P ∧ 𝑢 ∈ P)) → (((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢)) ∈ P ∧ ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣)) ∈ P))
28		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑥 ∈ V
29		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑦 ∈ V
30		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑧 ∈ V
31		mulcompr 11032	. . . 4 ⊢ (𝑓 ·P 𝑔) = (𝑔 ·P 𝑓)
32		distrpr 11037	. . . 4 ⊢ (𝑓 ·P (𝑔 +P ℎ)) = ((𝑓 ·P 𝑔) +P (𝑓 ·P ℎ))
33		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑤 ∈ V
34		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑣 ∈ V
35		mulasspr 11033	. . . 4 ⊢ ((𝑓 ·P 𝑔) ·P ℎ) = (𝑓 ·P (𝑔 ·P ℎ))
36		vex 3454	. . . 4 ⊢ 𝑢 ∈ V
37		addcompr 11030	. . . 4 ⊢ (𝑓 +P 𝑔) = (𝑔 +P 𝑓)
38		addasspr 11031	. . . 4 ⊢ ((𝑓 +P 𝑔) +P ℎ) = (𝑓 +P (𝑔 +P ℎ))
39	28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38	caovlem2 7650	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑣) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑢)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))))
40	28, 29, 30, 31, 32, 33, 36, 35, 34, 37, 38	caovlem2 7650	. . 3 ⊢ ((((𝑥 ·P 𝑧) +P (𝑦 ·P 𝑤)) ·P 𝑢) +P (((𝑥 ·P 𝑤) +P (𝑦 ·P 𝑧)) ·P 𝑣)) = ((𝑥 ·P ((𝑧 ·P 𝑢) +P (𝑤 ·P 𝑣))) +P (𝑦 ·P ((𝑧 ·P 𝑣) +P (𝑤 ·P 𝑢))))
41	1, 2, 3, 4, 5, 16, 27, 39, 40	ecovass 8824	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))
42		dmmulsr 11095	. . 3 ⊢ dom ·R = (R × R)
43		0nsr 11088	. . 3 ⊢ ¬ ∅ ∈ R
44	42, 43	ndmovass 7602	. 2 ⊢ (¬ (𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R ∧ 𝐶 ∈ R) → ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶)))
45	41, 44	pm2.61i 184	1 ⊢ ((𝐴 ·R 𝐵) ·R 𝐶) = (𝐴 ·R (𝐵 ·R 𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  Pcnp 10868   +_P cpp 10870   ·_P cmp 10871   ~_R cer 10873  Rcnr 10874   ·_R cmr 10879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-inf2 9620

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-oadd 8459  df-omul 8460  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-ni 10881  df-pli 10882  df-mi 10883  df-lti 10884  df-plpq 10917  df-mpq 10918  df-ltpq 10919  df-enq 10920  df-nq 10921  df-erq 10922  df-plq 10923  df-mq 10924  df-1nq 10925  df-rq 10926  df-ltnq 10927  df-np 10990  df-plp 10992  df-mp 10993  df-ltp 10994  df-enr 11064  df-nr 11065  df-mr 11067

This theorem is used by:  sqgt0sr  11115  recexsr  11116  axmulass  11166