Theorem mulclpr 10978

Description: Closure of multiplication on positive reals. First statement of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulclpr	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) ∈ P)

Proof of Theorem mulclpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mp 10942	. 2 ⊢ ·P = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})
2		mulclnq 10905	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) ∈ Q)
3		ltmnq 10930	. 2 ⊢ (ℎ ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (ℎ ·Q 𝑓) <Q (ℎ ·Q 𝑔)))
4		mulcomnq 10911	. 2 ⊢ (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
5		mulclprlem 10977	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔 ·Q ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	genpcl 10966	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) ∈ P)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396   ·_Q cmq 10814  Pcnp 10817   ·_P cmp 10820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-inf2 9596

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8678  df-ni 10830  df-mi 10832  df-lti 10833  df-mpq 10867  df-ltpq 10868  df-enq 10869  df-nq 10870  df-erq 10871  df-mq 10873  df-1nq 10874  df-rq 10875  df-ltnq 10876  df-np 10939  df-mp 10942

This theorem is referenced by:  mulasspr  10982  distrlem1pr  10983  distrlem4pr  10984  distrlem5pr  10985  mulcmpblnr  11029  mulclsr  11042  mulasssr  11048  distrsr  11049  m1m1sr  11051  1idsr  11056  00sr  11057  recexsrlem  11061  mulgt0sr  11063