Theorem mulclpr 11112

Description: Closure of multiplication on positive reals. First statement of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
mulclpr	⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) ∈ P)

Proof of Theorem mulclpr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-mp 11076	. 2 ⊢ ·P = (𝑤 ∈ P, 𝑣 ∈ P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦 ∈ 𝑤 ∃𝑧 ∈ 𝑣 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})
2		mulclnq 11039	. 2 ⊢ ((𝑦 ∈ Q ∧ 𝑧 ∈ Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) ∈ Q)
3		ltmnq 11064	. 2 ⊢ (ℎ ∈ Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ (ℎ ·Q 𝑓) <Q (ℎ ·Q 𝑔)))
4		mulcomnq 11045	. 2 ⊢ (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
5		mulclprlem 11111	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ P ∧ 𝑔 ∈ 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ P ∧ ℎ ∈ 𝐵)) ∧ 𝑥 ∈ Q) → (𝑥 <Q (𝑔 ·Q ℎ) → 𝑥 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
6	1, 2, 3, 4, 5	genpcl 11100	1 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐴 ·P 𝐵) ∈ P)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7424   ·_Q cmq 10948  Pcnp 10951   ·_P cmp 10954

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-inf2 9649

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-oadd 8488  df-omul 8489  df-er 8725  df-ni 10964  df-mi 10966  df-lti 10967  df-mpq 11001  df-ltpq 11002  df-enq 11003  df-nq 11004  df-erq 11005  df-mq 11007  df-1nq 11008  df-rq 11009  df-ltnq 11010  df-np 11073  df-mp 11076

This theorem is used by:  mulasspr  11116  distrlem1pr  11117  distrlem4pr  11118  distrlem5pr  11119  mulcmpblnr  11163  mulclsr  11176  mulasssr  11182  distrsr  11183  m1m1sr  11185  1idsr  11190  00sr  11191  recexsrlem  11195  mulgt0sr  11197