MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mulclpr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mulclpr 11058
Description: Closure of multiplication on positive reals. First statement of Proposition 9-3.7 of [Gleason] p. 124. (Contributed by NM, 13-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
mulclpr ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 ·P 𝐵) ∈ P)

Proof of Theorem mulclpr
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-mp 11022 . 2 ·P = (𝑤P, 𝑣P ↦ {𝑥 ∣ ∃𝑦𝑤𝑧𝑣 𝑥 = (𝑦 ·Q 𝑧)})
2 mulclnq 10985 . 2 ((𝑦Q𝑧Q) → (𝑦 ·Q 𝑧) ∈ Q)
3 ltmnq 11010 . 2 (Q → (𝑓 <Q 𝑔 ↔ ( ·Q 𝑓) <Q ( ·Q 𝑔)))
4 mulcomnq 10991 . 2 (𝑥 ·Q 𝑦) = (𝑦 ·Q 𝑥)
5 mulclprlem 11057 . 2 ((((𝐴P𝑔𝐴) ∧ (𝐵P𝐵)) ∧ 𝑥Q) → (𝑥 <Q (𝑔 ·Q ) → 𝑥 ∈ (𝐴 ·P 𝐵)))
61, 2, 3, 4, 5genpcl 11046 1 ((𝐴P𝐵P) → (𝐴 ·P 𝐵) ∈ P)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2106  (class class class)co 7431   ·Q cmq 10894  Pcnp 10897   ·P cmp 10900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-omul 8510  df-er 8744  df-ni 10910  df-mi 10912  df-lti 10913  df-mpq 10947  df-ltpq 10948  df-enq 10949  df-nq 10950  df-erq 10951  df-mq 10953  df-1nq 10954  df-rq 10955  df-ltnq 10956  df-np 11019  df-mp 11022
This theorem is referenced by:  mulasspr  11062  distrlem1pr  11063  distrlem4pr  11064  distrlem5pr  11065  mulcmpblnr  11109  mulclsr  11122  mulasssr  11128  distrsr  11129  m1m1sr  11131  1idsr  11136  00sr  11137  recexsrlem  11141  mulgt0sr  11143
  Copyright terms: Public domain W3C validator