Theorem mulcand 11121

Description: Cancellation law for multiplication. Theorem I.7 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 26-Jan-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem mulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		mulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		recex 11120	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5		oveq2 7024	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
6		simprl 767	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	1	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcomd 10508	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐶) = (𝐶 · 𝑥))
9		simprr 769	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
10	8, 9	eqtrd 2831	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
11	10	oveq1d 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
12		mulcand.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	6, 7, 13	mulassd 10510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)))
15	13	mulid2d 10505	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
16	11, 14, 15	3eqtr3d 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = 𝐴)
17	10	oveq1d 7031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
18		mulcand.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	6, 7, 19	mulassd 10510	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
21	19	mulid2d 10505	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
22	17, 20, 21	3eqtr3d 2839	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) = 𝐵)
23	16, 22	eqeq12d 2810	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
24	5, 23	syl5ib 245	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
25	4, 24	rexlimddv 3254	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
26		oveq2 7024	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))
27	25, 26	impbid1 226	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2081   ≠ wne 2984  ∃wrex 3106  (class class class)co 7016  ℂcc 10381  0cc0 10383  1c1 10384   · cmul 10388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720

This theorem is referenced by:  mulcan2d  11122  mulcanad  11123  mulcan  11125  div11  11174  eqneg  11208  qredeq  15830  cncongr1  15840  prmirredlem  20322  tanarg  24883  quad2  25098  atandm2  25136  lgseisenlem2  25634  frrusgrord0  27811  fpprwppr  43406  affinecomb2  44191  rrx2linest  44230  itscnhlc0yqe  44247  itsclquadeu  44265