Theorem mulcand 11757

Description: Cancellation law for multiplication. Theorem I.7 of [Apostol] p. 18. (Contributed by NM, 26-Jan-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulcand.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
mulcand.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
mulcand.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
mulcand.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)

Assertion

Ref	Expression
mulcand	⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem mulcand

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mulcand.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
2		mulcand.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ 0)
3		recex 11756	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 1)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ ℂ (𝐶 · 𝑥) = 1)
5		oveq2 7360	. . . 4 ⊢ ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
6		simprl 770	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝑥 ∈ ℂ)
7	1	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐶 ∈ ℂ)
8	6, 7	mulcomd 11140	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐶) = (𝐶 · 𝑥))
9		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝐶 · 𝑥) = 1)
10	8, 9	eqtrd 2768	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · 𝐶) = 1)
11	10	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (1 · 𝐴))
12		mulcand.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
13	12	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐴 ∈ ℂ)
14	6, 7, 13	mulassd 11142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐴) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)))
15	13	mullidd 11137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐴) = 𝐴)
16	11, 14, 15	3eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = 𝐴)
17	10	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (1 · 𝐵))
18		mulcand.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
19	18	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → 𝐵 ∈ ℂ)
20	6, 7, 19	mulassd 11142	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · 𝐶) · 𝐵) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)))
21	19	mullidd 11137	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
22	17, 20, 21	3eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) = 𝐵)
23	16, 22	eqeq12d 2749	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝑥 · (𝐶 · 𝐴)) = (𝑥 · (𝐶 · 𝐵)) ↔ 𝐴 = 𝐵))
24	5, 23	imbitrid 244	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝐶 · 𝑥) = 1)) → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
25	4, 24	rexlimddv 3140	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) → 𝐴 = 𝐵))
26		oveq2 7360	. 2 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵))
27	25, 26	impbid1 225	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐶 · 𝐴) = (𝐶 · 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∃wrex 3057  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  0cc0 11013  1c1 11014   · cmul 11018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354

This theorem is referenced by:  mulcan2d  11758  mulcanad  11759  mulcan  11761  div11OLD  11812  eqneg  11848  qredeq  16570  cncongr1  16580  prmirredlem  21411  tanarg  26556  quad2  26777  atandm2  26815  lgseisenlem2  27315  frrusgrord0  30322  unitscyglem2  42310  fpprwppr  47864  affinecomb2  48829  rrx2linest  48868  itscnhlc0yqe  48885  itsclquadeu  48903