MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qredeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qredeq 16599
Description: Two equal reduced fractions have the same numerator and denominator. (Contributed by Jeff Hankins, 29-Sep-2013.)
Assertion
Ref Expression
qredeq (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โˆง (๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ƒ / ๐‘„)) โ†’ (๐‘€ = ๐‘ƒ โˆง ๐‘ = ๐‘„))

Proof of Theorem qredeq
StepHypRef Expression
1 zcn 12564 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
21adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3 nncn 12221 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
43adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
5 nnne0 12247 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โ‰  0)
65adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
72, 4, 6divcld 11991 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
873adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
98adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘€ / ๐‘) โˆˆ โ„‚)
10 zcn 12564 . . . . . . . . . 10 (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
1110adantr 480 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
12 nncn 12221 . . . . . . . . . 10 (๐‘„ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
1312adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
14 nnne0 12247 . . . . . . . . . 10 (๐‘„ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
1514adantl 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
1611, 13, 15divcld 11991 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
17163adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
1817adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘ƒ / ๐‘„) โˆˆ โ„‚)
1933ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2019adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2153ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
2221adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
239, 18, 20, 22mulcand 11848 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘€ / ๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)) โ†” (๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ƒ / ๐‘„)))
242, 4, 6divcan2d 11993 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ / ๐‘)) = ๐‘€)
25243adant3 1129 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ / ๐‘)) = ๐‘€)
2625adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘€ / ๐‘)) = ๐‘€)
2726eqeq1d 2728 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘€ / ๐‘)) = (๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)) โ†” ๐‘€ = (๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„))))
2823, 27bitr3d 281 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ƒ / ๐‘„) โ†” ๐‘€ = (๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„))))
2913ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
3029adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
31 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘ƒ / ๐‘„) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
3219, 17, 31syl2an 595 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)) โˆˆ โ„‚)
33123ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
3433adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
35143ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
3635adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘„ โ‰  0)
3730, 32, 34, 36mulcan2d 11849 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘„) = ((๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)) ยท ๐‘„) โ†” ๐‘€ = (๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„))))
3820, 18, 34mulassd 11238 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)) ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ((๐‘ƒ / ๐‘„) ยท ๐‘„)))
3911, 13, 15divcan1d 11992 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘„) ยท ๐‘„) = ๐‘ƒ)
40393adant3 1129 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘„) ยท ๐‘„) = ๐‘ƒ)
4140adantl 481 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘ƒ / ๐‘„) ยท ๐‘„) = ๐‘ƒ)
4241oveq2d 7420 . . . . . . 7 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘ ยท ((๐‘ƒ / ๐‘„) ยท ๐‘„)) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
4338, 42eqtrd 2766 . . . . . 6 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)) ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
4443eqeq2d 2737 . . . . 5 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘„) = ((๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)) ยท ๐‘„) โ†” (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)))
4537, 44bitr3d 281 . . . 4 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘€ = (๐‘ ยท (๐‘ƒ / ๐‘„)) โ†” (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)))
4628, 45bitrd 279 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ƒ / ๐‘„) โ†” (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)))
47 nnz 12580 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
48473ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
49 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„•)
5048, 49anim12i 612 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•))
5150adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•))
5248adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
53 simpl1 1188 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
54 nnz 12580 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘„ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
55543ad2ant2 1131 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
5655adantl 481 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
5752, 53, 563jca 1125 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค))
5857adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค))
59 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
60 dvdsmul1 16226 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
6148, 59, 60syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
6261adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
63 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ))
6462, 63breqtrrd 5169 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘„))
65 gcdcom 16459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
6647, 65sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
6766ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
68673adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = (๐‘€ gcd ๐‘))
69 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)
7068, 69eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = 1)
7170ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ gcd ๐‘€) = 1)
7264, 71jca 511 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘„) โˆง (๐‘ gcd ๐‘€) = 1))
73 coprmdvds 16595 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘„) โˆง (๐‘ gcd ๐‘€) = 1) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘„))
7458, 72, 73sylc 65 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆฅ ๐‘„)
75 dvdsle 16258 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ โˆฅ ๐‘„ โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘„))
7651, 74, 75sylc 65 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โ‰ค ๐‘„)
77 simp2 1134 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
7855, 77anim12i 612 . . . . . . . . 9 (((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1)) โ†’ (๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•))
7978ancoms 458 . . . . . . . 8 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•))
8079adantr 480 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•))
81 simpr1 1191 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8256, 81, 523jca 1125 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
8382adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค))
84 simp1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
85 dvdsmul2 16227 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„ค) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘„))
8684, 55, 85syl2an 595 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘„))
8786adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘€ ยท ๐‘„))
88103ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
89 mulcom 11195 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐‘))
9019, 88, 89syl2an 595 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐‘))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ ยท ๐‘))
9263, 91eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ƒ ยท ๐‘))
9387, 92breqtrd 5167 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘))
94 gcdcom 16459 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐‘„))
9554, 94sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐‘„))
9695ancoms 458 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐‘„))
97963adant3 1129 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = (๐‘ƒ gcd ๐‘„))
98 simp3 1135 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)
9997, 98eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1)
10099ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1)
10193, 100jca 511 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆง (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1))
102 coprmdvds 16595 . . . . . . . 8 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘„ โˆฅ (๐‘ƒ ยท ๐‘) โˆง (๐‘„ gcd ๐‘ƒ) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘))
10383, 101, 102sylc 65 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘„ โˆฅ ๐‘)
104 dvdsle 16258 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘„ โˆฅ ๐‘ โ†’ ๐‘„ โ‰ค ๐‘))
10580, 103, 104sylc 65 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘„ โ‰ค ๐‘)
106 nnre 12220 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
1071063ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
108107ad2antrr 723 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
109 nnre 12220 . . . . . . . . 9 (๐‘„ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
1101093ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
111110ad2antlr 724 . . . . . . 7 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
112108, 111letri3d 11357 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ = ๐‘„ โ†” (๐‘ โ‰ค ๐‘„ โˆง ๐‘„ โ‰ค ๐‘)))
11376, 105, 112mpbir2and 710 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘ = ๐‘„)
114 oveq2 7412 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = ๐‘„ โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘„))
115114eqeq1d 2728 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘„ โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ) โ†” (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)))
116115anbi2d 628 . . . . . . . 8 (๐‘ = ๐‘„ โ†’ ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†” (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ))))
117 mulcom 11195 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
1181, 3, 117syl2an 595 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
1191183adant3 1129 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
120119adantr 480 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘€))
121120eqeq1d 2728 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ) โ†” (๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)))
12288adantl 481 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
12330, 122, 20, 22mulcand 11848 . . . . . . . . . 10 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘€) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ) โ†” ๐‘€ = ๐‘ƒ))
124121, 123bitrd 279 . . . . . . . . 9 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ) โ†” ๐‘€ = ๐‘ƒ))
125124biimpa 476 . . . . . . . 8 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ = ๐‘ƒ)
126116, 125syl6bir 254 . . . . . . 7 (๐‘ = ๐‘„ โ†’ ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ ๐‘€ = ๐‘ƒ))
127126com12 32 . . . . . 6 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ = ๐‘„ โ†’ ๐‘€ = ๐‘ƒ))
128127ancrd 551 . . . . 5 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘ = ๐‘„ โ†’ (๐‘€ = ๐‘ƒ โˆง ๐‘ = ๐‘„)))
129113, 128mpd 15 . . . 4 ((((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โˆง (๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ)) โ†’ (๐‘€ = ๐‘ƒ โˆง ๐‘ = ๐‘„))
130129ex 412 . . 3 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘„) = (๐‘ ยท ๐‘ƒ) โ†’ (๐‘€ = ๐‘ƒ โˆง ๐‘ = ๐‘„)))
13146, 130sylbid 239 . 2 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1)) โ†’ ((๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ƒ / ๐‘„) โ†’ (๐‘€ = ๐‘ƒ โˆง ๐‘ = ๐‘„)))
1321313impia 1114 1 (((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘€ gcd ๐‘) = 1) โˆง (๐‘ƒ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘„ โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ƒ gcd ๐‘„) = 1) โˆง (๐‘€ / ๐‘) = (๐‘ƒ / ๐‘„)) โ†’ (๐‘€ = ๐‘ƒ โˆง ๐‘ = ๐‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  โ„คcz 12559   โˆฅ cdvds 16202   gcd cgcd 16440
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16203  df-gcd 16441
This theorem is referenced by:  qredeu  16600
  Copyright terms: Public domain W3C validator