MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1b 26743
Description: Lemma 2 for 2lgslem1 26745. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2lgslem1b.i ๐ผ = (๐ด...๐ต)
2lgslem1b.f ๐น = (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘— ยท 2))
Assertion
Ref Expression
2lgslem1b ๐น:๐ผโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
Distinct variable group:   ๐‘–,๐ผ,๐‘—,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘–,๐‘—)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘–,๐‘—)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem 2lgslem1b
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2lgslem1b.f . . . 4 ๐น = (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘— ยท 2))
2 eqeq1 2741 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2)))
32rexbidv 3176 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2)))
4 elfzelz 13442 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
5 2lgslem1b.i . . . . . . 7 ๐ผ = (๐ด...๐ต)
64, 5eleq2s 2856 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
7 2z 12536 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
87a1i 11 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
96, 8zmulcld 12614 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘— ยท 2) โˆˆ โ„ค)
10 id 22 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐ผ)
11 oveq1 7365 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘– ยท 2) = (๐‘— ยท 2))
1211eqeq2d 2748 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘— ยท 2) = (๐‘— ยท 2)))
1312adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘– = ๐‘—) โ†’ ((๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘— ยท 2) = (๐‘— ยท 2)))
14 eqidd 2738 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘— ยท 2))
1510, 13, 14rspcedvd 3584 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2))
163, 9, 15elrabd 3648 . . . 4 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘— ยท 2) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
171, 16fmpti 7061 . . 3 ๐น:๐ผโŸถ{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
18 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘ฆ ยท 2))
19 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
20 ovexd 7393 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ V)
211, 18, 19, 20fvmptd3 6972 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 2))
22 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ง โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘ง ยท 2))
23 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ผ)
24 ovexd 7393 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ง ยท 2) โˆˆ V)
251, 22, 23, 24fvmptd3 6972 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท 2))
2621, 25eqeq12d 2753 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” (๐‘ฆ ยท 2) = (๐‘ง ยท 2)))
27 elfzelz 13442 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2827, 5eleq2s 2856 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2928zcnd 12609 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3029adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
31 elfzelz 13442 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3231, 5eleq2s 2856 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3332zcnd 12609 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
3433adantl 483 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
35 2cnd 12232 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
36 2ne0 12258 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ 2 โ‰  0)
3830, 34, 35, 37mulcan2d 11790 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = (๐‘ง ยท 2) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
3938biimpd 228 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = (๐‘ง ยท 2) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
4026, 39sylbid 239 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
4140rgen2 3195 . . 3 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ผ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)
42 dff13 7203 . . 3 (๐น:๐ผโ€“1-1โ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โ†” (๐น:๐ผโŸถ{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ผ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
4317, 41, 42mpbir2an 710 . 2 ๐น:๐ผโ€“1-1โ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
44 oveq1 7365 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2))
4544eqeq2d 2748 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
4645cbvrexvw 3227 . . . . 5 (โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))
47 elfzelz 13442 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
487a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
4947, 48zmulcld 12614 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค)
5049, 5eleq2s 2856 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค)
51 eleq1 2826 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค))
5250, 51syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค))
5352rexlimiv 3146 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
5453pm4.71ri 562 . . . . 5 (โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
5546, 54bitri 275 . . . 4 (โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
5655abbii 2807 . . 3 {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2)} = {๐‘ฅ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))}
571rnmpt 5911 . . 3 ran ๐น = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2)}
58 df-rab 3409 . . 3 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} = {๐‘ฅ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))}
5956, 57, 583eqtr4i 2775 . 2 ran ๐น = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
60 dff1o5 6794 . 2 (๐น:๐ผโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โ†” (๐น:๐ผโ€“1-1โ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โˆง ran ๐น = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}))
6143, 59, 60mpbir2an 710 1 ๐น:๐ผโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  {cab 2714   โ‰  wne 2944  โˆ€wral 3065  โˆƒwrex 3074  {crab 3408  Vcvv 3446   โ†ฆ cmpt 5189  ran crn 5635  โŸถwf 6493  โ€“1-1โ†’wf1 6494  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6496  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11050  0cc0 11052   ยท cmul 11057  2c2 12209  โ„คcz 12500  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  2lgslem1  26745
  Copyright terms: Public domain W3C validator