MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1b 27280
Description: Lemma 2 for 2lgslem1 27282. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2lgslem1b.i ๐ผ = (๐ด...๐ต)
2lgslem1b.f ๐น = (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘— ยท 2))
Assertion
Ref Expression
2lgslem1b ๐น:๐ผโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
Distinct variable group:   ๐‘–,๐ผ,๐‘—,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘–,๐‘—)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘–,๐‘—)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem 2lgslem1b
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2lgslem1b.f . . . 4 ๐น = (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘— ยท 2))
2 eqeq1 2730 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2)))
32rexbidv 3172 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2)))
4 elfzelz 13507 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
5 2lgslem1b.i . . . . . . 7 ๐ผ = (๐ด...๐ต)
64, 5eleq2s 2845 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
7 2z 12598 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
87a1i 11 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
96, 8zmulcld 12676 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘— ยท 2) โˆˆ โ„ค)
10 id 22 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐ผ)
11 oveq1 7412 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘– ยท 2) = (๐‘— ยท 2))
1211eqeq2d 2737 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘— ยท 2) = (๐‘— ยท 2)))
1312adantl 481 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘– = ๐‘—) โ†’ ((๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘— ยท 2) = (๐‘— ยท 2)))
14 eqidd 2727 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘— ยท 2))
1510, 13, 14rspcedvd 3608 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2))
163, 9, 15elrabd 3680 . . . 4 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘— ยท 2) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
171, 16fmpti 7107 . . 3 ๐น:๐ผโŸถ{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
18 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘ฆ ยท 2))
19 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
20 ovexd 7440 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ V)
211, 18, 19, 20fvmptd3 7015 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 2))
22 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ง โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘ง ยท 2))
23 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ผ)
24 ovexd 7440 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ง ยท 2) โˆˆ V)
251, 22, 23, 24fvmptd3 7015 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท 2))
2621, 25eqeq12d 2742 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” (๐‘ฆ ยท 2) = (๐‘ง ยท 2)))
27 elfzelz 13507 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2827, 5eleq2s 2845 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2928zcnd 12671 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
31 elfzelz 13507 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3231, 5eleq2s 2845 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3332zcnd 12671 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
3433adantl 481 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
35 2cnd 12294 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
36 2ne0 12320 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ 2 โ‰  0)
3830, 34, 35, 37mulcan2d 11852 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = (๐‘ง ยท 2) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
3938biimpd 228 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = (๐‘ง ยท 2) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
4026, 39sylbid 239 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
4140rgen2 3191 . . 3 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ผ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)
42 dff13 7250 . . 3 (๐น:๐ผโ€“1-1โ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โ†” (๐น:๐ผโŸถ{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ผ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
4317, 41, 42mpbir2an 708 . 2 ๐น:๐ผโ€“1-1โ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
44 oveq1 7412 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2))
4544eqeq2d 2737 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
4645cbvrexvw 3229 . . . . 5 (โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))
47 elfzelz 13507 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
487a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
4947, 48zmulcld 12676 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค)
5049, 5eleq2s 2845 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค)
51 eleq1 2815 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค))
5250, 51syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค))
5352rexlimiv 3142 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
5453pm4.71ri 560 . . . . 5 (โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
5546, 54bitri 275 . . . 4 (โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
5655abbii 2796 . . 3 {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2)} = {๐‘ฅ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))}
571rnmpt 5948 . . 3 ran ๐น = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2)}
58 df-rab 3427 . . 3 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} = {๐‘ฅ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))}
5956, 57, 583eqtr4i 2764 . 2 ran ๐น = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
60 dff1o5 6836 . 2 (๐น:๐ผโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โ†” (๐น:๐ผโ€“1-1โ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โˆง ran ๐น = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}))
6143, 59, 60mpbir2an 708 1 ๐น:๐ผโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2703   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  โˆƒwrex 3064  {crab 3426  Vcvv 3468   โ†ฆ cmpt 5224  ran crn 5670  โŸถwf 6533  โ€“1-1โ†’wf1 6534  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6536  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  0cc0 11112   ยท cmul 11117  2c2 12271  โ„คcz 12562  ...cfz 13490
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491
This theorem is referenced by:  2lgslem1  27282
  Copyright terms: Public domain W3C validator