Theorem 2lgslem1b 27359

Description: Lemma 2 for 2lgslem1 27361. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lgslem1b.i	⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵)
2lgslem1b.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1b	⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}

Distinct variable group:   𝑖,𝐼,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem 2lgslem1b

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1b.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2))
2		eqeq1 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
3	2	rexbidv 3160	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
4		elfzelz 13440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑗 ∈ ℤ)
5		2lgslem1b.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵)
6	4, 5	eleq2s 2854	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ ℤ)
7		2z 12523	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℤ)
9	6, 8	zmulcld 12602	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ ℤ)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ 𝐼)
11		oveq1 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 · 2) = (𝑗 · 2))
12	11	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
13	12	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = 𝑗) → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
14		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2))
15	10, 13, 14	rspcedvd 3578	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
16	3, 9, 15	elrabd 3648	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)})
17	1, 16	fmpti 7057	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
18		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑗 · 2) = (𝑦 · 2))
19		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20		ovexd 7393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑦 · 2) ∈ V)
21	1, 18, 19, 20	fvmptd3 6964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 2))
22		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 · 2) = (𝑧 · 2))
23		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐼)
24		ovexd 7393	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑧 · 2) ∈ V)
25	1, 22, 23, 24	fvmptd3 6964	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 2))
26	21, 25	eqeq12d 2752	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 2) = (𝑧 · 2)))
27		elfzelz 13440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
28	27, 5	eleq2s 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
31		elfzelz 13440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
32	31, 5	eleq2s 2854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℤ)
33	32	zcnd 12597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℂ)
34	33	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
35		2cnd 12223	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℂ)
36		2ne0 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 ≠ 0)
38	30, 34, 35, 37	mulcan2d 11771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) ↔ 𝑦 = 𝑧))
39	38	biimpd 229	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) → 𝑦 = 𝑧))
40	26, 39	sylbid 240	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
41	40	rgen2 3176	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
42		dff13 7200	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
43	17, 41, 42	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
44		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
45	44	eqeq2d 2747	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ 𝑥 = (𝑖 · 2)))
46	45	cbvrexvw 3215	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))
47		elfzelz 13440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑖 ∈ ℤ)
48	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 2 ∈ ℤ)
49	47, 48	zmulcld 12602	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
50	49, 5	eleq2s 2854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
51		eleq1 2824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑖 · 2) ∈ ℤ))
52	50, 51	syl5ibrcom 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
53	52	rexlimiv 3130	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ)
54	53	pm4.71ri 560	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
55	46, 54	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
56	55	abbii 2803	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
57	1	rnmpt 5906	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)}
58		df-rab 3400	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
59	56, 57, 58	3eqtr4i 2769	. 2 ⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
60		dff1o5 6783	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}))
61	43, 59, 60	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {cab 2714   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3399  Vcvv 3440   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625  ⟶wf 6488  –1-1→wf1 6489  –1-1-onto→wf1o 6491  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026   · cmul 11031  2c2 12200  ℤcz 12488  ...cfz 13423

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-fz 13424

This theorem is referenced by:  2lgslem1  27361