MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2lgslem1b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2lgslem1b 27343
Description: Lemma 2 for 2lgslem1 27345. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2lgslem1b.i ๐ผ = (๐ด...๐ต)
2lgslem1b.f ๐น = (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘— ยท 2))
Assertion
Ref Expression
2lgslem1b ๐น:๐ผโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
Distinct variable group:   ๐‘–,๐ผ,๐‘—,๐‘ฅ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘–,๐‘—)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘–,๐‘—)   ๐น(๐‘ฅ,๐‘–,๐‘—)

Proof of Theorem 2lgslem1b
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2lgslem1b.f . . . 4 ๐น = (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘— ยท 2))
2 eqeq1 2729 . . . . . 6 (๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2)))
32rexbidv 3169 . . . . 5 (๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†’ (โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2)))
4 elfzelz 13533 . . . . . . 7 (๐‘— โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
5 2lgslem1b.i . . . . . . 7 ๐ผ = (๐ด...๐ต)
64, 5eleq2s 2843 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘— โˆˆ โ„ค)
7 2z 12624 . . . . . . 7 2 โˆˆ โ„ค
87a1i 11 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
96, 8zmulcld 12702 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘— ยท 2) โˆˆ โ„ค)
10 id 22 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘— โˆˆ ๐ผ)
11 oveq1 7423 . . . . . . . 8 (๐‘– = ๐‘— โ†’ (๐‘– ยท 2) = (๐‘— ยท 2))
1211eqeq2d 2736 . . . . . . 7 (๐‘– = ๐‘— โ†’ ((๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘— ยท 2) = (๐‘— ยท 2)))
1312adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘— โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘– = ๐‘—) โ†’ ((๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘— ยท 2) = (๐‘— ยท 2)))
14 eqidd 2726 . . . . . 6 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘— ยท 2))
1510, 13, 14rspcedvd 3603 . . . . 5 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2))
163, 9, 15elrabd 3676 . . . 4 (๐‘— โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘— ยท 2) โˆˆ {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)})
171, 16fmpti 7117 . . 3 ๐น:๐ผโŸถ{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
18 oveq1 7423 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ฆ โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘ฆ ยท 2))
19 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ)
20 ovexd 7451 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฆ ยท 2) โˆˆ V)
211, 18, 19, 20fvmptd3 7023 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐‘ฆ ยท 2))
22 oveq1 7423 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘ง โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘ง ยท 2))
23 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐ผ)
24 ovexd 7451 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ง ยท 2) โˆˆ V)
251, 22, 23, 24fvmptd3 7023 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐นโ€˜๐‘ง) = (๐‘ง ยท 2))
2621, 25eqeq12d 2741 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†” (๐‘ฆ ยท 2) = (๐‘ง ยท 2)))
27 elfzelz 13533 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฆ โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2827, 5eleq2s 2843 . . . . . . . . 9 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„ค)
2928zcnd 12697 . . . . . . . 8 (๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
3029adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚)
31 elfzelz 13533 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3231, 5eleq2s 2843 . . . . . . . . 9 (๐‘ง โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„ค)
3332zcnd 12697 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ ๐ผ โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
3433adantl 480 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„‚)
35 2cnd 12320 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
36 2ne0 12346 . . . . . . . 8 2 โ‰  0
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ 2 โ‰  0)
3830, 34, 35, 37mulcan2d 11878 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = (๐‘ง ยท 2) โ†” ๐‘ฆ = ๐‘ง))
3938biimpd 228 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฆ ยท 2) = (๐‘ง ยท 2) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
4026, 39sylbid 239 . . . 4 ((๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆง ๐‘ง โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง))
4140rgen2 3188 . . 3 โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ผ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)
42 dff13 7261 . . 3 (๐น:๐ผโ€“1-1โ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โ†” (๐น:๐ผโŸถ{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โˆง โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ผ โˆ€๐‘ง โˆˆ ๐ผ ((๐นโ€˜๐‘ฆ) = (๐นโ€˜๐‘ง) โ†’ ๐‘ฆ = ๐‘ง)))
4317, 41, 42mpbir2an 709 . 2 ๐น:๐ผโ€“1-1โ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
44 oveq1 7423 . . . . . . 7 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘— ยท 2) = (๐‘– ยท 2))
4544eqeq2d 2736 . . . . . 6 (๐‘— = ๐‘– โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†” ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
4645cbvrexvw 3226 . . . . 5 (โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))
47 elfzelz 13533 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ ๐‘– โˆˆ โ„ค)
487a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘– โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
4947, 48zmulcld 12702 . . . . . . . . 9 (๐‘– โˆˆ (๐ด...๐ต) โ†’ (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค)
5049, 5eleq2s 2843 . . . . . . . 8 (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค)
51 eleq1 2813 . . . . . . . 8 (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โ†” (๐‘– ยท 2) โˆˆ โ„ค))
5250, 51syl5ibrcom 246 . . . . . . 7 (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†’ (๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค))
5352rexlimiv 3138 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ โ„ค)
5453pm4.71ri 559 . . . . 5 (โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
5546, 54bitri 274 . . . 4 (โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2) โ†” (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)))
5655abbii 2795 . . 3 {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2)} = {๐‘ฅ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))}
571rnmpt 5951 . . 3 ran ๐น = {๐‘ฅ โˆฃ โˆƒ๐‘— โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘— ยท 2)}
58 df-rab 3420 . . 3 {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} = {๐‘ฅ โˆฃ (๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆง โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2))}
5956, 57, 583eqtr4i 2763 . 2 ran ๐น = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
60 dff1o5 6843 . 2 (๐น:๐ผโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โ†” (๐น:๐ผโ€“1-1โ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)} โˆง ran ๐น = {๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}))
6143, 59, 60mpbir2an 709 1 ๐น:๐ผโ€“1-1-ontoโ†’{๐‘ฅ โˆˆ โ„ค โˆฃ โˆƒ๐‘– โˆˆ ๐ผ ๐‘ฅ = (๐‘– ยท 2)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  {cab 2702   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  โˆƒwrex 3060  {crab 3419  Vcvv 3463   โ†ฆ cmpt 5226  ran crn 5673  โŸถwf 6539  โ€“1-1โ†’wf1 6540  โ€“1-1-ontoโ†’wf1o 6542  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  โ„‚cc 11136  0cc0 11138   ยท cmul 11143  2c2 12297  โ„คcz 12588  ...cfz 13516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517
This theorem is referenced by:  2lgslem1  27345
  Copyright terms: Public domain W3C validator