| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | 2lgslem1b.f | . . . 4
⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2)) | 
| 2 |  | eqeq1 2741 | . . . . . 6
⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))) | 
| 3 | 2 | rexbidv 3179 | . . . . 5
⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))) | 
| 4 |  | elfzelz 13564 | . . . . . . 7
⊢ (𝑗 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑗 ∈ ℤ) | 
| 5 |  | 2lgslem1b.i | . . . . . . 7
⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵) | 
| 6 | 4, 5 | eleq2s 2859 | . . . . . 6
⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ ℤ) | 
| 7 |  | 2z 12649 | . . . . . . 7
⊢ 2 ∈
ℤ | 
| 8 | 7 | a1i 11 | . . . . . 6
⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℤ) | 
| 9 | 6, 8 | zmulcld 12728 | . . . . 5
⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ ℤ) | 
| 10 |  | id 22 | . . . . . 6
⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ 𝐼) | 
| 11 |  | oveq1 7438 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 · 2) = (𝑗 · 2)) | 
| 12 | 11 | eqeq2d 2748 | . . . . . . 7
⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2))) | 
| 13 | 12 | adantl 481 | . . . . . 6
⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = 𝑗) → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2))) | 
| 14 |  | eqidd 2738 | . . . . . 6
⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)) | 
| 15 | 10, 13, 14 | rspcedvd 3624 | . . . . 5
⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)) | 
| 16 | 3, 9, 15 | elrabd 3694 | . . . 4
⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}) | 
| 17 | 1, 16 | fmpti 7132 | . . 3
⊢ 𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} | 
| 18 |  | oveq1 7438 | . . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑗 · 2) = (𝑦 · 2)) | 
| 19 |  | simpl 482 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼) | 
| 20 |  | ovexd 7466 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑦 · 2) ∈ V) | 
| 21 | 1, 18, 19, 20 | fvmptd3 7039 | . . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 2)) | 
| 22 |  | oveq1 7438 | . . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 · 2) = (𝑧 · 2)) | 
| 23 |  | simpr 484 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐼) | 
| 24 |  | ovexd 7466 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑧 · 2) ∈ V) | 
| 25 | 1, 22, 23, 24 | fvmptd3 7039 | . . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 2)) | 
| 26 | 21, 25 | eqeq12d 2753 | . . . . 5
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 2) = (𝑧 · 2))) | 
| 27 |  | elfzelz 13564 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ) | 
| 28 | 27, 5 | eleq2s 2859 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℤ) | 
| 29 | 28 | zcnd 12723 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℂ) | 
| 30 | 29 | adantr 480 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ) | 
| 31 |  | elfzelz 13564 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑧 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ) | 
| 32 | 31, 5 | eleq2s 2859 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℤ) | 
| 33 | 32 | zcnd 12723 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℂ) | 
| 34 | 33 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ) | 
| 35 |  | 2cnd 12344 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℂ) | 
| 36 |  | 2ne0 12370 | . . . . . . . 8
⊢ 2 ≠
0 | 
| 37 | 36 | a1i 11 | . . . . . . 7
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 ≠ 0) | 
| 38 | 30, 34, 35, 37 | mulcan2d 11897 | . . . . . 6
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) ↔ 𝑦 = 𝑧)) | 
| 39 | 38 | biimpd 229 | . . . . 5
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) → 𝑦 = 𝑧)) | 
| 40 | 26, 39 | sylbid 240 | . . . 4
⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)) | 
| 41 | 40 | rgen2 3199 | . . 3
⊢
∀𝑦 ∈
𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧) | 
| 42 |  | dff13 7275 | . . 3
⊢ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))) | 
| 43 | 17, 41, 42 | mpbir2an 711 | . 2
⊢ 𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} | 
| 44 |  | oveq1 7438 | . . . . . . 7
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)) | 
| 45 | 44 | eqeq2d 2748 | . . . . . 6
⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ 𝑥 = (𝑖 · 2))) | 
| 46 | 45 | cbvrexvw 3238 | . . . . 5
⊢
(∃𝑗 ∈
𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)) | 
| 47 |  | elfzelz 13564 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑖 ∈ ℤ) | 
| 48 | 7 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 2 ∈ ℤ) | 
| 49 | 47, 48 | zmulcld 12728 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ) | 
| 50 | 49, 5 | eleq2s 2859 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑖 · 2) ∈ ℤ) | 
| 51 |  | eleq1 2829 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑖 · 2) ∈
ℤ)) | 
| 52 | 50, 51 | syl5ibrcom 247 | . . . . . . 7
⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ)) | 
| 53 | 52 | rexlimiv 3148 | . . . . . 6
⊢
(∃𝑖 ∈
𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ) | 
| 54 | 53 | pm4.71ri 560 | . . . . 5
⊢
(∃𝑖 ∈
𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))) | 
| 55 | 46, 54 | bitri 275 | . . . 4
⊢
(∃𝑗 ∈
𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))) | 
| 56 | 55 | abbii 2809 | . . 3
⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))} | 
| 57 | 1 | rnmpt 5968 | . . 3
⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)} | 
| 58 |  | df-rab 3437 | . . 3
⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣
∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))} | 
| 59 | 56, 57, 58 | 3eqtr4i 2775 | . 2
⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} | 
| 60 |  | dff1o5 6857 | . 2
⊢ (𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)})) | 
| 61 | 43, 59, 60 | mpbir2an 711 | 1
⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} |