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Theorem 2lgslem1b 27451
Description: Lemma 2 for 2lgslem1 27453. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
2lgslem1b.i 𝐼 = (𝐴...𝐵)
2lgslem1b.f 𝐹 = (𝑗𝐼 ↦ (𝑗 · 2))
Assertion
Ref Expression
2lgslem1b 𝐹:𝐼1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
Distinct variable group:   𝑖,𝐼,𝑗,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem 2lgslem1b
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2lgslem1b.f . . . 4 𝐹 = (𝑗𝐼 ↦ (𝑗 · 2))
2 eqeq1 2739 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑗 · 2) → (𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
32rexbidv 3177 . . . . 5 (𝑥 = (𝑗 · 2) → (∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
4 elfzelz 13561 . . . . . . 7 (𝑗 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑗 ∈ ℤ)
5 2lgslem1b.i . . . . . . 7 𝐼 = (𝐴...𝐵)
64, 5eleq2s 2857 . . . . . 6 (𝑗𝐼𝑗 ∈ ℤ)
7 2z 12647 . . . . . . 7 2 ∈ ℤ
87a1i 11 . . . . . 6 (𝑗𝐼 → 2 ∈ ℤ)
96, 8zmulcld 12726 . . . . 5 (𝑗𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ ℤ)
10 id 22 . . . . . 6 (𝑗𝐼𝑗𝐼)
11 oveq1 7438 . . . . . . . 8 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 · 2) = (𝑗 · 2))
1211eqeq2d 2746 . . . . . . 7 (𝑖 = 𝑗 → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
1312adantl 481 . . . . . 6 ((𝑗𝐼𝑖 = 𝑗) → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
14 eqidd 2736 . . . . . 6 (𝑗𝐼 → (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2))
1510, 13, 14rspcedvd 3624 . . . . 5 (𝑗𝐼 → ∃𝑖𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
163, 9, 15elrabd 3697 . . . 4 (𝑗𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)})
171, 16fmpti 7132 . . 3 𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
18 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑦 → (𝑗 · 2) = (𝑦 · 2))
19 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 𝑦𝐼)
20 ovexd 7466 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → (𝑦 · 2) ∈ V)
211, 18, 19, 20fvmptd3 7039 . . . . . 6 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → (𝐹𝑦) = (𝑦 · 2))
22 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 · 2) = (𝑧 · 2))
23 simpr 484 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 𝑧𝐼)
24 ovexd 7466 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → (𝑧 · 2) ∈ V)
251, 22, 23, 24fvmptd3 7039 . . . . . 6 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) = (𝑧 · 2))
2621, 25eqeq12d 2751 . . . . 5 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) ↔ (𝑦 · 2) = (𝑧 · 2)))
27 elfzelz 13561 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
2827, 5eleq2s 2857 . . . . . . . . 9 (𝑦𝐼𝑦 ∈ ℤ)
2928zcnd 12721 . . . . . . . 8 (𝑦𝐼𝑦 ∈ ℂ)
3029adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 elfzelz 13561 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
3231, 5eleq2s 2857 . . . . . . . . 9 (𝑧𝐼𝑧 ∈ ℤ)
3332zcnd 12721 . . . . . . . 8 (𝑧𝐼𝑧 ∈ ℂ)
3433adantl 481 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
35 2cnd 12342 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 2 ∈ ℂ)
36 2ne0 12368 . . . . . . . 8 2 ≠ 0
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → 2 ≠ 0)
3830, 34, 35, 37mulcan2d 11895 . . . . . 6 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) ↔ 𝑦 = 𝑧))
3938biimpd 229 . . . . 5 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) → 𝑦 = 𝑧))
4026, 39sylbid 240 . . . 4 ((𝑦𝐼𝑧𝐼) → ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
4140rgen2 3197 . . 3 𝑦𝐼𝑧𝐼 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
42 dff13 7275 . . 3 (𝐹:𝐼1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ∀𝑦𝐼𝑧𝐼 ((𝐹𝑦) = (𝐹𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
4317, 41, 42mpbir2an 711 . 2 𝐹:𝐼1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
44 oveq1 7438 . . . . . . 7 (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
4544eqeq2d 2746 . . . . . 6 (𝑗 = 𝑖 → (𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ 𝑥 = (𝑖 · 2)))
4645cbvrexvw 3236 . . . . 5 (∃𝑗𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))
47 elfzelz 13561 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑖 ∈ ℤ)
487a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 2 ∈ ℤ)
4947, 48zmulcld 12726 . . . . . . . . 9 (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
5049, 5eleq2s 2857 . . . . . . . 8 (𝑖𝐼 → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
51 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑖 · 2) ∈ ℤ))
5250, 51syl5ibrcom 247 . . . . . . 7 (𝑖𝐼 → (𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
5352rexlimiv 3146 . . . . . 6 (∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ)
5453pm4.71ri 560 . . . . 5 (∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
5546, 54bitri 275 . . . 4 (∃𝑗𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
5655abbii 2807 . . 3 {𝑥 ∣ ∃𝑗𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
571rnmpt 5971 . . 3 ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑗𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)}
58 df-rab 3434 . . 3 {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
5956, 57, 583eqtr4i 2773 . 2 ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
60 dff1o5 6858 . 2 (𝐹:𝐼1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}))
6143, 59, 60mpbir2an 711 1 𝐹:𝐼1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {cab 2712  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {crab 3433  Vcvv 3478  cmpt 5231  ran crn 5690  wf 6559  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158  2c2 12319  cz 12611  ...cfz 13544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545
This theorem is referenced by:  2lgslem1  27453
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