Theorem 2lgslem1b 26120

Description: Lemma 2 for 2lgslem1 26122. (Contributed by AV, 18-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lgslem1b.i	⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵)
2lgslem1b.f	⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2))

Assertion

Ref	Expression
2lgslem1b	⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}

Distinct variable group:   𝑖,𝐼,𝑗,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐵(𝑥,𝑖,𝑗)   𝐹(𝑥,𝑖,𝑗)

Proof of Theorem 2lgslem1b

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2lgslem1b.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑗 ∈ 𝐼 ↦ (𝑗 · 2))
2		eqeq1 2742	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
3	2	rexbidv 3206	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑗 · 2) → (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2)))
4		elfzelz 12991	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑗 ∈ ℤ)
5		2lgslem1b.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (𝐴...𝐵)
6	4, 5	eleq2s 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ ℤ)
7		2z 12088	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
8	7	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 2 ∈ ℤ)
9	6, 8	zmulcld 12167	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ ℤ)
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → 𝑗 ∈ 𝐼)
11		oveq1 7171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → (𝑖 · 2) = (𝑗 · 2))
12	11	eqeq2d 2749	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 = 𝑗 → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
13	12	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ 𝑖 = 𝑗) → ((𝑗 · 2) = (𝑖 · 2) ↔ (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2)))
14		eqidd 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) = (𝑗 · 2))
15	10, 13, 14	rspcedvd 3527	. . . . 5 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → ∃𝑖 ∈ 𝐼 (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
16	3, 9, 15	elrabd 3587	. . . 4 ⊢ (𝑗 ∈ 𝐼 → (𝑗 · 2) ∈ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)})
17	1, 16	fmpti 6880	. . 3 ⊢ 𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
18		oveq1 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑦 → (𝑗 · 2) = (𝑦 · 2))
19		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ 𝐼)
20		ovexd 7199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑦 · 2) ∈ V)
21	1, 18, 19, 20	fvmptd3 6792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑦) = (𝑦 · 2))
22		oveq1 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑧 → (𝑗 · 2) = (𝑧 · 2))
23		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ 𝐼)
24		ovexd 7199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝑧 · 2) ∈ V)
25	1, 22, 23, 24	fvmptd3 6792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → (𝐹‘𝑧) = (𝑧 · 2))
26	21, 25	eqeq12d 2754	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) ↔ (𝑦 · 2) = (𝑧 · 2)))
27		elfzelz 12991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑦 ∈ ℤ)
28	27, 5	eleq2s 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℤ)
29	28	zcnd 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐼 → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑦 ∈ ℂ)
31		elfzelz 12991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑧 ∈ ℤ)
32	31, 5	eleq2s 2851	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℤ)
33	32	zcnd 12162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐼 → 𝑧 ∈ ℂ)
34	33	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 𝑧 ∈ ℂ)
35		2cnd 11787	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 ∈ ℂ)
36		2ne0 11813	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ≠ 0
37	36	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → 2 ≠ 0)
38	30, 34, 35, 37	mulcan2d 11345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) ↔ 𝑦 = 𝑧))
39	38	biimpd 232	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝑦 · 2) = (𝑧 · 2) → 𝑦 = 𝑧))
40	26, 39	sylbid 243	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) → ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧))
41	40	rgen2 3115	. . 3 ⊢ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)
42		dff13 7018	. . 3 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼⟶{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐼 ∀𝑧 ∈ 𝐼 ((𝐹‘𝑦) = (𝐹‘𝑧) → 𝑦 = 𝑧)))
43	17, 41, 42	mpbir2an 711	. 2 ⊢ 𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
44		oveq1 7171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑗 · 2) = (𝑖 · 2))
45	44	eqeq2d 2749	. . . . . 6 ⊢ (𝑗 = 𝑖 → (𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ 𝑥 = (𝑖 · 2)))
46	45	cbvrexvw 3349	. . . . 5 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))
47		elfzelz 12991	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 𝑖 ∈ ℤ)
48	7	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → 2 ∈ ℤ)
49	47, 48	zmulcld 12167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 ∈ (𝐴...𝐵) → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
50	49, 5	eleq2s 2851	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑖 · 2) ∈ ℤ)
51		eleq1 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑖 · 2) → (𝑥 ∈ ℤ ↔ (𝑖 · 2) ∈ ℤ))
52	50, 51	syl5ibrcom 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑖 ∈ 𝐼 → (𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ))
53	52	rexlimiv 3189	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) → 𝑥 ∈ ℤ)
54	53	pm4.71ri 564	. . . . 5 ⊢ (∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
55	46, 54	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2) ↔ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)))
56	55	abbii 2803	. . 3 ⊢ {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
57	1	rnmpt 5792	. . 3 ⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∣ ∃𝑗 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑗 · 2)}
58		df-rab 3062	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℤ ∧ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2))}
59	56, 57, 58	3eqtr4i 2771	. 2 ⊢ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}
60		dff1o5 6621	. 2 ⊢ (𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ↔ (𝐹:𝐼–1-1→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)} ∧ ran 𝐹 = {𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}))
61	43, 59, 60	mpbir2an 711	1 ⊢ 𝐹:𝐼–1-1-onto→{𝑥 ∈ ℤ ∣ ∃𝑖 ∈ 𝐼 𝑥 = (𝑖 · 2)}

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  {cab 2716   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3397   ↦ cmpt 5107  ran crn 5520  ⟶wf 6329  –1-1→wf1 6330  –1-1-onto→wf1o 6332  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164  ℂcc 10606  0cc0 10608   · cmul 10613  2c2 11764  ℤcz 12055  ...cfz 12974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-er 8313  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-fz 12975

This theorem is referenced by:  2lgslem1  26122