Theorem cncrngOLD 21420

Description: Obsolete version of cncrng 21419 as of 30-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jan-2015.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
cncrngOLD	⊢ ℂfld ∈ CRing

Proof of Theorem cncrngOLD

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnfldbas 21386	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂ = (Base‘ℂfld))
3		cnfldadd 21388	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → + = (+g‘ℂfld))
5		cnfldmul 21390	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → · = (.r‘ℂfld))
7		addcl 11235	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℂ)
8		addass 11240	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) + 𝑧) = (𝑥 + (𝑦 + 𝑧)))
9		0cn 11251	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℂ
10		addlid 11442	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (0 + 𝑥) = 𝑥)
11		negcl 11506	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → -𝑥 ∈ ℂ)
12		addcom 11445	. . . . . . 7 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
13	11, 12	mpancom 688	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = (𝑥 + -𝑥))
14		negid 11554	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 + -𝑥) = 0)
15	13, 14	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (-𝑥 + 𝑥) = 0)
16	1, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 15	isgrpi 18990	. . . 4 ⊢ ℂfld ∈ Grp
17	16	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ Grp)
18		mulcl 11237	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
19	18	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
20		mulass 11241	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
21	20	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 · 𝑦) · 𝑧) = (𝑥 · (𝑦 · 𝑧)))
22		adddi 11242	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
23	22	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → (𝑥 · (𝑦 + 𝑧)) = ((𝑥 · 𝑦) + (𝑥 · 𝑧)))
24		adddir 11250	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
25	24	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ)) → ((𝑥 + 𝑦) · 𝑧) = ((𝑥 · 𝑧) + (𝑦 · 𝑧)))
26		1cnd 11254	. . 3 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℂ)
27		mullid 11258	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (1 · 𝑥) = 𝑥)
28	27	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (1 · 𝑥) = 𝑥)
29		mulrid 11257	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 1) = 𝑥)
30	29	adantl 481	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 · 1) = 𝑥)
31		mulcom 11239	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
32	31	3adant1 1129	. . 3 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑦 · 𝑥))
33	2, 4, 6, 17, 19, 21, 23, 25, 26, 28, 30, 32	iscrngd 20306	. 2 ⊢ (⊤ → ℂfld ∈ CRing)
34	33	mptru 1544	1 ⊢ ℂfld ∈ CRing

Syntax hints:   ∧ w3a 1086   = wceq 1537  ⊤wtru 1538   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  -cneg 11491  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Grpcgrp 18964  CRingccrg 20252  ℂ_fldccnfld 21382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-cmn 19815  df-mgp 20153  df-ring 20253  df-cring 20254  df-cnfld 21383

This theorem is referenced by: (None)