Theorem mavmumamul1 22871

Description: The multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an NxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmumamul1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmumamul1.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, {∅}⟩)
mavmumamul1.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmumamul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmumamul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mavmumamul1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mavmumamul1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmumamul1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mavmumamul1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))

Assertion

Ref	Expression
mavmumamul1	⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ((𝑋 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝑋 × 𝑍)∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑗)   𝐵(𝑖, 𝑗)   𝑅(𝑖, 𝑗)   · (𝑖, 𝑗)   × (𝑖, 𝑗)   𝑋(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem mavmumamul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmumamul1.m	. 2 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, {∅}⟩)
2		mavmumamul1.t	. 2 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		mavmumamul1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		mavmumamul1.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		mavmumamul1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
6		mavmumamul1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
7		mavmumamul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8	7, 3	matbas2 22737	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
9	5, 4, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
10	6, 9	eleqtrrd 2863	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
11		mavmumamul1.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
12		mavmumamul1.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
13	1, 2, 3, 4, 5, 5, 10, 11, 12	mvmumamul1 22870	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ((𝑋 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝑋 × 𝑍)∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∅c0 4278  {csn 4583  ⟨cop 4589  ⟨cotp 4591   × cxp 5648  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8848  Fincfn 8974  Basecbs 17388  Ringcrg 20460   maMul cmmul 22706   Mat cmat 22723   maVecMul cmvmul 22856

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8477  df-er 8718  df-map 8850  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9355  df-sup 9435  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-9 12413  df-n0 12608  df-z 12695  df-dec 12816  df-uz 12967  df-fz 13641  df-struct 17326  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-ress 17410  df-plusg 17442  df-mulr 17443  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-tset 17448  df-ple 17449  df-ds 17451  df-hom 17453  df-cco 17454  df-0g 17613  df-prds 17619  df-pws 17621  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-dsmm 22039  df-frlm 22054  df-mamu 22707  df-mat 22724  df-mvmul 22857

This theorem is used by: (None)