Theorem mavmumamul1 22900

Description: The multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an NxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmumamul1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmumamul1.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, {∅}⟩)
mavmumamul1.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmumamul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmumamul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mavmumamul1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mavmumamul1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmumamul1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mavmumamul1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))

Assertion

Ref	Expression
mavmumamul1	⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ((𝑋 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝑋 × 𝑍)∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖, 𝑗)   𝐵(𝑖, 𝑗)   𝑅(𝑖, 𝑗)   · (𝑖, 𝑗)   × (𝑖, 𝑗)   𝑋(𝑖, 𝑗)

Proof of Theorem mavmumamul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmumamul1.m	. 2 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, {∅}⟩)
2		mavmumamul1.t	. 2 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		mavmumamul1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		mavmumamul1.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		mavmumamul1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
6		mavmumamul1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
7		mavmumamul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8	7, 3	matbas2 22766	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
9	5, 4, 8	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
10	6, 9	eleqtrrd 2867	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
11		mavmumamul1.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
12		mavmumamul1.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
13	1, 2, 3, 4, 5, 5, 10, 11, 12	mvmumamul1 22899	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ((𝑋 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝑋 × 𝑍)∅)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838  ⟨cotp 4861   × cxp 5653  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443   ↑_m cmap 8875  Fincfn 9001  Basecbs 17416  Ringcrg 20489   maMul cmmul 22735   Mat cmat 22752   maVecMul cmvmul 22885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-er 8745  df-map 8877  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-sup 9461  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-fz 13667  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-hom 17481  df-cco 17482  df-0g 17641  df-prds 17647  df-pws 17649  df-sra 21478  df-rgmod 21479  df-dsmm 22068  df-frlm 22083  df-mamu 22736  df-mat 22753  df-mvmul 22886

This theorem is used by: (None)