Theorem mavmumamul1 21299

Description: The multiplication of an NxN matrix with an N-dimensional vector corresponds to the matrix multiplication of an NxN matrix with an Nx1 matrix. (Contributed by AV, 14-Mar-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mavmumamul1.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mavmumamul1.m	⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, {∅}⟩)
mavmumamul1.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
mavmumamul1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mavmumamul1.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mavmumamul1.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
mavmumamul1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
mavmumamul1.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
mavmumamul1.z	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))

Assertion

Ref	Expression
mavmumamul1	⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ((𝑋 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝑋 × 𝑍)∅)))

Distinct variable groups:   𝑖,𝑗,𝑁   𝑖,𝑌,𝑗   𝑖,𝑍,𝑗   𝜑,𝑖,𝑗

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑖,𝑗)   𝐵(𝑖,𝑗)   𝑅(𝑖,𝑗)   · (𝑖,𝑗)   × (𝑖,𝑗)   𝑋(𝑖,𝑗)

Proof of Theorem mavmumamul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mavmumamul1.m	. 2 ⊢ × = (𝑅 maMul ⟨𝑁, 𝑁, {∅}⟩)
2		mavmumamul1.t	. 2 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		mavmumamul1.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		mavmumamul1.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
5		mavmumamul1.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ Fin)
6		mavmumamul1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐴))
7		mavmumamul1.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
8	7, 3	matbas2 21165	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
9	5, 4, 8	syl2anc 587	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)) = (Base‘𝐴))
10	6, 9	eleqtrrd 2836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × 𝑁)))
11		mavmumamul1.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝐵 ↑m 𝑁))
12		mavmumamul1.z	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (𝐵 ↑m (𝑁 × {∅})))
13	1, 2, 3, 4, 5, 5, 10, 11, 12	mvmumamul1 21298	1 ⊢ (𝜑 → (∀𝑗 ∈ 𝑁 (𝑌‘𝑗) = (𝑗𝑍∅) → ∀𝑖 ∈ 𝑁 ((𝑋 · 𝑌)‘𝑖) = (𝑖(𝑋 × 𝑍)∅)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3053  ∅c0 4209  {csn 4513  ⟨cop 4519  ⟨cotp 4521   × cxp 5517  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164   ↑_m cmap 8430  Fincfn 8548  Basecbs 16579  Ringcrg 19409   maMul cmmul 21129   Mat cmat 21151   maVecMul cmvmul 21284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-ot 4522  df-uni 4794  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-sup 8972  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-ip 16679  df-tset 16680  df-ple 16681  df-ds 16683  df-hom 16685  df-cco 16686  df-0g 16811  df-prds 16817  df-pws 16819  df-sra 20056  df-rgmod 20057  df-dsmm 20541  df-frlm 20556  df-mamu 21130  df-mat 21152  df-mvmul 21285

This theorem is referenced by: (None)