MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  naddid1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem naddid1 8630
Description: Ordinal zero is the additive identity for natural addition. (Contributed by Scott Fenton, 26-Aug-2024.)
Assertion
Ref Expression
naddid1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)

Proof of Theorem naddid1
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 7365 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = (𝑏 +no ∅))
2 id 22 . . 3 (𝑎 = 𝑏𝑎 = 𝑏)
31, 2eqeq12d 2753 . 2 (𝑎 = 𝑏 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝑏 +no ∅) = 𝑏))
4 oveq1 7365 . . 3 (𝑎 = 𝐴 → (𝑎 +no ∅) = (𝐴 +no ∅))
5 id 22 . . 3 (𝑎 = 𝐴𝑎 = 𝐴)
64, 5eqeq12d 2753 . 2 (𝑎 = 𝐴 → ((𝑎 +no ∅) = 𝑎 ↔ (𝐴 +no ∅) = 𝐴))
7 0elon 6372 . . . . . 6 ∅ ∈ On
8 naddov2 8626 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (𝑎 +no ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
97, 8mpan2 690 . . . . 5 (𝑎 ∈ On → (𝑎 +no ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
109adantr 482 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)})
11 ral0 4471 . . . . . . . 8 𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥
1211biantrur 532 . . . . . . 7 (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥))
13 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑏𝑥))
1413ralimi 3087 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → ∀𝑏𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑏𝑥))
15 ralbi 3107 . . . . . . . . . 10 (∀𝑏𝑎 ((𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑏𝑥) → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥))
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥))
1716adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥))
18 dfss3 3933 . . . . . . . 8 (𝑎𝑥 ↔ ∀𝑏𝑎 𝑏𝑥)
1917, 18bitr4di 289 . . . . . . 7 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥𝑎𝑥))
2012, 19bitr3id 285 . . . . . 6 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → ((∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥) ↔ 𝑎𝑥))
2120rabbidv 3416 . . . . 5 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥})
2221inteqd 4913 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ (∀𝑐 ∈ ∅ (𝑎 +no 𝑐) ∈ 𝑥 ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) ∈ 𝑥)} = {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥})
23 intmin 4930 . . . . 5 (𝑎 ∈ On → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥} = 𝑎)
2423adantr 482 . . . 4 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → {𝑥 ∈ On ∣ 𝑎𝑥} = 𝑎)
2510, 22, 243eqtrd 2781 . . 3 ((𝑎 ∈ On ∧ ∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏) → (𝑎 +no ∅) = 𝑎)
2625ex 414 . 2 (𝑎 ∈ On → (∀𝑏𝑎 (𝑏 +no ∅) = 𝑏 → (𝑎 +no ∅) = 𝑎))
273, 6, 26tfis3 7795 1 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +no ∅) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3065  {crab 3408  wss 3911  c0 4283   cint 4908  Oncon0 6318  (class class class)co 7358   +no cnadd 8612
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-nadd 8613
This theorem is referenced by:  naddword1  8637  addsproplem2  27285  mulsproplem2  34417
  Copyright terms: Public domain W3C validator