MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  negsubdi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem negsubdi 11378
Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
negsubdi ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (-𝐴 + 𝐵))

Proof of Theorem negsubdi
StepHypRef Expression
1 0cn 11068 . . 3 0 ∈ ℂ
2 subsub 11352 . . 3 ((0 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 − (𝐴𝐵)) = ((0 − 𝐴) + 𝐵))
31, 2mp3an1 1447 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (0 − (𝐴𝐵)) = ((0 − 𝐴) + 𝐵))
4 df-neg 11309 . 2 -(𝐴𝐵) = (0 − (𝐴𝐵))
5 df-neg 11309 . . 3 -𝐴 = (0 − 𝐴)
65oveq1i 7347 . 2 (-𝐴 + 𝐵) = ((0 − 𝐴) + 𝐵)
73, 4, 63eqtr4g 2801 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴𝐵) = (-𝐴 + 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1540  wcel 2105  (class class class)co 7337  cc 10970  0cc0 10972   + caddc 10975  cmin 11306  -cneg 11307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-er 8569  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-ltxr 11115  df-sub 11308  df-neg 11309
This theorem is referenced by:  negdi  11379  negsubdi2  11381  neg2sub  11382  negsubdid  11448  rebtwnz  12788  odd2np1  16149  sin2pim  25748  cos2pim  25749  dya2ub  32537  jm2.24  41048  sigarms  44723  onego  45449
  Copyright terms: Public domain W3C validator