Theorem rebtwnz 12997

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number. Exercise 4 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwnz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rebtwnz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11546	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		zbtwnre 12996	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)))
4		znegcl 12654	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5		znegcl 12654	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6		zcn 12621	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		zcn 12621	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		negcon2 11536	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑦))
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑦))
10	5, 9	reuhyp 5385	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = -𝑥)
11		breq2 5107	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (-𝐴 ≤ 𝑦 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12		breq1 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 < (-𝐴 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
13	11, 12	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → ((-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
14	4, 10, 13	reuxfr1 3710	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
15		zre 12620	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
16		leneg 11742	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
17	16	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
18		peano2rem 11550	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19		ltneg 11739	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
20	18, 19	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
21		1re 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		ltsubadd 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
23	21, 22	mp3an2 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
24		recn 11215	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25		ax-1cn 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		negsubdi 11539	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
27	24, 25, 26	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
29	28	breq2d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 < -(𝐴 − 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
30	20, 23, 29	3bitr3d 312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
31	17, 30	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
32	15, 31	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
33	32	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
34	33	reubidva 3379	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
35	14, 34	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
36	3, 35	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃!wreu 3363   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℂcc 11123  ℝcr 11124  1c1 11126   + caddc 11128   < clt 11268   ≤ cle 11269   − cmin 11466  -cneg 11467  ℤcz 12616

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9413  df-inf 9414  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889

This theorem is used by:  flcl  13857  fllelt  13859  flflp1  13869  flbi  13878  ltflcei  38363