Theorem rebtwnz 13012

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number. Exercise 4 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwnz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rebtwnz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11599	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		zbtwnre 13011	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)))
4		znegcl 12678	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5		znegcl 12678	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6		zcn 12644	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		zcn 12644	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		negcon2 11589	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑦))
9	6, 7, 8	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑦))
10	5, 9	reuhyp 5438	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = -𝑥)
11		breq2 5170	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (-𝐴 ≤ 𝑦 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12		breq1 5169	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 < (-𝐴 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
13	11, 12	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → ((-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
14	4, 10, 13	reuxfr1 3774	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
15		zre 12643	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
16		leneg 11793	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
17	16	ancoms 458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
18		peano2rem 11603	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19		ltneg 11790	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
20	18, 19	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
21		1re 11290	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		ltsubadd 11760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
23	21, 22	mp3an2 1449	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
24		recn 11274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25		ax-1cn 11242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		negsubdi 11592	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
27	24, 25, 26	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
28	27	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
29	28	breq2d 5178	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 < -(𝐴 − 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
30	20, 23, 29	3bitr3d 309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
31	17, 30	anbi12d 631	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
32	15, 31	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
33	32	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
34	33	reubidva 3404	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
35	14, 34	bitrid 283	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
36	3, 35	mpbid 232	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∃!wreu 3386   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℝcr 11183  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325   − cmin 11520  -cneg 11521  ℤcz 12639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904

This theorem is referenced by:  flcl  13846  fllelt  13848  flflp1  13858  flbi  13867  ltflcei  37568