Theorem rebtwnz 13114

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number. Exercise 4 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwnz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rebtwnz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11660	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		zbtwnre 13113	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < ( -𝐴 + 1)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < ( -𝐴 + 1)))
4		znegcl 12771	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5		znegcl 12771	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6		zcn 12738	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		zcn 12738	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		negcon2 11650	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑦))
9	6, 7, 8	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑦))
10	5, 9	reuhyp 5389	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = -𝑥)
11		breq2 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → ( -𝐴 ≤ 𝑦 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12		breq1 5111	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 < ( -𝐴 + 1) ↔ -𝑥 < ( -𝐴 + 1)))
13	11, 12	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (( -𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < ( -𝐴 + 1)) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < ( -𝐴 + 1))))
14	4, 10, 13	reuxfr1 3713	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < ( -𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < ( -𝐴 + 1)))
15		zre 12737	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
16		leneg 11859	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
17	16	ancoms 464	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
18		peano2rem 11664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19		ltneg 11856	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
20	18, 19	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
21		1re 11347	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		ltsubadd 11826	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
23	21, 22	mp3an2 1479	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
24		recn 11329	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		negsubdi 11653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = ( -𝐴 + 1))
27	24, 25, 26	sylancl 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(𝐴 − 1) = ( -𝐴 + 1))
28	27	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 − 1) = ( -𝐴 + 1))
29	28	breq2d 5120	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ( -𝑥 < -(𝐴 − 1) ↔ -𝑥 < ( -𝐴 + 1)))
30	20, 23, 29	3bitr3d 312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < ( -𝐴 + 1)))
31	17, 30	anbi12d 644	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < ( -𝐴 + 1))))
32	15, 31	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < ( -𝐴 + 1))))
33	32	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < ( -𝐴 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
34	33	reubidva 3383	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < ( -𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
35	14, 34	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑦 ∈ ℤ ( -𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < ( -𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
36	3, 35	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃!wreu 3367   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580   -cneg 11581  ℤcz 12733

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006

This theorem is used by:  flcl  13975  fllelt  13977  flflp1  13987  flbi  13996  ltflcei  38799