Theorem rebtwnz 12966

Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number. Exercise 4 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
rebtwnz	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rebtwnz

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11516	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2		zbtwnre 12965	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)))
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)))
4		znegcl 12624	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5		znegcl 12624	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6		zcn 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7		zcn 12591	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		negcon2 11506	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑦))
9	6, 7, 8	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 = -𝑥 ↔ 𝑥 = -𝑦))
10	5, 9	reuhyp 5391	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = -𝑥)
11		breq2 5113	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (-𝐴 ≤ 𝑦 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12		breq1 5112	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 < (-𝐴 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
13	11, 12	anbi12d 643	. . . 4 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → ((-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
14	4, 10, 13	reuxfr1 3715	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
15		zre 12590	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
16		leneg 11712	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
17	16	ancoms 463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 ≤ 𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
18		peano2rem 11520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19		ltneg 11709	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
20	18, 19	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
21		1re 11203	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
22		ltsubadd 11679	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
23	21, 22	mp3an2 1478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ 𝐴 < (𝑥 + 1)))
24		recn 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25		ax-1cn 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
26		negsubdi 11509	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
27	24, 25, 26	sylancl 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
28	27	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
29	28	breq2d 5121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 < -(𝐴 − 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
30	20, 23, 29	3bitr3d 312	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
31	17, 30	anbi12d 643	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
32	15, 31	sylan2 604	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
33	32	bicomd 226	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
34	33	reubidva 3383	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
35	14, 34	bitrid 286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1))))
36	3, 35	mpbid 235	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < (𝑥 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∃!wreu 3367   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  ℝcr 11094  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238   ≤ cle 11239   − cmin 11436  -cneg 11437  ℤcz 12586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12858

This theorem is referenced by:  flcl  13824  fllelt  13826  flflp1  13836  flbi  13845  ltflcei  38259