MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rebtwnz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rebtwnz 12987
Description: There is a unique greatest integer less than or equal to a real number. Exercise 4 of [Apostol] p. 28. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
rebtwnz (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem rebtwnz
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 11570 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
2 zbtwnre 12986 . . 3 (-𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)))
4 znegcl 12650 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ → -𝑥 ∈ ℤ)
5 znegcl 12650 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℤ → -𝑦 ∈ ℤ)
6 zcn 12616 . . . . . 6 (𝑦 ∈ ℤ → 𝑦 ∈ ℂ)
7 zcn 12616 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 negcon2 11560 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑦 = -𝑥𝑥 = -𝑦))
96, 7, 8syl2an 596 . . . . 5 ((𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → (𝑦 = -𝑥𝑥 = -𝑦))
105, 9reuhyp 5426 . . . 4 (𝑦 ∈ ℤ → ∃!𝑥 ∈ ℤ 𝑦 = -𝑥)
11 breq2 5152 . . . . 5 (𝑦 = -𝑥 → (-𝐴𝑦 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
12 breq1 5151 . . . . 5 (𝑦 = -𝑥 → (𝑦 < (-𝐴 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
1311, 12anbi12d 632 . . . 4 (𝑦 = -𝑥 → ((-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
144, 10, 13reuxfr1 3761 . . 3 (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
15 zre 12615 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℤ → 𝑥 ∈ ℝ)
16 leneg 11764 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
1716ancoms 458 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥𝐴 ↔ -𝐴 ≤ -𝑥))
18 peano2rem 11574 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 − 1) ∈ ℝ)
19 ltneg 11761 . . . . . . . . 9 (((𝐴 − 1) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
2018, 19sylan 580 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥 ↔ -𝑥 < -(𝐴 − 1)))
21 1re 11259 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
22 ltsubadd 11731 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥𝐴 < (𝑥 + 1)))
2321, 22mp3an2 1448 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐴 − 1) < 𝑥𝐴 < (𝑥 + 1)))
24 recn 11243 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
25 ax-1cn 11211 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
26 negsubdi 11563 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
2724, 25, 26sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℝ → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
2827adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
2928breq2d 5160 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (-𝑥 < -(𝐴 − 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
3020, 23, 293bitr3d 309 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐴 < (𝑥 + 1) ↔ -𝑥 < (-𝐴 + 1)))
3117, 30anbi12d 632 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
3215, 31sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)) ↔ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1))))
3332bicomd 223 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℤ) → ((-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
3433reubidva 3394 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑥 ∈ ℤ (-𝐴 ≤ -𝑥 ∧ -𝑥 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
3514, 34bitrid 283 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (∃!𝑦 ∈ ℤ (-𝐴𝑦𝑦 < (-𝐴 + 1)) ↔ ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1))))
363, 35mpbid 232 1 (𝐴 ∈ ℝ → ∃!𝑥 ∈ ℤ (𝑥𝐴𝐴 < (𝑥 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  ∃!wreu 3376   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  1c1 11154   + caddc 11156   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  -cneg 11491  cz 12611
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877
This theorem is referenced by:  flcl  13832  fllelt  13834  flflp1  13844  flbi  13853  ltflcei  37595
  Copyright terms: Public domain W3C validator