Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  onego Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem onego 42588
Description: The negative of an odd number is odd. (Contributed by AV, 20-Jun-2020.)
Assertion
Ref Expression
onego (𝐴 ∈ Odd → -𝐴 ∈ Odd )

Proof of Theorem onego
StepHypRef Expression
1 znegcl 11764 . . . 4 (𝐴 ∈ ℤ → -𝐴 ∈ ℤ)
21adantr 474 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ) → -𝐴 ∈ ℤ)
3 znegcl 11764 . . . . . 6 (((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ → -((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
43adantl 475 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ) → -((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
5 peano2zm 11772 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℤ)
65zcnd 11835 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
76adantr 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (𝐴 − 1) ∈ ℂ)
8 2cnd 11453 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ∈ ℂ)
9 2ne0 11486 . . . . . . 7 2 ≠ 0
109a1i 11 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ) → 2 ≠ 0)
11 divneg 11067 . . . . . . 7 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → -((𝐴 − 1) / 2) = (-(𝐴 − 1) / 2))
1211eleq1d 2844 . . . . . 6 (((𝐴 − 1) ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) → (-((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (-(𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
137, 8, 10, 12syl3anc 1439 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (-((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (-(𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
144, 13mpbid 224 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (-(𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ)
15 zcn 11733 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∈ ℂ)
16 1cnd 10371 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
17 negsubdi 10679 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 1) = (-𝐴 + 1))
1817eqcomd 2784 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 1) = -(𝐴 − 1))
1915, 16, 18syl2anc 579 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℤ → (-𝐴 + 1) = -(𝐴 − 1))
2019oveq1d 6937 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℤ → ((-𝐴 + 1) / 2) = (-(𝐴 − 1) / 2))
2120eleq1d 2844 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℤ → (((-𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (-(𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2221adantr 474 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (((-𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ ↔ (-(𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
2314, 22mpbird 249 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ) → ((-𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ)
242, 23jca 507 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ) → (-𝐴 ∈ ℤ ∧ ((-𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
25 isodd2 42577 . 2 (𝐴 ∈ Odd ↔ (𝐴 ∈ ℤ ∧ ((𝐴 − 1) / 2) ∈ ℤ))
26 isodd 42571 . 2 (-𝐴 ∈ Odd ↔ (-𝐴 ∈ ℤ ∧ ((-𝐴 + 1) / 2) ∈ ℤ))
2724, 25, 263imtr4i 284 1 (𝐴 ∈ Odd → -𝐴 ∈ Odd )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wne 2969  (class class class)co 6922  cc 10270  0cc0 10272  1c1 10273   + caddc 10275  cmin 10606  -cneg 10607   / cdiv 11032  2c2 11430  cz 11728   Odd codd 42567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-n0 11643  df-z 11729  df-odd 42569
This theorem is referenced by:  omoeALTV  42625  emoo  42642
  Copyright terms: Public domain W3C validator