Theorem dya2ub 34268

Description: An upper bound for a dyadic number. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Sep-2017.)

Assertion

Ref	Expression
dya2ub	⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅)

Proof of Theorem dya2ub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2z 12572	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℤ
2		uzid 12815	. . . . . . 7 ⊢ (2 ∈ ℤ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘2)
4		relogbzcl 26691	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (2 logb 𝑅) ∈ ℝ)
5	3, 4	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝑅) ∈ ℝ)
6	5	renegcld 11612	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → -(2 logb 𝑅) ∈ ℝ)
7		flltp1 13769	. . . 4 ⊢ (-(2 logb 𝑅) ∈ ℝ → -(2 logb 𝑅) < ((⌊‘-(2 logb 𝑅)) + 1))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → -(2 logb 𝑅) < ((⌊‘-(2 logb 𝑅)) + 1))
9		1z 12570	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℤ
10		fladdz 13794	. . . . 5 ⊢ ((-(2 logb 𝑅) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℤ) → (⌊‘(-(2 logb 𝑅) + 1)) = ((⌊‘-(2 logb 𝑅)) + 1))
11	6, 9, 10	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (⌊‘(-(2 logb 𝑅) + 1)) = ((⌊‘-(2 logb 𝑅)) + 1))
12	5	recnd 11209	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2 logb 𝑅) ∈ ℂ)
13		ax-1cn 11133	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
14		negsubdi 11485	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑅) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 logb 𝑅) − 1) = (-(2 logb 𝑅) + 1))
15		negsubdi2 11488	. . . . . . 7 ⊢ (((2 logb 𝑅) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → -((2 logb 𝑅) − 1) = (1 − (2 logb 𝑅)))
16	14, 15	eqtr3d 2767	. . . . . 6 ⊢ (((2 logb 𝑅) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (-(2 logb 𝑅) + 1) = (1 − (2 logb 𝑅)))
17	12, 13, 16	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (-(2 logb 𝑅) + 1) = (1 − (2 logb 𝑅)))
18	17	fveq2d 6865	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (⌊‘(-(2 logb 𝑅) + 1)) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))
19	11, 18	eqtr3d 2767	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → ((⌊‘-(2 logb 𝑅)) + 1) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))
20	8, 19	breqtrd 5136	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → -(2 logb 𝑅) < (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))
21	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 2 ∈ (ℤ≥‘2))
22		2rp 12963	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23	22	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 2 ∈ ℝ+)
24		1red 11182	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 1 ∈ ℝ)
25	24, 5	resubcld 11613	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 − (2 logb 𝑅)) ∈ ℝ)
26	25	flcld 13767	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))) ∈ ℤ)
27	23, 26	rpexpcld 14219	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))) ∈ ℝ+)
28	27	rpreccld 13012	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ∈ ℝ+)
29		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ+)
30		logblt 26701	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ∈ ℝ+ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅 ↔ (2 logb (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))) < (2 logb 𝑅)))
31	21, 28, 29, 30	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → ((1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅 ↔ (2 logb (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))) < (2 logb 𝑅)))
32		logbrec 26699	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))) ∈ ℝ+) → (2 logb (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))) = -(2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))))
33	21, 27, 32	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2 logb (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))) = -(2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))))
34	33	breq1d 5120	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → ((2 logb (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))) < (2 logb 𝑅) ↔ -(2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < (2 logb 𝑅)))
35		relogbzcl 26691	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))) ∈ ℝ+) → (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ∈ ℝ)
36	21, 27, 35	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ∈ ℝ)
37		ltnegcon1 11686	. . . . 5 ⊢ (((2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ∈ ℝ ∧ (2 logb 𝑅) ∈ ℝ) → (-(2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < (2 logb 𝑅) ↔ -(2 logb 𝑅) < (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))))
38	36, 5, 37	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (-(2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < (2 logb 𝑅) ↔ -(2 logb 𝑅) < (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))))
39	31, 34, 38	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → ((1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅 ↔ -(2 logb 𝑅) < (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))))
40		nnlogbexp 26698	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))) ∈ ℤ) → (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))
41	21, 26, 40	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) = (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))
42	41	breq2d 5122	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (-(2 logb 𝑅) < (2 logb (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) ↔ -(2 logb 𝑅) < (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))
43	39, 42	bitrd 279	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → ((1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅 ↔ -(2 logb 𝑅) < (⌊‘(1 − (2 logb 𝑅)))))
44	20, 43	mpbird 257	1 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → (1 / (2↑(⌊‘(1 − (2 logb 𝑅))))) < 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   − cmin 11412  -cneg 11413   / cdiv 11842  2c2 12248  ℤcz 12536  ℤ_≥cuz 12800  ℝ⁺crp 12958  ⌊cfl 13759  ↑cexp 14033   log_b clogb 26681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-fi 9369  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-fac 14246  df-bc 14275  df-hash 14303  df-shft 15040  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-limsup 15444  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-ef 16040  df-sin 16042  df-cos 16043  df-pi 16045  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17392  df-topn 17393  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-topgen 17413  df-pt 17414  df-prds 17417  df-xrs 17472  df-qtop 17477  df-imas 17478  df-xps 17480  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-mulg 19007  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-fbas 21268  df-fg 21269  df-cnfld 21272  df-top 22788  df-topon 22805  df-topsp 22827  df-bases 22840  df-cld 22913  df-ntr 22914  df-cls 22915  df-nei 22992  df-lp 23030  df-perf 23031  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-haus 23209  df-tx 23456  df-hmeo 23649  df-fil 23740  df-fm 23832  df-flim 23833  df-flf 23834  df-xms 24215  df-ms 24216  df-tms 24217  df-cncf 24778  df-limc 25774  df-dv 25775  df-log 26472  df-cxp 26473  df-logb 26682

This theorem is referenced by:  dya2icoseg  34275