Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigarms 45087
Description: Signed area is additive (with respect to subtraction) by the second argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
sigarms ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐶,𝑦
Allowed substitution hints:   𝐺(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem sigarms
StepHypRef Expression
1 simp1 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
2 simp2 1137 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
3 simp3 1138 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → 𝐶 ∈ ℂ)
42, 3subcld 11512 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐶) ∈ ℂ)
5 sigar . . . 4 𝐺 = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ ℂ ↦ (ℑ‘((∗‘𝑥) · 𝑦)))
65sigarac 45083 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝐵𝐶) ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵𝐶)) = -((𝐵𝐶)𝐺𝐴))
71, 4, 6syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵𝐶)) = -((𝐵𝐶)𝐺𝐴))
85sigarmf 45085 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐵𝐶)𝐺𝐴) = ((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)))
98negeqd 11395 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵𝐶)𝐺𝐴) = -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)))
1093com12 1123 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵𝐶)𝐺𝐴) = -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)))
11 3simpa 1148 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
1211ancomd 462 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
135sigarim 45082 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℝ)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℝ)
1514recnd 11183 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
16 3simpb 1149 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ))
1716ancomd 462 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ))
185sigarim 45082 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℝ)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℝ)
2019recnd 11183 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ)
21 negsubdi 11457 . . . . 5 (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) + (𝐶𝐺𝐴)))
22 simpl 483 . . . . . . 7 (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → (𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
2322negcld 11499 . . . . . 6 (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ)
24 simpr 485 . . . . . 6 (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ)
2523, 24subnegd 11519 . . . . 5 (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) + (𝐶𝐺𝐴)))
2621, 25eqtr4d 2779 . . . 4 (((𝐵𝐺𝐴) ∈ ℂ ∧ (𝐶𝐺𝐴) ∈ ℂ) → -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)))
2715, 20, 26syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵𝐺𝐴) − (𝐶𝐺𝐴)) = (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)))
2810, 27eqtrd 2776 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -((𝐵𝐶)𝐺𝐴) = (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)))
295sigarac 45083 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
301, 2, 29syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐵) = -(𝐵𝐺𝐴))
3130eqcomd 2742 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -(𝐵𝐺𝐴) = (𝐴𝐺𝐵))
325sigarac 45083 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) = -(𝐶𝐺𝐴))
331, 3, 32syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺𝐶) = -(𝐶𝐺𝐴))
3433eqcomd 2742 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → -(𝐶𝐺𝐴) = (𝐴𝐺𝐶))
3531, 34oveq12d 7375 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (-(𝐵𝐺𝐴) − -(𝐶𝐺𝐴)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)))
367, 28, 353eqtrd 2780 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴𝐺(𝐵𝐶)) = ((𝐴𝐺𝐵) − (𝐴𝐺𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  cmpo 7359  cc 11049  cr 11050   + caddc 11054   · cmul 11056  cmin 11385  -cneg 11386  ccj 14981  cim 14983
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-po 5545  df-so 5546  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-2 12216  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986
This theorem is referenced by:  sigarexp  45090  sigaradd  45097
  Copyright terms: Public domain W3C validator