Users' Mathboxes Mathbox for Saveliy Skresanov < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sigarms Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sigarms 46141
Description: Signed area is additive (with respect to subtraction) by the second argument. (Contributed by Saveliy Skresanov, 19-Sep-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sigar ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
Assertion
Ref Expression
sigarms ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ด๐บ๐ถ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐ถ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem sigarms
StepHypRef Expression
1 simp1 1133 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
2 simp2 1134 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
3 simp3 1135 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
42, 3subcld 11575 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚)
5 sigar . . . 4 ๐บ = (๐‘ฅ โˆˆ โ„‚, ๐‘ฆ โˆˆ โ„‚ โ†ฆ (โ„‘โ€˜((โˆ—โ€˜๐‘ฅ) ยท ๐‘ฆ)))
65sigarac 46137 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ต โˆ’ ๐ถ) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = -((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ด))
71, 4, 6syl2anc 583 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = -((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ด))
85sigarmf 46139 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ด) = ((๐ต๐บ๐ด) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ด)))
98negeqd 11458 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ด) = -((๐ต๐บ๐ด) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ด)))
1093com12 1120 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ด) = -((๐ต๐บ๐ด) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ด)))
11 3simpa 1145 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚))
1211ancomd 461 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
135sigarim 46136 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„)
1412, 13syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„)
1514recnd 11246 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚)
16 3simpb 1146 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚))
1716ancomd 461 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚))
185sigarim 46136 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ด) โˆˆ โ„)
1917, 18syl 17 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ด) โˆˆ โ„)
2019recnd 11246 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚)
21 negsubdi 11520 . . . . 5 (((๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ -((๐ต๐บ๐ด) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ด)) = (-(๐ต๐บ๐ด) + (๐ถ๐บ๐ด)))
22 simpl 482 . . . . . . 7 (((๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2322negcld 11562 . . . . . 6 (((๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚)
24 simpr 484 . . . . . 6 (((๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚)
2523, 24subnegd 11582 . . . . 5 (((๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(๐ต๐บ๐ด) โˆ’ -(๐ถ๐บ๐ด)) = (-(๐ต๐บ๐ด) + (๐ถ๐บ๐ด)))
2621, 25eqtr4d 2769 . . . 4 (((๐ต๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ถ๐บ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ -((๐ต๐บ๐ด) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ด)) = (-(๐ต๐บ๐ด) โˆ’ -(๐ถ๐บ๐ด)))
2715, 20, 26syl2anc 583 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ -((๐ต๐บ๐ด) โˆ’ (๐ถ๐บ๐ด)) = (-(๐ต๐บ๐ด) โˆ’ -(๐ถ๐บ๐ด)))
2810, 27eqtrd 2766 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ -((๐ต โˆ’ ๐ถ)๐บ๐ด) = (-(๐ต๐บ๐ด) โˆ’ -(๐ถ๐บ๐ด)))
295sigarac 46137 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = -(๐ต๐บ๐ด))
301, 2, 29syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ๐ต) = -(๐ต๐บ๐ด))
3130eqcomd 2732 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ต๐บ๐ด) = (๐ด๐บ๐ต))
325sigarac 46137 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ๐ถ) = -(๐ถ๐บ๐ด))
331, 3, 32syl2anc 583 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ๐ถ) = -(๐ถ๐บ๐ด))
3433eqcomd 2732 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ -(๐ถ๐บ๐ด) = (๐ด๐บ๐ถ))
3531, 34oveq12d 7423 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (-(๐ต๐บ๐ด) โˆ’ -(๐ถ๐บ๐ด)) = ((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ด๐บ๐ถ)))
367, 28, 353eqtrd 2770 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ด๐บ(๐ต โˆ’ ๐ถ)) = ((๐ด๐บ๐ต) โˆ’ (๐ด๐บ๐ถ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆˆ cmpo 7407  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11448  -cneg 11449  โˆ—ccj 15049  โ„‘cim 15051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-2 12279  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054
This theorem is referenced by:  sigarexp  46144  sigaradd  46151
  Copyright terms: Public domain W3C validator