Theorem negsubdi2 11457

Description: Distribution of negative over subtraction. (Contributed by NM, 4-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
negsubdi2	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Proof of Theorem negsubdi2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negsubdi 11454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (-𝐴 + 𝐵))
2		negcl 11397	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
3		addcom 11336	. . 3 ⊢ ((-𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + -𝐴))
4	2, 3	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝐴 + 𝐵) = (𝐵 + -𝐴))
5		negsub 11446	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
6	5	ancoms 458	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵 + -𝐴) = (𝐵 − 𝐴))
7	1, 4, 6	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → -(𝐴 − 𝐵) = (𝐵 − 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042   + caddc 11047   − cmin 11381  -cneg 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  neg2sub  11458  negsubdi2d  11525  subeqrev  11576  mulsub2  11598  div2sub  11983  elz2  12523  fzshftral  13552  sqsubswap  14058  abssub  15269  abs2difabs  15277  3dvds  16277  dvdsprmpweqle  16833  sin2pim  26427  cos2pim  26428  ptolemy  26438  logtayl2  26604  ang180lem1  26752  ang180lem2  26753  isosctrlem2  26762  atanlogsublem  26858  1sgm2ppw  27144  mersenne  27171  2sqblem  27375  axeuclidlem  28942  dya2ub  34254  pellexlem6  42815  submodlt  47344