Theorem nn0re 12481

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0re	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 12476	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2	1	sseli 3979	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  ℝcr 11109  ℕ₀cn0 12472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-nn 12213  df-n0 12473

This theorem is referenced by:  nn0ge0  12497  nn0nlt0  12498  nn0le0eq0  12500  nn0p1gt0  12501  elnnnn0c  12517  nn0addge1  12518  nn0addge2  12519  nn0sub  12522  ltsubnn0  12523  nn0negleid  12524  difgtsumgt  12525  nn0n0n1ge2b  12540  nn0ge2m1nn  12541  nn0nndivcl  12543  xnn0xr  12549  nn0nepnf  12552  xnn0nemnf  12555  elznn0nn  12572  nn0lt2  12625  nn0le2is012  12626  nn0ge0div  12631  nn01to3  12925  xnn0xaddcl  13214  xnn0lem1lt  13223  xnn0lenn0nn0  13224  xnn0xadd0  13226  nn0rp0  13432  xnn0xrge0  13483  nn0fz0  13599  elfz0fzfz0  13606  fz0fzelfz0  13607  fz0fzdiffz0  13610  fzctr  13613  difelfzle  13614  difelfznle  13615  fvffz0  13619  fzoun  13669  nn0p1elfzo  13675  elfzo0le  13676  fzonmapblen  13678  fzofzim  13679  elincfzoext  13690  elfzodifsumelfzo  13698  fzonn0p1  13709  fzonn0p1p1  13711  ssfzoulel  13726  ubmelm1fzo  13728  elfznelfzo  13737  fvinim0ffz  13751  subfzo0  13754  adddivflid  13783  divfl0  13789  fldivnn0le  13797  flltdivnn0lt  13798  quoremnn0ALT  13822  modmuladdnn0  13880  addmodid  13884  modifeq2int  13898  modfzo0difsn  13908  modsumfzodifsn  13909  addmodlteq  13911  ssnn0fi  13950  fsuppmapnn0fiub0  13958  suppssfz  13959  nn0sq11  14097  bernneq  14192  bernneq3  14194  facwordi  14249  faclbnd  14250  faclbnd3  14252  faclbnd5  14258  faclbnd6  14259  facubnd  14260  facavg  14261  bcval4  14267  bcval5  14278  bcpasc  14281  hashbnd  14296  hashnnn0genn0  14303  hashnemnf  14304  hashclb  14318  hashneq0  14324  hashsdom  14341  hashunsnggt  14354  fi1uzind  14458  ccat0  14526  ccat2s1fvw  14588  swrdnd0  14607  swrdsbslen  14614  swrdspsleq  14615  pfxnd0  14638  swrdswrdlem  14654  swrdswrd  14655  swrdccatin1  14675  pfxccatin12lem2  14681  pfxccatin12lem3  14682  pfxccat3  14684  swrdccat  14685  pfxccat3a  14688  swrdccat3blem  14689  repswswrd  14734  2cshw  14763  cshweqrep  14771  cshwcsh2id  14779  2swrd2eqwrdeq  14904  nn0sqeq1  15223  isercoll  15614  o1fsum  15759  geomulcvg  15822  rerisefaccl  15961  refallfaccl  15962  rprisefaccl  15967  dvdseq  16257  oddge22np1  16292  nn0ehalf  16321  nn0o1gt2  16324  nn0o  16326  nn0oddm1d2  16328  bitsfi  16378  bitsinv1  16383  gcdn0gt0  16459  nn0gcdid0  16462  absmulgcd  16491  nn0seqcvgd  16507  algcvgblem  16514  algcvga  16516  lcmgcdnn  16548  lcmfun  16582  lcmfass  16583  prmfac1  16658  prmndvdsfaclt  16662  nonsq  16695  hashgcdlem  16721  odzdvds  16728  iserodd  16768  pcprendvds  16773  pcdvdsb  16802  pcidlem  16805  dvdsprmpweqle  16819  difsqpwdvds  16820  pcfaclem  16831  prmunb  16847  ramtcl2  16944  ramubcl  16951  ram0  16955  ramub1lem1  16959  cshwshashlem2  17030  smndex1iidm  18782  sylow1lem1  19466  pgpssslw  19482  efgsfo  19607  efgred  19616  telgsums  19861  prmirredlem  21042  prmirred  21044  psrbagconOLD  21484  gsumbagdiaglemOLD  21491  gsumbagdiaglem  21494  psrridm  21524  coe1tmmul2  21798  gsummoncoe1  21828  mp2pm2mplem4  22311  fvmptnn04ifb  22353  chfacfisf  22356  chfacfisfcpmat  22357  chfacffsupp  22358  chfacfscmul0  22360  chfacfpmmul0  22364  dyaddisj  25113  mdegle0  25595  deg1nn0clb  25608  deg1ge  25616  deg1tmle  25635  ply1divex  25654  plyco0  25706  coeeulem  25738  coeaddlem  25763  coe1termlem  25772  dgreq0  25779  dgrlt  25780  plydivex  25810  aannenlem1  25841  taylfvallem1  25869  tayl0  25874  radcnvlem1  25925  radcnvlem2  25926  dvradcnv  25933  leibpi  26447  log2tlbnd  26450  birthdaylem3  26458  zetacvg  26519  basellem2  26586  basellem3  26587  chpp1  26659  bcmono  26780  bcmax  26781  lgsdinn0  26848  2lgslem1c  26896  2sq2  26936  2sqreulem1  26949  2sqreultlem  26950  dchrisumlem1  26992  ostth2lem2  27137  nbusgrvtxm1  28636  upgrewlkle2  28863  pthdlem1  29023  crctcshwlkn0lem4  29067  crctcshwlkn0  29075  crctcsh  29078  wwlksm1edg  29135  wwlksnred  29146  wwlksnredwwlkn  29149  wwlksnredwwlkn0  29150  wwlksnextwrd  29151  wwlksnextfun  29152  wwlksnextinj  29153  wwlksnextproplem1  29163  wwlksnextproplem2  29164  wwlksnextproplem3  29165  clwlkclwwlklem2a1  29245  clwlkclwwlklem2a2  29246  clwlkclwwlklem2fv1  29248  clwlkclwwlklem2fv2  29249  clwlkclwwlklem2a4  29250  clwlkclwwlklem2a  29251  clwlkclwwlklem2  29253  clwlkclwwlk  29255  clwlkclwwlk2  29256  clwlkclwwlkf  29261  clwwisshclwwslem  29267  clwwlkel  29299  wwlksext2clwwlk  29310  clwlknf1oclwwlknlem1  29334  clwwlknonex2lem2  29361  eupth2lems  29491  eupth2  29492  eucrctshift  29496  numclwwlk7  29644  frgrreggt1  29646  frgrreg  29647  frgrogt3nreg  29650  friendship  29652  nn0xmulclb  31984  dpcl  32057  wrdt2ind  32117  hasheuni  33083  eulerpartlems  33359  hgt750lem  33663  0nn0m1nnn0  34102  derangen  34163  faclimlem1  34713  poimirlem28  36516  rrntotbnd  36704  sticksstones22  40984  factwoffsmonot  41023  gcdnn0id  41220  nn0addcom  41323  zaddcomlem  41324  nn0mulcom  41327  nacsfix  41450  eldioph2lem1  41498  irrapxlem4  41563  pell14qrgt0  41597  pell1qrgaplem  41611  pellqrexplicit  41615  rmxycomplete  41656  jm2.17a  41699  jm2.17b  41700  rmygeid  41703  jm2.22  41734  rmxdiophlem  41754  hbtlem5  41870  hbt  41872  fperiodmullem  44013  dvnxpaek  44658  stoweidlem17  44733  wallispilem3  44783  stirlinglem5  44794  stirlinglem7  44796  fourierdlem16  44839  fourierdlem21  44844  fourierdlem22  44845  fourierdlem83  44905  fourierdlem112  44934  elaa2lem  44949  etransclem23  44973  zm1nn  46010  nn0resubcl  46016  fz0addge0  46027  elfzlble  46028  subsubelfzo0  46034  2ffzoeq  46036  iccpartigtl  46091  lswn0  46112  sqrtpwpw2p  46206  fmtnodvds  46212  goldbachth  46215  odz2prm2pw  46231  flsqrt  46261  nn0e  46365  nn0sumltlt  47026  ply1mulgsumlem2  47068  nn0eo  47214  flnn0div2ge  47219  fllog2  47254  dignn0fr  47287  digexp  47293  dig2nn0  47297  0dig2nn0e  47298  dig2bits  47300  itcovalt2lem2lem1  47359