Theorem nn0re 12505

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0re	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 12500	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2	1	sseli 3974	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2099  ℝcr 11131  ℕ₀cn0 12496

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12237  df-n0 12497

This theorem is referenced by:  nn0ge0  12521  nn0nlt0  12522  nn0le0eq0  12524  nn0p1gt0  12525  elnnnn0c  12541  nn0addge1  12542  nn0addge2  12543  nn0sub  12546  ltsubnn0  12547  nn0negleid  12548  difgtsumgt  12549  nn0n0n1ge2b  12564  nn0ge2m1nn  12565  nn0nndivcl  12567  xnn0xr  12573  nn0nepnf  12576  xnn0nemnf  12579  elznn0nn  12596  nn0lt2  12649  nn0le2is012  12650  nn0ge0div  12655  nn01to3  12949  xnn0xaddcl  13240  xnn0lem1lt  13249  xnn0lenn0nn0  13250  xnn0xadd0  13252  nn0rp0  13458  xnn0xrge0  13509  nn0fz0  13625  elfz0fzfz0  13632  fz0fzelfz0  13633  fz0fzdiffz0  13636  fzctr  13639  difelfzle  13640  difelfznle  13641  fvffz0  13645  fzoun  13695  nn0p1elfzo  13701  elfzo0le  13702  fzonmapblen  13704  fzofzim  13705  elincfzoext  13716  elfzodifsumelfzo  13724  fzonn0p1  13735  fzonn0p1p1  13737  ssfzoulel  13752  ubmelm1fzo  13754  elfznelfzo  13763  fvinim0ffz  13777  subfzo0  13780  adddivflid  13809  divfl0  13815  fldivnn0le  13823  flltdivnn0lt  13824  quoremnn0ALT  13848  modmuladdnn0  13906  addmodid  13910  modifeq2int  13924  modfzo0difsn  13934  modsumfzodifsn  13935  addmodlteq  13937  ssnn0fi  13976  fsuppmapnn0fiub0  13984  suppssfz  13985  nn0sq11  14122  bernneq  14217  bernneq3  14219  facwordi  14274  faclbnd  14275  faclbnd3  14277  faclbnd5  14283  faclbnd6  14284  facubnd  14285  facavg  14286  bcval4  14292  bcval5  14303  bcpasc  14306  hashbnd  14321  hashnnn0genn0  14328  hashnemnf  14329  hashclb  14343  hashneq0  14349  hashsdom  14366  hashunsnggt  14379  fi1uzind  14484  ccat0  14552  ccat2s1fvw  14614  swrdnd0  14633  swrdsbslen  14640  swrdspsleq  14641  pfxnd0  14664  swrdswrdlem  14680  swrdswrd  14681  swrdccatin1  14701  pfxccatin12lem2  14707  pfxccatin12lem3  14708  pfxccat3  14710  swrdccat  14711  pfxccat3a  14714  swrdccat3blem  14715  repswswrd  14760  2cshw  14789  cshweqrep  14797  cshwcsh2id  14805  2swrd2eqwrdeq  14930  nn0sqeq1  15249  isercoll  15640  o1fsum  15785  geomulcvg  15848  rerisefaccl  15987  refallfaccl  15988  rprisefaccl  15993  dvdseq  16284  oddge22np1  16319  nn0ehalf  16348  nn0o1gt2  16351  nn0o  16353  nn0oddm1d2  16355  bitsfi  16405  bitsinv1  16410  gcdn0gt0  16486  nn0gcdid0  16489  absmulgcd  16518  nn0seqcvgd  16534  algcvgblem  16541  algcvga  16543  lcmgcdnn  16575  lcmfun  16609  lcmfass  16610  prmfac1  16685  prmndvdsfaclt  16690  nonsq  16724  hashgcdlem  16750  odzdvds  16757  iserodd  16797  pcprendvds  16802  pcdvdsb  16831  pcidlem  16834  dvdsprmpweqle  16848  difsqpwdvds  16849  pcfaclem  16860  prmunb  16876  ramtcl2  16973  ramubcl  16980  ram0  16984  ramub1lem1  16988  cshwshashlem2  17059  smndex1iidm  18846  sylow1lem1  19546  pgpssslw  19562  efgsfo  19687  efgred  19696  telgsums  19941  prmirredlem  21391  prmirred  21393  psrbagconOLD  21857  gsumbagdiaglemOLD  21865  gsumbagdiaglem  21868  psrridm  21899  psdmul  22083  coe1tmmul2  22188  gsummoncoe1  22220  mp2pm2mplem4  22704  fvmptnn04ifb  22746  chfacfisf  22749  chfacfisfcpmat  22750  chfacffsupp  22751  chfacfscmul0  22753  chfacfpmmul0  22757  dyaddisj  25518  mdegle0  26006  deg1nn0clb  26019  deg1ge  26027  deg1tmle  26046  ply1divex  26065  plyco0  26119  coeeulem  26151  coeaddlem  26176  coe1termlem  26185  dgreq0  26193  dgrlt  26194  plydivex  26225  aannenlem1  26256  taylfvallem1  26284  tayl0  26289  radcnvlem1  26342  radcnvlem2  26343  dvradcnv  26350  leibpi  26867  log2tlbnd  26870  birthdaylem3  26878  zetacvg  26940  basellem2  27007  basellem3  27008  chpp1  27080  bcmono  27203  bcmax  27204  lgsdinn0  27271  2lgslem1c  27319  2sq2  27359  2sqreulem1  27372  2sqreultlem  27373  dchrisumlem1  27415  ostth2lem2  27560  nbusgrvtxm1  29185  upgrewlkle2  29413  pthdlem1  29573  crctcshwlkn0lem4  29617  crctcshwlkn0  29625  crctcsh  29628  wwlksm1edg  29685  wwlksnred  29696  wwlksnredwwlkn  29699  wwlksnredwwlkn0  29700  wwlksnextwrd  29701  wwlksnextfun  29702  wwlksnextinj  29703  wwlksnextproplem1  29713  wwlksnextproplem2  29714  wwlksnextproplem3  29715  clwlkclwwlklem2a1  29795  clwlkclwwlklem2a2  29796  clwlkclwwlklem2fv1  29798  clwlkclwwlklem2fv2  29799  clwlkclwwlklem2a4  29800  clwlkclwwlklem2a  29801  clwlkclwwlklem2  29803  clwlkclwwlk  29805  clwlkclwwlk2  29806  clwlkclwwlkf  29811  clwwisshclwwslem  29817  clwwlkel  29849  wwlksext2clwwlk  29860  clwlknf1oclwwlknlem1  29884  clwwlknonex2lem2  29911  eupth2lems  30041  eupth2  30042  eucrctshift  30046  numclwwlk7  30194  frgrreggt1  30196  frgrreg  30197  frgrogt3nreg  30200  friendship  30202  nn0xmulclb  32535  dpcl  32608  wrdt2ind  32668  hasheuni  33698  eulerpartlems  33974  hgt750lem  34277  0nn0m1nnn0  34716  derangen  34776  faclimlem1  35331  poimirlem28  37115  rrntotbnd  37303  sticksstones22  41634  factwoffsmonot  41688  gcdnn0id  41883  nn0addcom  41999  zaddcomlem  42000  nn0mulcom  42003  nacsfix  42126  eldioph2lem1  42174  irrapxlem4  42239  pell14qrgt0  42273  pell1qrgaplem  42287  pellqrexplicit  42291  rmxycomplete  42332  jm2.17a  42375  jm2.17b  42376  rmygeid  42379  jm2.22  42410  rmxdiophlem  42430  hbtlem5  42546  hbt  42548  fperiodmullem  44679  dvnxpaek  45324  stoweidlem17  45399  wallispilem3  45449  stirlinglem5  45460  stirlinglem7  45462  fourierdlem16  45505  fourierdlem21  45510  fourierdlem22  45511  fourierdlem83  45571  fourierdlem112  45600  elaa2lem  45615  etransclem23  45639  zm1nn  46676  nn0resubcl  46682  fz0addge0  46693  elfzlble  46694  subsubelfzo0  46700  2ffzoeq  46702  iccpartigtl  46757  lswn0  46778  sqrtpwpw2p  46872  fmtnodvds  46878  goldbachth  46881  odz2prm2pw  46897  flsqrt  46927  nn0e  47031  nn0sumltlt  47408  ply1mulgsumlem2  47449  nn0eo  47595  flnn0div2ge  47600  fllog2  47635  dignn0fr  47668  digexp  47674  dig2nn0  47678  0dig2nn0e  47679  dig2bits  47681  itcovalt2lem2lem1  47740