Theorem nn0re 12615

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0re	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 12610	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2	1	sseli 3927	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  ℝcr 11199  ℕ₀cn0 12606

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-nn 12336  df-n0 12607

This theorem is used by:  nn0ge0  12631  nn0nlt0  12632  nn0le0eq0  12634  nn0p1gt0  12635  elnnnn0c  12651  nn0addge1  12652  nn0addge2  12653  nn0sub  12656  ltsubnn0  12657  nn0negleid  12658  difgtsumgt  12659  nn0le2x  12660  nn0n0n1ge2b  12675  nn0ge2m1nn  12676  nn0nndivcl  12678  xnn0xr  12684  nn0nepnf  12687  xnn0nemnf  12690  elznn0nn  12707  0nn0m1nnn0  12753  nn0lt2  12762  nn0le2is012  12763  nn0ge0div  12768  nn01to3  13068  xnn0xaddcl  13365  xnn0lem1lt  13374  xnn0lenn0nn0  13375  xnn0xadd0  13377  nn0rp0  13586  xnn0xrge0  13637  nn0fz0  13759  elfz0fzfz0  13767  fz0fzelfz0  13768  fz0fzdiffz0  13771  fzctr  13774  difelfzle  13775  difelfznle  13776  fvffz0  13780  fzoun  13831  nn0p1elfzo  13837  elfzo0le  13838  fzonmapblen  13843  fzofzim  13844  elincfzoext  13858  elfzodifsumelfzo  13866  fzonn0p1  13877  fzonn0p1p1  13879  ssfzoulel  13895  ubmelm1fzo  13898  elfznelfzo  13908  fvinim0ffz  13924  subfzo0  13928  adddivflid  13958  divfl0  13964  fldivnn0le  13972  flltdivnn0lt  13973  quoremnn0ALT  13997  modmuladdnn0  14058  addmodid  14062  modifeq2int  14076  modfzo0difsn  14086  modsumfzodifsn  14087  addmodlteq  14089  ssnn0fi  14128  fsuppmapnn0fiub0  14136  suppssfz  14137  nn0sq11  14275  bernneq  14373  bernneq3  14375  facwordi  14433  faclbnd  14434  faclbnd3  14436  faclbnd5  14442  faclbnd6  14443  facubnd  14444  facavg  14445  bcval4  14451  bcval5  14462  bcpasc  14465  hashbnd  14480  hashnnn0genn0  14487  hashnemnf  14488  hashclb  14502  hashneq0  14508  hashsdom  14525  hashunsnggt  14538  fi1uzind  14652  ccat0  14721  ccat2s1fvw  14786  swrdnd0  14807  swrdsbslen  14814  swrdspsleq  14815  pfxnd0  14838  swrdswrdlem  14853  swrdswrd  14854  swrdccatin1  14874  pfxccatin12lem2  14880  pfxccatin12lem3  14881  pfxccat3  14883  swrdccat  14884  pfxccat3a  14887  swrdccat3blem  14888  repswswrd  14935  2cshw  14964  cshweqrep  14972  cshwcsh2id  14979  2swrd2eqwrdeq  15106  nn0sqeq1  15443  nn0absid  15597  isercoll  15835  o1fsum  15980  geomulcvg  16045  rerisefaccl  16184  refallfaccl  16185  rprisefaccl  16190  dvdseq  16484  oddge22np1  16519  nn0ehalf  16548  nn0o1gt2  16551  nn0o  16553  nn0oddm1d2  16555  bitsfi  16607  bitsinv1  16612  gcdn0gt0  16690  nn0gcdid0  16693  gcdnn0id  16700  absmulgcd  16722  nn0seqcvgd  16745  algcvgblem  16752  algcvga  16754  lcmgcdnn  16786  lcmfun  16820  lcmfass  16821  prmfac1  16896  prmndvdsfaclt  16901  nonsq  16935  hashgcdlem  16965  odzdvds  16973  iserodd  17013  pcprendvds  17018  pcdvdsb  17047  pcidlem  17050  dvdsprmpweqle  17064  difsqpwdvds  17065  pcfaclem  17076  prmunb  17092  ramtcl2  17189  ramubcl  17196  ram0  17200  ramub1lem1  17204  cshwshashlem2  17274  smndex1iidm  19097  sylow1lem1  19812  pgpssslw  19828  efgsfo  19953  efgred  19962  telgsums  20207  prmirredlem  21778  prmirred  21780  gsumbagdiaglem  22239  psrridm  22270  psdmul  22487  coe1tmmul2  22595  gsummoncoe1  22626  mp2pm2mplem4  23127  fvmptnn04ifb  23169  chfacfisf  23172  chfacfisfcpmat  23173  chfacffsupp  23174  chfacfscmul0  23176  chfacfpmmul0  23180  dyaddisj  25917  mdegle0  26395  deg1nn0clb  26408  deg1ge  26416  deg1tmle  26436  ply1divex  26455  plyco0  26510  coeeulem  26543  coeaddlem  26568  coe1termlem  26577  dgreq0  26584  dgrlt  26585  plydivex  26618  aannenlem1  26655  taylfvallem1  26684  tayl0  26689  radcnvlem1  26740  radcnvlem2  26741  dvradcnv  26748  leibpi  27270  log2tlbnd  27273  birthdaylem3  27281  zetacvg  27342  basellem2  27409  basellem3  27410  chpp1  27482  bcmono  27604  bcmax  27605  lgsdinn0  27672  2lgslem1c  27720  2sq2  27760  2sqreulem1  27773  2sqreultlem  27774  dchrisumlem1  27816  ostth2lem2  27961  nbusgrvtxm1  29960  upgrewlkle2  30187  pthdlem1  30352  crctcshwlkn0lem4  30402  crctcshwlkn0  30410  crctcsh  30413  wwlksm1edg  30470  wwlksnred  30481  wwlksnredwwlkn  30484  wwlksnredwwlkn0  30485  wwlksnextwrd  30486  wwlksnextfun  30487  wwlksnextinj  30488  wwlksnextproplem1  30498  wwlksnextproplem2  30499  wwlksnextproplem3  30500  clwlkclwwlklem2a1  30583  clwlkclwwlklem2a2  30584  clwlkclwwlklem2fv1  30586  clwlkclwwlklem2fv2  30587  clwlkclwwlklem2a4  30588  clwlkclwwlklem2a  30589  clwlkclwwlklem2  30591  clwlkclwwlk  30593  clwlkclwwlk2  30594  clwlkclwwlkf  30599  clwwisshclwwslem  30605  clwwlkel  30637  wwlksext2clwwlk  30648  clwlknf1oclwwlknlem1  30672  clwwlknonex2lem2  30699  eupth2lems  30839  eupth2  30840  eucrctshift  30844  numclwwlk7  30992  frgrreggt1  30994  frgrreg  30995  frgrogt3nreg  30998  friendship  31000  nn0mnfxrd  33343  nn0xmulclb  33363  dpcl  33457  wrdt2ind  33516  hasheuni  34717  eulerpartlems  34992  hgt750lem  35280  derangen  35937  faclimlem1  36508  poimirlem28  38566  rrntotbnd  38770  sticksstones22  43218  nn0addcom  43526  zaddcomlem  43527  nn0mulcom  43530  nacsfix  43722  eldioph2lem1  43770  irrapxlem4  43831  pell14qrgt0  43865  pell1qrgaplem  43879  pellqrexplicit  43883  rmxycomplete  43923  jm2.17a  43966  jm2.17b  43967  rmygeid  43970  jm2.22  44001  rmxdiophlem  44021  hbtlem5  44129  hbt  44131  fperiodmullem  46318  dvnxpaek  46951  stoweidlem17  47026  wallispilem3  47076  stirlinglem5  47087  stirlinglem7  47089  fourierdlem16  47132  fourierdlem21  47137  fourierdlem22  47138  fourierdlem83  47198  fourierdlem112  47227  elaa2lem  47242  etransclem23  47266  zm1nn  48371  nn0resubcl  48377  fz0addge0  48388  elfzlble  48389  subsubelfzo0  48396  2ffzoeq  48397  addmodne  48419  submodlt  48425  iccpartigtl  48504  lswn0  48525  sqrtpwpw2p  48622  fmtnodvds  48628  goldbachth  48631  odz2prm2pw  48647  flsqrt  48677  nn0e  48794  nn0sumltlt  49461  ply1mulgsumlem2  49498  nn0eo  49639  flnn0div2ge  49644  fllog2  49679  dignn0fr  49712  digexp  49718  dig2nn0  49722  0dig2nn0e  49723  dig2bits  49725  itcovalt2lem2lem1  49784