Theorem nn0re 11894

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0re	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 11889	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2	1	sseli 3911	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  ℝcr 10525  ℕ₀cn0 11885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-ov 7138  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-nn 11626  df-n0 11886

This theorem is referenced by:  nn0ge0  11910  nn0nlt0  11911  nn0le0eq0  11913  nn0p1gt0  11914  elnnnn0c  11930  nn0addge1  11931  nn0addge2  11932  nn0sub  11935  ltsubnn0  11936  nn0negleid  11937  difgtsumgt  11938  nn0n0n1ge2b  11951  nn0ge2m1nn  11952  nn0nndivcl  11954  xnn0xr  11960  nn0nepnf  11963  xnn0nemnf  11966  elznn0nn  11983  nn0lt2  12033  nn0le2is012  12034  nn0ge0div  12039  nn01to3  12329  xnn0xaddcl  12616  xnn0lem1lt  12625  xnn0lenn0nn0  12626  xnn0xadd0  12628  nn0rp0  12833  xnn0xrge0  12884  nn0fz0  13000  elfz0fzfz0  13007  fz0fzelfz0  13008  fz0fzdiffz0  13011  fzctr  13014  difelfzle  13015  difelfznle  13016  fvffz0  13020  fzoun  13069  nn0p1elfzo  13075  elfzo0le  13076  fzonmapblen  13078  fzofzim  13079  elincfzoext  13090  elfzodifsumelfzo  13098  fzonn0p1  13109  fzonn0p1p1  13111  ssfzoulel  13126  ubmelm1fzo  13128  elfznelfzo  13137  fvinim0ffz  13151  subfzo0  13154  adddivflid  13183  divfl0  13189  fldivnn0le  13197  flltdivnn0lt  13198  quoremnn0ALT  13220  modmuladdnn0  13278  addmodid  13282  modifeq2int  13296  modfzo0difsn  13306  modsumfzodifsn  13307  addmodlteq  13309  ssnn0fi  13348  fsuppmapnn0fiub0  13356  suppssfz  13357  nn0sq11  13493  bernneq  13586  bernneq3  13588  facwordi  13645  faclbnd  13646  faclbnd3  13648  faclbnd5  13654  faclbnd6  13655  facubnd  13656  facavg  13657  bcval4  13663  bcval5  13674  bcpasc  13677  hashbnd  13692  hashnnn0genn0  13699  hashnemnf  13700  hashclb  13715  hashneq0  13721  hashsdom  13738  hashunsnggt  13751  fi1uzind  13851  ccat0  13920  ccat2s1fvw  13989  ccat2s1fvwOLD  13990  swrdnd0  14010  swrdsbslen  14017  swrdspsleq  14018  pfxnd0  14041  swrdswrdlem  14057  swrdswrd  14058  swrdccatin1  14078  pfxccatin12lem2  14084  pfxccatin12lem3  14085  pfxccat3  14087  swrdccat  14088  pfxccat3a  14091  swrdccat3blem  14092  repswswrd  14137  2cshw  14166  cshweqrep  14174  cshwcsh2id  14181  2swrd2eqwrdeq  14306  nn0sqeq1  14628  isercoll  15016  o1fsum  15160  geomulcvg  15224  rerisefaccl  15363  refallfaccl  15364  rprisefaccl  15369  dvdseq  15656  oddge22np1  15690  nn0ehalf  15719  nn0o1gt2  15722  nn0o  15724  nn0oddm1d2  15726  bitsfi  15776  bitsinv1  15781  gcdn0gt0  15856  nn0gcdid0  15859  absmulgcd  15887  nn0seqcvgd  15904  algcvgblem  15911  algcvga  15913  lcmgcdnn  15945  lcmfun  15979  lcmfass  15980  prmfac1  16053  prmndvdsfaclt  16057  nonsq  16089  hashgcdlem  16115  odzdvds  16122  iserodd  16162  pcprendvds  16167  pcdvdsb  16195  pcidlem  16198  dvdsprmpweqle  16212  difsqpwdvds  16213  pcfaclem  16224  prmunb  16240  ramtcl2  16337  ramubcl  16344  ram0  16348  ramub1lem1  16352  cshwshashlem2  16422  smndex1iidm  18058  sylow1lem1  18715  pgpssslw  18731  efgsfo  18857  efgred  18866  telgsums  19106  prmirredlem  20186  prmirred  20188  psrbagcon  20609  gsumbagdiaglem  20613  psrridm  20642  coe1tmmul2  20905  gsummoncoe1  20933  mp2pm2mplem4  21414  fvmptnn04ifb  21456  chfacfisf  21459  chfacfisfcpmat  21460  chfacffsupp  21461  chfacfscmul0  21463  chfacfpmmul0  21467  dyaddisj  24200  mdegle0  24678  deg1nn0clb  24691  deg1ge  24699  deg1tmle  24718  ply1divex  24737  plyco0  24789  coeeulem  24821  coeaddlem  24846  coe1termlem  24855  dgreq0  24862  dgrlt  24863  plydivex  24893  aannenlem1  24924  taylfvallem1  24952  tayl0  24957  radcnvlem1  25008  radcnvlem2  25009  dvradcnv  25016  leibpi  25528  log2tlbnd  25531  birthdaylem3  25539  zetacvg  25600  basellem2  25667  basellem3  25668  chpp1  25740  bcmono  25861  bcmax  25862  lgsdinn0  25929  2lgslem1c  25977  2sq2  26017  2sqreulem1  26030  2sqreultlem  26031  dchrisumlem1  26073  ostth2lem2  26218  nbusgrvtxm1  27169  upgrewlkle2  27396  pthdlem1  27555  crctcshwlkn0lem4  27599  crctcshwlkn0  27607  crctcsh  27610  wwlksm1edg  27667  wwlksnred  27678  wwlksnredwwlkn  27681  wwlksnredwwlkn0  27682  wwlksnextwrd  27683  wwlksnextfun  27684  wwlksnextinj  27685  wwlksnextproplem1  27695  wwlksnextproplem2  27696  wwlksnextproplem3  27697  clwlkclwwlklem2a1  27777  clwlkclwwlklem2a2  27778  clwlkclwwlklem2fv1  27780  clwlkclwwlklem2fv2  27781  clwlkclwwlklem2a4  27782  clwlkclwwlklem2a  27783  clwlkclwwlklem2  27785  clwlkclwwlk  27787  clwlkclwwlk2  27788  clwlkclwwlkf  27793  clwwisshclwwslem  27799  clwwlkel  27831  wwlksext2clwwlk  27842  clwlknf1oclwwlknlem1  27866  clwwlknonex2lem2  27893  eupth2lems  28023  eupth2  28024  eucrctshift  28028  numclwwlk7  28176  frgrreggt1  28178  frgrreg  28179  frgrogt3nreg  28182  friendship  28184  nn0xmulclb  30522  dpcl  30593  wrdt2ind  30653  hasheuni  31454  eulerpartlems  31728  hgt750lem  32032  0nn0m1nnn0  32461  derangen  32532  faclimlem1  33088  poimirlem28  35085  rrntotbnd  35274  factwoffsmonot  39388  nacsfix  39653  eldioph2lem1  39701  irrapxlem4  39766  pell14qrgt0  39800  pell1qrgaplem  39814  pellqrexplicit  39818  rmxycomplete  39858  jm2.17a  39901  jm2.17b  39902  rmygeid  39905  jm2.22  39936  rmxdiophlem  39956  hbtlem5  40072  hbt  40074  fperiodmullem  41935  dvnxpaek  42584  stoweidlem17  42659  wallispilem3  42709  stirlinglem5  42720  stirlinglem7  42722  fourierdlem16  42765  fourierdlem21  42770  fourierdlem22  42771  fourierdlem83  42831  fourierdlem112  42860  elaa2lem  42875  etransclem23  42899  zm1nn  43859  nn0resubcl  43865  fz0addge0  43876  elfzlble  43877  subsubelfzo0  43883  2ffzoeq  43885  iccpartigtl  43940  lswn0  43961  sqrtpwpw2p  44055  fmtnodvds  44061  goldbachth  44064  odz2prm2pw  44080  flsqrt  44110  nn0e  44215  nn0sumltlt  44752  ply1mulgsumlem2  44795  nn0eo  44942  flnn0div2ge  44947  fllog2  44982  dignn0fr  45015  digexp  45021  dig2nn0  45025  0dig2nn0e  45026  dig2bits  45028  itcovalt2lem2lem1  45087