Theorem nn0re 12427

Description: A nonnegative integer is a real number. (Contributed by NM, 9-May-2004.)

Assertion

Ref	Expression
nn0re	⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0re

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ssre 12422	. 2 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
2	1	sseli 3939	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  ℝcr 11043  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  nn0ge0  12443  nn0nlt0  12444  nn0le0eq0  12446  nn0p1gt0  12447  elnnnn0c  12463  nn0addge1  12464  nn0addge2  12465  nn0sub  12468  ltsubnn0  12469  nn0negleid  12470  difgtsumgt  12471  nn0le2x  12472  nn0n0n1ge2b  12487  nn0ge2m1nn  12488  nn0nndivcl  12490  xnn0xr  12496  nn0nepnf  12499  xnn0nemnf  12502  elznn0nn  12519  nn0lt2  12573  nn0le2is012  12574  nn0ge0div  12579  nn01to3  12876  xnn0xaddcl  13171  xnn0lem1lt  13180  xnn0lenn0nn0  13181  xnn0xadd0  13183  nn0rp0  13392  xnn0xrge0  13443  nn0fz0  13562  elfz0fzfz0  13570  fz0fzelfz0  13571  fz0fzdiffz0  13574  fzctr  13577  difelfzle  13578  difelfznle  13579  fvffz0  13583  fzoun  13633  nn0p1elfzo  13639  elfzo0le  13640  fzonmapblen  13645  fzofzim  13646  elincfzoext  13660  elfzodifsumelfzo  13668  fzonn0p1  13679  fzonn0p1p1  13681  ssfzoulel  13697  ubmelm1fzo  13700  elfznelfzo  13709  fvinim0ffz  13723  subfzo0  13726  adddivflid  13756  divfl0  13762  fldivnn0le  13770  flltdivnn0lt  13771  quoremnn0ALT  13795  modmuladdnn0  13856  addmodid  13860  modifeq2int  13874  modfzo0difsn  13884  modsumfzodifsn  13885  addmodlteq  13887  ssnn0fi  13926  fsuppmapnn0fiub0  13934  suppssfz  13935  nn0sq11  14073  bernneq  14170  bernneq3  14172  facwordi  14230  faclbnd  14231  faclbnd3  14233  faclbnd5  14239  faclbnd6  14240  facubnd  14241  facavg  14242  bcval4  14248  bcval5  14259  bcpasc  14262  hashbnd  14277  hashnnn0genn0  14284  hashnemnf  14285  hashclb  14299  hashneq0  14305  hashsdom  14322  hashunsnggt  14335  fi1uzind  14448  ccat0  14517  ccat2s1fvw  14579  swrdnd0  14598  swrdsbslen  14605  swrdspsleq  14606  pfxnd0  14629  swrdswrdlem  14645  swrdswrd  14646  swrdccatin1  14666  pfxccatin12lem2  14672  pfxccatin12lem3  14673  pfxccat3  14675  swrdccat  14676  pfxccat3a  14679  swrdccat3blem  14680  repswswrd  14725  2cshw  14754  cshweqrep  14762  cshwcsh2id  14770  2swrd2eqwrdeq  14895  nn0sqeq1  15218  nn0absid  15372  isercoll  15610  o1fsum  15755  geomulcvg  15818  rerisefaccl  15959  refallfaccl  15960  rprisefaccl  15965  dvdseq  16260  oddge22np1  16295  nn0ehalf  16324  nn0o1gt2  16327  nn0o  16329  nn0oddm1d2  16331  bitsfi  16383  bitsinv1  16388  gcdn0gt0  16464  nn0gcdid0  16467  absmulgcd  16495  nn0seqcvgd  16516  algcvgblem  16523  algcvga  16525  lcmgcdnn  16557  lcmfun  16591  lcmfass  16592  prmfac1  16666  prmndvdsfaclt  16671  nonsq  16705  hashgcdlem  16734  odzdvds  16742  iserodd  16782  pcprendvds  16787  pcdvdsb  16816  pcidlem  16819  dvdsprmpweqle  16833  difsqpwdvds  16834  pcfaclem  16845  prmunb  16861  ramtcl2  16958  ramubcl  16965  ram0  16969  ramub1lem1  16973  cshwshashlem2  17043  smndex1iidm  18804  sylow1lem1  19504  pgpssslw  19520  efgsfo  19645  efgred  19654  telgsums  19899  prmirredlem  21358  prmirred  21360  gsumbagdiaglem  21815  psrridm  21848  psdmul  22029  coe1tmmul2  22138  gsummoncoe1  22171  mp2pm2mplem4  22672  fvmptnn04ifb  22714  chfacfisf  22717  chfacfisfcpmat  22718  chfacffsupp  22719  chfacfscmul0  22721  chfacfpmmul0  22725  dyaddisj  25473  mdegle0  25958  deg1nn0clb  25971  deg1ge  25979  deg1tmle  25999  ply1divex  26018  plyco0  26073  coeeulem  26105  coeaddlem  26130  coe1termlem  26139  dgreq0  26147  dgrlt  26148  plydivex  26181  aannenlem1  26212  taylfvallem1  26240  tayl0  26245  radcnvlem1  26298  radcnvlem2  26299  dvradcnv  26306  leibpi  26828  log2tlbnd  26831  birthdaylem3  26839  zetacvg  26901  basellem2  26968  basellem3  26969  chpp1  27041  bcmono  27164  bcmax  27165  lgsdinn0  27232  2lgslem1c  27280  2sq2  27320  2sqreulem1  27333  2sqreultlem  27334  dchrisumlem1  27376  ostth2lem2  27521  nbusgrvtxm1  29282  upgrewlkle2  29510  pthdlem1  29669  crctcshwlkn0lem4  29716  crctcshwlkn0  29724  crctcsh  29727  wwlksm1edg  29784  wwlksnred  29795  wwlksnredwwlkn  29798  wwlksnredwwlkn0  29799  wwlksnextwrd  29800  wwlksnextfun  29801  wwlksnextinj  29802  wwlksnextproplem1  29812  wwlksnextproplem2  29813  wwlksnextproplem3  29814  clwlkclwwlklem2a1  29894  clwlkclwwlklem2a2  29895  clwlkclwwlklem2fv1  29897  clwlkclwwlklem2fv2  29898  clwlkclwwlklem2a4  29899  clwlkclwwlklem2a  29900  clwlkclwwlklem2  29902  clwlkclwwlk  29904  clwlkclwwlk2  29905  clwlkclwwlkf  29910  clwwisshclwwslem  29916  clwwlkel  29948  wwlksext2clwwlk  29959  clwlknf1oclwwlknlem1  29983  clwwlknonex2lem2  30010  eupth2lems  30140  eupth2  30141  eucrctshift  30145  numclwwlk7  30293  frgrreggt1  30295  frgrreg  30296  frgrogt3nreg  30299  friendship  30301  nn0xmulclb  32667  dpcl  32784  wrdt2ind  32848  hasheuni  34048  eulerpartlems  34324  hgt750lem  34615  0nn0m1nnn0  35073  derangen  35132  faclimlem1  35703  poimirlem28  37615  rrntotbnd  37803  sticksstones22  42129  gcdnn0id  42290  nn0addcom  42423  zaddcomlem  42424  nn0mulcom  42427  nacsfix  42673  eldioph2lem1  42721  irrapxlem4  42786  pell14qrgt0  42820  pell1qrgaplem  42834  pellqrexplicit  42838  rmxycomplete  42879  jm2.17a  42922  jm2.17b  42923  rmygeid  42926  jm2.22  42957  rmxdiophlem  42977  hbtlem5  43090  hbt  43092  fperiodmullem  45274  dvnxpaek  45913  stoweidlem17  45988  wallispilem3  46038  stirlinglem5  46049  stirlinglem7  46051  fourierdlem16  46094  fourierdlem21  46099  fourierdlem22  46100  fourierdlem83  46160  fourierdlem112  46189  elaa2lem  46204  etransclem23  46228  zm1nn  47276  nn0resubcl  47282  fz0addge0  47293  elfzlble  47294  subsubelfzo0  47300  2ffzoeq  47301  addmodne  47318  submodlt  47324  iccpartigtl  47397  lswn0  47418  sqrtpwpw2p  47512  fmtnodvds  47518  goldbachth  47521  odz2prm2pw  47537  flsqrt  47567  nn0e  47671  nn0sumltlt  48311  ply1mulgsumlem2  48349  nn0eo  48490  flnn0div2ge  48495  fllog2  48530  dignn0fr  48563  digexp  48569  dig2nn0  48573  0dig2nn0e  48574  dig2bits  48576  itcovalt2lem2lem1  48635