Theorem xnn0n0n1ge2b 13078

Description: An extended nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0n0n1ge2b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem xnn0n0n1ge2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12507	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
2		nn0n0n1ge2b 12501	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
3		0nn0 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		nn0nepnf 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ +∞
6	5	necomi 2987	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ 0
7		neeq1 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 0)
9		1nn0 12448	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		nn0nepnf 12513	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → 1 ≠ +∞)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ +∞
12	11	necomi 2987	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ 1
13		neeq1 2995	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 1 ↔ +∞ ≠ 1))
14	12, 13	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 1)
15	8, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
16		2re 12250	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	rexri 11198	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
18		pnfge 13076	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ +∞
20		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ +∞))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → 2 ≤ 𝑁)
22	15, 21	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝑁 = +∞ → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
23	2, 22	jaoi 858	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
24	1, 23	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  0cc0 11033  1c1 11034  +∞cpnf 11171  ℝ^*cxr 11173   ≤ cle 11175  2c2 12231  ℕ₀cn0 12432  ℕ₀^*cxnn0 12505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-2 12239  df-n0 12433  df-xnn0 12506

This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  30387  xnn01gt  32862  lfuhgr2  35321