MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0n0n1ge2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0n0n1ge2b 12343
Description: An extended nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
xnn0n0n1ge2b (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem xnn0n0n1ge2b
StepHypRef Expression
1 elxnn0 11781 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
2 nn0n0n1ge2b 11775 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
3 0nn0 11724 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
4 nn0nepnf 11787 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≠ +∞
65necomi 3021 . . . . . 6 +∞ ≠ 0
7 neeq1 3029 . . . . . 6 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
86, 7mpbiri 250 . . . . 5 (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 0)
9 1nn0 11725 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
10 nn0nepnf 11787 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → 1 ≠ +∞)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ≠ +∞
1211necomi 3021 . . . . . 6 +∞ ≠ 1
13 neeq1 3029 . . . . . 6 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 1 ↔ +∞ ≠ 1))
1412, 13mpbiri 250 . . . . 5 (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 1)
158, 14jca 504 . . . 4 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
16 2re 11514 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
1716rexri 10499 . . . . . 6 2 ∈ ℝ*
18 pnfge 12342 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 2 ≤ +∞
20 breq2 4933 . . . . 5 (𝑁 = +∞ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ +∞))
2119, 20mpbiri 250 . . . 4 (𝑁 = +∞ → 2 ≤ 𝑁)
2215, 212thd 257 . . 3 (𝑁 = +∞ → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
232, 22jaoi 843 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞) → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
241, 23sylbi 209 1 (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 387  wo 833   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967   class class class wbr 4929  0cc0 10335  1c1 10336  +∞cpnf 10471  *cxr 10473  cle 10475  2c2 11495  0cn0 11707  0*cxnn0 11779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279  ax-cnex 10391  ax-resscn 10392  ax-1cn 10393  ax-icn 10394  ax-addcl 10395  ax-addrcl 10396  ax-mulcl 10397  ax-mulrcl 10398  ax-mulcom 10399  ax-addass 10400  ax-mulass 10401  ax-distr 10402  ax-i2m1 10403  ax-1ne0 10404  ax-1rid 10405  ax-rnegex 10406  ax-rrecex 10407  ax-cnre 10408  ax-pre-lttri 10409  ax-pre-lttrn 10410  ax-pre-ltadd 10411  ax-pre-mulgt0 10412
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3682  df-csb 3787  df-dif 3832  df-un 3834  df-in 3836  df-ss 3843  df-pss 3845  df-nul 4179  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-tp 4446  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-tr 5031  df-id 5312  df-eprel 5317  df-po 5326  df-so 5327  df-fr 5366  df-we 5368  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-pred 5986  df-ord 6032  df-on 6033  df-lim 6034  df-suc 6035  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-oprab 6980  df-mpo 6981  df-om 7397  df-wrecs 7750  df-recs 7812  df-rdg 7850  df-er 8089  df-en 8307  df-dom 8308  df-sdom 8309  df-pnf 10476  df-mnf 10477  df-xr 10478  df-ltxr 10479  df-le 10480  df-sub 10672  df-neg 10673  df-nn 11440  df-2 11503  df-n0 11708  df-xnn0 11780
This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  27832
  Copyright terms: Public domain W3C validator