Theorem xnn0n0n1ge2b 13068

Description: An extended nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0n0n1ge2b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem xnn0n0n1ge2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12493	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
2		nn0n0n1ge2b 12487	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
3		0nn0 12433	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		nn0nepnf 12499	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ +∞
6	5	necomi 2979	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ 0
7		neeq1 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 0)
9		1nn0 12434	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		nn0nepnf 12499	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → 1 ≠ +∞)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ +∞
12	11	necomi 2979	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ 1
13		neeq1 2987	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 1 ↔ +∞ ≠ 1))
14	12, 13	mpbiri 258	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 1)
15	8, 14	jca 511	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
16		2re 12236	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	rexri 11208	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
18		pnfge 13066	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ +∞
20		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ +∞))
21	19, 20	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → 2 ≤ 𝑁)
22	15, 21	2thd 265	. . 3 ⊢ (𝑁 = +∞ → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
23	2, 22	jaoi 857	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
24	1, 23	sylbi 217	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  0cc0 11044  1c1 11045  +∞cpnf 11181  ℝ^*cxr 11183   ≤ cle 11185  2c2 12217  ℕ₀cn0 12418  ℕ₀^*cxnn0 12491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-n0 12419  df-xnn0 12492

This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  30277  xnn01gt  32743  lfuhgr2  35099