Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xnn0n0n1ge2b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xnn0n0n1ge2b 12523
 Description: An extended nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)
Assertion
Ref Expression
xnn0n0n1ge2b (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem xnn0n0n1ge2b
StepHypRef Expression
1 elxnn0 11966 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞))
2 nn0n0n1ge2b 11960 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
3 0nn0 11909 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
4 nn0nepnf 11972 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 0 ≠ +∞
65necomi 3068 . . . . . 6 +∞ ≠ 0
7 neeq1 3076 . . . . . 6 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
86, 7mpbiri 261 . . . . 5 (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 0)
9 1nn0 11910 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
10 nn0nepnf 11972 . . . . . . . 8 (1 ∈ ℕ0 → 1 ≠ +∞)
119, 10ax-mp 5 . . . . . . 7 1 ≠ +∞
1211necomi 3068 . . . . . 6 +∞ ≠ 1
13 neeq1 3076 . . . . . 6 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 1 ↔ +∞ ≠ 1))
1412, 13mpbiri 261 . . . . 5 (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 1)
158, 14jca 515 . . . 4 (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
16 2re 11708 . . . . . . 7 2 ∈ ℝ
1716rexri 10697 . . . . . 6 2 ∈ ℝ*
18 pnfge 12522 . . . . . 6 (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
1917, 18ax-mp 5 . . . . 5 2 ≤ +∞
20 breq2 5056 . . . . 5 (𝑁 = +∞ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ +∞))
2119, 20mpbiri 261 . . . 4 (𝑁 = +∞ → 2 ≤ 𝑁)
2215, 212thd 268 . . 3 (𝑁 = +∞ → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
232, 22jaoi 854 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑁 = +∞) → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
241, 23sylbi 220 1 (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   ≠ wne 3014   class class class wbr 5052  0cc0 10535  1c1 10536  +∞cpnf 10670  ℝ*cxr 10672   ≤ cle 10674  2c2 11689  ℕ0cn0 11894  ℕ0*cxnn0 11964 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-n0 11895  df-xnn0 11965 This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  28086  xnn01gt  30506  lfuhgr2  32422
 Copyright terms: Public domain W3C validator