Theorem xnn0n0n1ge2b 12867

Description: An extended nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0n0n1ge2b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem xnn0n0n1ge2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12307	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
2		nn0n0n1ge2b 12301	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
3		0nn0 12248	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		nn0nepnf 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ +∞
6	5	necomi 2998	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ 0
7		neeq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
8	6, 7	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 0)
9		1nn0 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		nn0nepnf 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → 1 ≠ +∞)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ +∞
12	11	necomi 2998	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ 1
13		neeq1 3006	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 1 ↔ +∞ ≠ 1))
14	12, 13	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 1)
15	8, 14	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
16		2re 12047	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	rexri 11033	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
18		pnfge 12866	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ +∞
20		breq2 5078	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ +∞))
21	19, 20	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → 2 ≤ 𝑁)
22	15, 21	2thd 264	. . 3 ⊢ (𝑁 = +∞ → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
23	2, 22	jaoi 854	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
24	1, 23	sylbi 216	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  0cc0 10871  1c1 10872  +∞cpnf 11006  ℝ^*cxr 11008   ≤ cle 11010  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℕ₀^*cxnn0 12305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-xnn0 12306

This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  28662  xnn01gt  31093  lfuhgr2  33080