Theorem xnn0n0n1ge2b 13110

Description: An extended nonnegative integer is neither 0 nor 1 if and only if it is greater than or equal to 2. (Contributed by AV, 5-Apr-2021.)

Assertion

Ref	Expression
xnn0n0n1ge2b	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Proof of Theorem xnn0n0n1ge2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxnn0 12545	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* ↔ (𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞))
2		nn0n0n1ge2b 12539	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
3		0nn0 12486	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
4		nn0nepnf 12551	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℕ0 → 0 ≠ +∞)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 0 ≠ +∞
6	5	necomi 2995	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ 0
7		neeq1 3003	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ↔ +∞ ≠ 0))
8	6, 7	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 0)
9		1nn0 12487	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
10		nn0nepnf 12551	. . . . . . . 8 ⊢ (1 ∈ ℕ0 → 1 ≠ +∞)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ 1 ≠ +∞
12	11	necomi 2995	. . . . . 6 ⊢ +∞ ≠ 1
13		neeq1 3003	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 1 ↔ +∞ ≠ 1))
14	12, 13	mpbiri 257	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → 𝑁 ≠ 1)
15	8, 14	jca 512	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → (𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1))
16		2re 12285	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	rexri 11271	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ*
18		pnfge 13109	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℝ* → 2 ≤ +∞)
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 2 ≤ +∞
20		breq2 5152	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = +∞ → (2 ≤ 𝑁 ↔ 2 ≤ +∞))
21	19, 20	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (𝑁 = +∞ → 2 ≤ 𝑁)
22	15, 21	2thd 264	. . 3 ⊢ (𝑁 = +∞ → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
23	2, 22	jaoi 855	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∨ 𝑁 = +∞) → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))
24	1, 23	sylbi 216	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0* → ((𝑁 ≠ 0 ∧ 𝑁 ≠ 1) ↔ 2 ≤ 𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  0cc0 11109  1c1 11110  +∞cpnf 11244  ℝ^*cxr 11246   ≤ cle 11248  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ℕ₀^*cxnn0 12543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-xnn0 12544

This theorem is referenced by:  vdgfrgrgt2  29548  xnn01gt  31978  lfuhgr2  34104