MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnecl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnecl 8619
Description: Closure of exponentiation of natural numbers. Proposition 8.17 of [TakeutiZaring] p. 63. Theorem 2.20 of [Schloeder] p. 6. (Contributed by NM, 24-Mar-2007.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 22-Oct-2011.)
Assertion
Ref Expression
nnecl ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ ฯ‰)

Proof of Theorem nnecl
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐ต))
21eleq1d 2817 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰ โ†” (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ ฯ‰))
32imbi2d 340 . . 3 (๐‘ฅ = ๐ต โ†’ ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰) โ†” (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ ฯ‰)))
4 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o โˆ…))
54eleq1d 2817 . . . 4 (๐‘ฅ = โˆ… โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰ โ†” (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ ฯ‰))
6 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ))
76eleq1d 2817 . . . 4 (๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰ โ†” (๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰))
8 oveq2 7420 . . . . 5 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) = (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ))
98eleq1d 2817 . . . 4 (๐‘ฅ = suc ๐‘ฆ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰ โ†” (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰))
10 nnon 7865 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ๐ด โˆˆ On)
11 oe0 8528 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ On โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
1210, 11syl 17 . . . . 5 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) = 1o)
13 df-1o 8472 . . . . . 6 1o = suc โˆ…
14 peano1 7883 . . . . . . 7 โˆ… โˆˆ ฯ‰
15 peano2 7885 . . . . . . 7 (โˆ… โˆˆ ฯ‰ โ†’ suc โˆ… โˆˆ ฯ‰)
1614, 15ax-mp 5 . . . . . 6 suc โˆ… โˆˆ ฯ‰
1713, 16eqeltri 2828 . . . . 5 1o โˆˆ ฯ‰
1812, 17eqeltrdi 2840 . . . 4 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โ†‘o โˆ…) โˆˆ ฯ‰)
19 nnmcl 8618 . . . . . . . 8 (((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ด โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰)
2019expcom 413 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰))
2120adantr 480 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰))
22 nnesuc 8614 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) = ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด))
2322eleq1d 2817 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โ†” ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) ยทo ๐ด) โˆˆ ฯ‰))
2421, 23sylibrd 259 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰) โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰))
2524expcom 413 . . . 4 (๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ ((๐ด โ†‘o ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โ†‘o suc ๐‘ฆ) โˆˆ ฯ‰)))
265, 7, 9, 18, 25finds2 7895 . . 3 (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐‘ฅ) โˆˆ ฯ‰))
273, 26vtoclga 3566 . 2 (๐ต โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โˆˆ ฯ‰ โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ ฯ‰))
2827impcom 407 1 ((๐ด โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐ต โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐ด โ†‘o ๐ต) โˆˆ ฯ‰)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105  โˆ…c0 4322  Oncon0 6364  suc csuc 6366  (class class class)co 7412  ฯ‰com 7859  1oc1o 8465   ยทo comu 8470   โ†‘o coe 8471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-oadd 8476  df-omul 8477  df-oexp 8478
This theorem is referenced by:  nnamecl  42500  nnoeomeqom  42525
  Copyright terms: Public domain W3C validator