Theorem no2indlesm 27971

Description: Double induction on surreals with explicit notation for the relationships. (Contributed by Scott Fenton, 22-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
no2indlesm.a	⊢ 𝑅 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ 𝑎 ∈ (( L ‘𝑏) ∪ ( R ‘𝑏))}
no2indlesm.1	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
no2indlesm.2	⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ 𝜒))
no2indlesm.3	⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜃 ↔ 𝜒))
no2indlesm.4	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
no2indlesm.5	⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
no2indlesm.i	⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜃) → 𝜑))

Assertion

Ref	Expression
no2indlesm	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝜂)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑥   𝑥,𝐴   𝑦,𝑎   𝑦,𝐴   𝑥,𝑏,𝑦   𝑦,𝐵   𝜒,𝑦   𝜂,𝑦   𝜑,𝑧   𝜓,𝑤,𝑥   𝑥,𝑅,𝑦,𝑤,𝑧   𝜏,𝑥   𝜃,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑤,𝑎,𝑏)   𝜓(𝑦,𝑧,𝑎,𝑏)   𝜒(𝑥,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝜃(𝑥,𝑦,𝑤,𝑎,𝑏)   𝜏(𝑦,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝜂(𝑥,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐴(𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝐵(𝑥,𝑧,𝑤,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑎,𝑏)

Proof of Theorem no2indlesm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		no2indlesm.a	. . 3 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑎, 𝑏⟩ ∣ 𝑎 ∈ (( L ‘𝑏) ∪ ( R ‘𝑏))}
2	1	lrrecfr 27960	. 2 ⊢ 𝑅 Fr No
3	1	lrrecpo 27958	. 2 ⊢ 𝑅 Po No
4	1	lrrecse 27959	. 2 ⊢ 𝑅 Se No
5		no2indlesm.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜑 ↔ 𝜓))
6		no2indlesm.2	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝑤 → (𝜓 ↔ 𝜒))
7		no2indlesm.3	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝜃 ↔ 𝜒))
8		no2indlesm.4	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜏))
9		no2indlesm.5	. 2 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝜏 ↔ 𝜂))
10	1	lrrecpred 27961	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ No → Pred(𝑅, No , 𝑥) = (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥)))
11	10	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → Pred(𝑅, No , 𝑥) = (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥)))
12	1	lrrecpred 27961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ No → Pred(𝑅, No , 𝑦) = (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦)))
13	12	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → Pred(𝑅, No , 𝑦) = (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦)))
14	13	raleqdv 3298	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑦)𝜒 ↔ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒))
15	11, 14	raleqbidv 3314	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑥)∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑦)𝜒 ↔ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒))
16	11	raleqdv 3298	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑥)𝜓 ↔ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))𝜓))
17	13	raleqdv 3298	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → (∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑦)𝜃 ↔ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜃))
18	15, 16, 17	3anbi123d 1444	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑥)∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑦)𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑥)𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑦)𝜃) ↔ (∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜃)))
19		no2indlesm.i	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ (( L ‘𝑥) ∪ ( R ‘𝑥))𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))𝜃) → 𝜑))
20	18, 19	sylbid 241	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ No ∧ 𝑦 ∈ No ) → ((∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑥)∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑦)𝜒 ∧ ∀𝑧 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑥)𝜓 ∧ ∀𝑤 ∈ Pred (𝑅, No , 𝑦)𝜃) → 𝜑))
21	2, 3, 4, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 20	xpord2ind 8095	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → 𝜂)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3054   ∪ cun 3888  {copab 5141  Predcpred 6258  ‘cfv 6492   No csur 27628   L cleft 27842   R cright 27843

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632  df-bday 27633  df-slts 27775  df-cuts 27777  df-made 27844  df-old 27845  df-left 27847  df-right 27848

This theorem is referenced by:  no2inds  27972