Theorem lrrecpred 27995

Description: Finally, we calculate the value of the predecessor class over 𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lrrec.1	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}

Assertion

Ref	Expression
lrrecpred	⊢ (𝐴 ∈ No → Pred(𝑅, No , 𝐴) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lrrecpred

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpred3g 6344	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → Pred(𝑅, No , 𝐴) = {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏𝑅𝐴})
2		lrrec.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}
3	2	lrrecval 27990	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝑏𝑅𝐴 ↔ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))))
4	3	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑏 ∈ No ) → (𝑏𝑅𝐴 ↔ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))))
5	4	rabbidva 3450	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏𝑅𝐴} = {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))})
6		dfrab2 4339	. . . 4 ⊢ {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))} = ({𝑏 ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))} ∩ No )
7		abid2 2882	. . . . 5 ⊢ {𝑏 ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))} = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))
8	7	ineq1i 4237	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))} ∩ No ) = ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ∩ No )
9	6, 8	eqtri 2768	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))} = ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ∩ No )
10	5, 9	eqtrdi 2796	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏𝑅𝐴} = ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ∩ No ))
11		leftssno 27937	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝐴) ⊆ No
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ⊆ No )
13		rightssno 27938	. . . . 5 ⊢ ( R ‘𝐴) ⊆ No
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ⊆ No )
15	12, 14	unssd 4215	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ⊆ No )
16		dfss2 3994	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ⊆ No ↔ ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ∩ No ) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))
17	15, 16	sylib 218	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ∩ No ) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))
18	1, 10, 17	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Pred(𝑅, No , 𝐴) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  {crab 3443   ∪ cun 3974   ∩ cin 3975   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  {copab 5228  Predcpred 6331  ‘cfv 6573   No csur 27702   L cleft 27902   R cright 27903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-1o 8522  df-2o 8523  df-no 27705  df-slt 27706  df-bday 27707  df-sslt 27844  df-scut 27846  df-made 27904  df-old 27905  df-left 27907  df-right 27908

This theorem is referenced by:  noinds  27996  norecov  27998  noxpordpred  28004  no2indslem  28005  no3inds  28009