Theorem lrrecpred 28363

Description: Finally, we calculate the value of the predecessor class over 𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lrrec.1	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ ((L‘𝑦) ∪ (R‘𝑦))}

Assertion

Ref	Expression
lrrecpred	⊢ (𝐴 ∈ No → Pred(𝑅, No, 𝐴) = ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem lrrecpred

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpred3g 6337	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → Pred(𝑅, No, 𝐴) = {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏𝑅𝐴})
2		lrrec.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ ((L‘𝑦) ∪ (R‘𝑦))}
3	2	lrrecval 28358	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No) → (𝑏𝑅𝐴 ↔ 𝑏 ∈ ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴))))
4	3	ancoms 464	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑏 ∈ No) → (𝑏𝑅𝐴 ↔ 𝑏 ∈ ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴))))
5	4	rabbidva 3422	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏𝑅𝐴} = {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏 ∈ ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴))})
6		dfrab2 4268	. . . 4 ⊢ {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏 ∈ ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴))} = ({𝑏 ∣ 𝑏 ∈ ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴))} ∩ No)
7		abid2 2901	. . . . 5 ⊢ {𝑏 ∣ 𝑏 ∈ ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴))} = ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴))
8	7	ineq1i 4116	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∣ 𝑏 ∈ ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴))} ∩ No) = (((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)) ∩ No)
9	6, 8	eqtri 2786	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏 ∈ ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴))} = (((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)) ∩ No)
10	5, 9	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏𝑅𝐴} = (((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)) ∩ No))
11		leftssno 28292	. . . . 5 ⊢ (L‘𝐴) ⊆ No
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → (L‘𝐴) ⊆ No)
13		rightssno 28293	. . . . 5 ⊢ (R‘𝐴) ⊆ No
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → (R‘𝐴) ⊆ No)
15	12, 14	unssd 4193	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)) ⊆ No)
16		dfss2 4097	. . 3 ⊢ (((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)) ⊆ No ↔ (((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)) ∩ No) = ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)))
17	15, 16	sylib 221	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)) ∩ No) = ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)))
18	1, 10, 17	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Pred(𝑅, No, 𝐴) = ((L‘𝐴) ∪ (R‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {cab 2741  {crab 3416   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092   ∪ cun 4152   class class class wbr 5106  {copab 5171  Predcpred 6324  ‘cfv 6561  Nocsur 28030  Lcleft 28244  Rcright 28245

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-1o 8507  df-2o 8508  df-no 28033  df-lts 28034  df-bday 28035  df-slts 28177  df-cuts 28179  df-made 28246  df-old 28247  df-left 28249  df-right 28250

This theorem is used by:  noinds  28364  norecov  28366  noxpordpred  28372  no2indlesm  28373  no3inds  28377