Theorem lrrecpred 27667

Description: Finally, we calculate the value of the predecessor class over 𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lrrec.1	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}

Assertion

Ref	Expression
lrrecpred	⊢ (𝐴 ∈ No → Pred(𝑅, No , 𝐴) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))

Distinct variable group:   𝑥,𝐴,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lrrecpred

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfpred3g 6312	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → Pred(𝑅, No , 𝐴) = {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏𝑅𝐴})
2		lrrec.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}
3	2	lrrecval 27662	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝑏𝑅𝐴 ↔ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))))
4	3	ancoms 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝑏 ∈ No ) → (𝑏𝑅𝐴 ↔ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))))
5	4	rabbidva 3438	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏𝑅𝐴} = {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))})
6		dfrab2 4310	. . . 4 ⊢ {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))} = ({𝑏 ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))} ∩ No )
7		abid2 2870	. . . . 5 ⊢ {𝑏 ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))} = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))
8	7	ineq1i 4208	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))} ∩ No ) = ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ∩ No )
9	6, 8	eqtri 2759	. . 3 ⊢ {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏 ∈ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))} = ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ∩ No )
10	5, 9	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → {𝑏 ∈ No ∣ 𝑏𝑅𝐴} = ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ∩ No ))
11		leftssno 27613	. . . . 5 ⊢ ( L ‘𝐴) ⊆ No
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( L ‘𝐴) ⊆ No )
13		rightssno 27614	. . . . 5 ⊢ ( R ‘𝐴) ⊆ No
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ( R ‘𝐴) ⊆ No )
15	12, 14	unssd 4186	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ⊆ No )
16		df-ss 3965	. . 3 ⊢ ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ⊆ No ↔ ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ∩ No ) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))
17	15, 16	sylib 217	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → ((( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)) ∩ No ) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))
18	1, 10, 17	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → Pred(𝑅, No , 𝐴) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2708  {crab 3431   ∪ cun 3946   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148  {copab 5210  Predcpred 6299  ‘cfv 6543   No csur 27380   L cleft 27578   R cright 27579

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-1o 8470  df-2o 8471  df-no 27383  df-slt 27384  df-bday 27385  df-sslt 27520  df-scut 27522  df-made 27580  df-old 27581  df-left 27583  df-right 27584

This theorem is referenced by:  noinds  27668  norecov  27670  noxpordpred  27676  no2indslem  27677  no3inds  27681