Theorem ordtcld3 23086

Description: A closed interval [𝐴, 𝐵] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtcld3	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 4279	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵)}
2		ordttopon.3	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordtcld2 23085	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
4	3	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
5	2	ordtcld1 23084	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
6		incld 22930	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
7	4, 5, 6	3imp3i2an 1346	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
8	1, 7	eqeltrrid 2833	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405   ∩ cin 3913   class class class wbr 5107  dom cdm 5638  ‘cfv 6511  ordTopcordt 17462  Clsdccld 22903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-om 7843  df-1o 8434  df-2o 8435  df-en 8919  df-fin 8922  df-fi 9362  df-topgen 17406  df-ordt 17464  df-top 22781  df-topon 22798  df-bases 22833  df-cld 22906

This theorem is referenced by:  iccordt  23101  ordtt1  23266