Theorem ordtcld3 23114

Description: A closed interval [𝐴, 𝐵] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtcld3	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 4263	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵)}
2		ordttopon.3	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordtcld2 23113	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
4	3	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
5	2	ordtcld1 23112	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
6		incld 22958	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
7	4, 5, 6	3imp3i2an 1346	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
8	1, 7	eqeltrrid 2836	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  {crab 3395   ∩ cin 3896   class class class wbr 5089  dom cdm 5614  ‘cfv 6481  ordTopcordt 17403  Clsdccld 22931

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-om 7797  df-1o 8385  df-2o 8386  df-en 8870  df-fin 8873  df-fi 9295  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-top 22809  df-topon 22826  df-bases 22861  df-cld 22934

This theorem is referenced by:  iccordt  23129  ordtt1  23294