MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld3 22125
Description: A closed interval [𝐴, 𝐵] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld3
StepHypRef Expression
1 inrab 4237 . 2 ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) = {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)}
2 ordttopon.3 . . . . 5 𝑋 = dom 𝑅
32ordtcld2 22124 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐴𝑋) → {𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
433adant3 1134 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
52ordtcld1 22123 . . 3 ((𝑅𝑉𝐵𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
6 incld 21969 . . 3 (({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ∧ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))) → ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
74, 5, 63imp3i2an 1347 . 2 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
81, 7eqeltrrid 2845 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2112  {crab 3067  cin 3881   class class class wbr 5069  dom cdm 5568  cfv 6400  ordTopcordt 17034  Clsdccld 21942
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-int 4876  df-iun 4922  df-iin 4923  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-om 7666  df-1o 8225  df-er 8414  df-en 8650  df-fin 8653  df-fi 9054  df-topgen 16978  df-ordt 17036  df-top 21820  df-topon 21837  df-bases 21872  df-cld 21945
This theorem is referenced by:  iccordt  22140  ordtt1  22305
  Copyright terms: Public domain W3C validator