MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld3 21331
Description: A closed interval [𝐴, 𝐵] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld3
StepHypRef Expression
1 inrab 4100 . 2 ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) = {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)}
2 ordttopon.3 . . . . 5 𝑋 = dom 𝑅
32ordtcld2 21330 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐴𝑋) → {𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
433adant3 1163 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
52ordtcld1 21329 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐵𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
653adant2 1162 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
7 incld 21175 . . 3 (({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ∧ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))) → ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
84, 6, 7syl2anc 580 . 2 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
91, 8syl5eqelr 2884 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  {crab 3094  cin 3769   class class class wbr 4844  dom cdm 5313  cfv 6102  ordTopcordt 16473  Clsdccld 21148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2378  ax-ext 2778  ax-sep 4976  ax-nul 4984  ax-pow 5036  ax-pr 5098  ax-un 7184
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2592  df-eu 2610  df-clab 2787  df-cleq 2793  df-clel 2796  df-nfc 2931  df-ne 2973  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3388  df-sbc 3635  df-csb 3730  df-dif 3773  df-un 3775  df-in 3777  df-ss 3784  df-pss 3786  df-nul 4117  df-if 4279  df-pw 4352  df-sn 4370  df-pr 4372  df-tp 4374  df-op 4376  df-uni 4630  df-int 4669  df-iun 4713  df-iin 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5221  df-eprel 5226  df-po 5234  df-so 5235  df-fr 5272  df-we 5274  df-xp 5319  df-rel 5320  df-cnv 5321  df-co 5322  df-dm 5323  df-rn 5324  df-res 5325  df-ima 5326  df-pred 5899  df-ord 5945  df-on 5946  df-lim 5947  df-suc 5948  df-iota 6065  df-fun 6104  df-fn 6105  df-f 6106  df-f1 6107  df-fo 6108  df-f1o 6109  df-fv 6110  df-ov 6882  df-oprab 6883  df-mpt2 6884  df-om 7301  df-wrecs 7646  df-recs 7708  df-rdg 7746  df-1o 7800  df-oadd 7804  df-er 7983  df-en 8197  df-fin 8200  df-fi 8560  df-topgen 16418  df-ordt 16475  df-top 21026  df-topon 21043  df-bases 21078  df-cld 21151
This theorem is referenced by:  iccordt  21346  ordtt1  21511
  Copyright terms: Public domain W3C validator