Theorem ordtcld3 23084

Description: A closed interval [𝐴, 𝐵] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ordttopon.3	⊢ 𝑋 = dom 𝑅

Assertion

Ref	Expression
ordtcld3	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inrab 4267	. 2 ⊢ ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵}) = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵)}
2		ordttopon.3	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = dom 𝑅
3	2	ordtcld2 23083	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
4	3	3adant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
5	2	ordtcld1 23082	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
6		incld 22928	. . 3 ⊢ (({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ∧ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
7	4, 5, 6	3imp3i2an 1346	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ({𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ 𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
8	1, 7	eqeltrrid 2833	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3394   ∩ cin 3902   class class class wbr 5092  dom cdm 5619  ‘cfv 6482  ordTopcordt 17403  Clsdccld 22901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-om 7800  df-1o 8388  df-2o 8389  df-en 8873  df-fin 8876  df-fi 9301  df-topgen 17347  df-ordt 17405  df-top 22779  df-topon 22796  df-bases 22831  df-cld 22904

This theorem is referenced by:  iccordt  23099  ordtt1  23264