MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld3 21806
Description: A closed interval [𝐴, 𝐵] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld3
StepHypRef Expression
1 inrab 4274 . 2 ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) = {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)}
2 ordttopon.3 . . . . 5 𝑋 = dom 𝑅
32ordtcld2 21805 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐴𝑋) → {𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
433adant3 1128 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
52ordtcld1 21804 . . 3 ((𝑅𝑉𝐵𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
6 incld 21650 . . 3 (({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ∧ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))) → ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
74, 5, 63imp3i2an 1341 . 2 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
81, 7eqeltrrid 2918 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110  {crab 3142  cin 3934   class class class wbr 5065  dom cdm 5554  cfv 6354  ordTopcordt 16771  Clsdccld 21623
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-fin 8512  df-fi 8874  df-topgen 16716  df-ordt 16773  df-top 21501  df-topon 21518  df-bases 21553  df-cld 21626
This theorem is referenced by:  iccordt  21821  ordtt1  21986
  Copyright terms: Public domain W3C validator