MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld3 21224
Description: A closed interval [𝐴, 𝐵] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝑥,𝑉   𝑥,𝑋

Proof of Theorem ordtcld3
StepHypRef Expression
1 inrab 4047 . 2 ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) = {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)}
2 ordttopon.3 . . . . 5 𝑋 = dom 𝑅
32ordtcld2 21223 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐴𝑋) → {𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
433adant3 1126 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
52ordtcld1 21222 . . . 4 ((𝑅𝑉𝐵𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
653adant2 1125 . . 3 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
7 incld 21068 . . 3 (({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ∧ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))) → ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
84, 6, 7syl2anc 573 . 2 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → ({𝑥𝑋𝐴𝑅𝑥} ∩ {𝑥𝑋𝑥𝑅𝐵}) ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
91, 8syl5eqelr 2855 1 ((𝑅𝑉𝐴𝑋𝐵𝑋) → {𝑥𝑋 ∣ (𝐴𝑅𝑥𝑥𝑅𝐵)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  cin 3722   class class class wbr 4786  dom cdm 5249  cfv 6031  ordTopcordt 16367  Clsdccld 21041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-oadd 7717  df-er 7896  df-en 8110  df-fin 8113  df-fi 8473  df-topgen 16312  df-ordt 16369  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971  df-cld 21044
This theorem is referenced by:  iccordt  21239  ordtt1  21404
  Copyright terms: Public domain W3C validator