MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtcld3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtcld3 22602
Description: A closed interval [𝐴, 𝐡] is closed. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ordttopon.3 𝑋 = dom 𝑅
Assertion
Ref Expression
ordtcld3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅π‘₯ ∧ π‘₯𝑅𝐡)} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝑅   π‘₯,𝑉   π‘₯,𝑋

Proof of Theorem ordtcld3
StepHypRef Expression
1 inrab 4286 . 2 ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅π‘₯} ∩ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ π‘₯𝑅𝐡}) = {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅π‘₯ ∧ π‘₯𝑅𝐡)}
2 ordttopon.3 . . . . 5 𝑋 = dom 𝑅
32ordtcld2 22601 . . . 4 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
433adant3 1132 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
52ordtcld1 22600 . . 3 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ π‘₯𝑅𝐡} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
6 incld 22446 . . 3 (({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)) ∧ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ π‘₯𝑅𝐡} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…))) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅π‘₯} ∩ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ π‘₯𝑅𝐡}) ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
74, 5, 63imp3i2an 1345 . 2 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ ({π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ 𝐴𝑅π‘₯} ∩ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ π‘₯𝑅𝐡}) ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
81, 7eqeltrrid 2837 1 ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ {π‘₯ ∈ 𝑋 ∣ (𝐴𝑅π‘₯ ∧ π‘₯𝑅𝐡)} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {crab 3418   ∩ cin 3927   class class class wbr 5125  dom cdm 5653  β€˜cfv 6516  ordTopcordt 17410  Clsdccld 22419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-pss 3947  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-int 4928  df-iun 4976  df-iin 4977  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-tr 5243  df-id 5551  df-eprel 5557  df-po 5565  df-so 5566  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-ord 6340  df-on 6341  df-lim 6342  df-suc 6343  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-om 7823  df-1o 8432  df-er 8670  df-en 8906  df-fin 8909  df-fi 9371  df-topgen 17354  df-ordt 17412  df-top 22295  df-topon 22312  df-bases 22348  df-cld 22422
This theorem is referenced by:  iccordt  22617  ordtt1  22782
  Copyright terms: Public domain W3C validator