Theorem ordtt1 23242

Description: The order topology is T₁ for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtt1	⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Proof of Theorem ordtt1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordttop 23063	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
2		snssi 4768	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
4		sseqin2 4182	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥} ⊆ dom 𝑅 ↔ (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
5	3, 4	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
6		velsn 4601	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ 𝑦 = 𝑥)
7		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
8	7	psref 18509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
10	9, 9	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑥))
11		breq2 5106	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑥))
12		breq1 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑥))
13	11, 12	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑥)))
14	10, 13	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
15		psasym 18511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
16	15	equcomd 2019	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
17	16	3expib 1122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
19	14, 18	impbid 212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
20	6, 19	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
21	20	rabbi2dva 4185	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)})
22	5, 21	eqtr3d 2766	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)})
23	7	ordtcld3 23062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
24	23	3anidm23 1423	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
25	22, 24	eqeltrd 2828	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
26	25	ralrimiva 3125	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
27	7	ordttopon 23056	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
28		toponuni 22777	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → dom 𝑅 = ∪ (ordTop‘𝑅))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → dom 𝑅 = ∪ (ordTop‘𝑅))
30	26, 29	raleqtrdv 3298	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
31		eqid 2729	. . 3 ⊢ ∪ (ordTop‘𝑅) = ∪ (ordTop‘𝑅)
32	31	ist1 23184	. 2 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ Fre ↔ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
33	1, 30, 32	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  {crab 3402   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911  {csn 4585  ∪ cuni 4867   class class class wbr 5102  dom cdm 5631  ‘cfv 6499  ordTopcordt 17438  PosetRelcps 18499  Topctop 22756  TopOnctopon 22773  Clsdccld 22879  Frect1 23170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-om 7823  df-1o 8411  df-2o 8412  df-en 8896  df-fin 8899  df-fi 9338  df-topgen 17382  df-ordt 17440  df-ps 18501  df-top 22757  df-topon 22774  df-bases 22809  df-cld 22882  df-t1 23177

This theorem is referenced by: (None)