Theorem ordtt1 23344

Description: The order topology is T₁ for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtt1	⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Proof of Theorem ordtt1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordttop 23165	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
2		snssi 4729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
4		sseqin2 4163	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥} ⊆ dom 𝑅 ↔ (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
5	3, 4	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
6		velsn 4583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ 𝑦 = 𝑥)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
8	7	psref 18540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
10	9, 9	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑥))
11		breq2 5089	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑥))
12		breq1 5088	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑥))
13	11, 12	anbi12d 633	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑥)))
14	10, 13	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
15		psasym 18542	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
16	15	equcomd 2021	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
17	16	3expib 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
18	17	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
19	14, 18	impbid 212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
20	6, 19	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
21	20	rabbi2dva 4166	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)})
22	5, 21	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)})
23	7	ordtcld3 23164	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
24	23	3anidm23 1424	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
25	22, 24	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
26	25	ralrimiva 3129	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
27	7	ordttopon 23158	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
28		toponuni 22879	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → dom 𝑅 = ∪ (ordTop‘𝑅))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → dom 𝑅 = ∪ (ordTop‘𝑅))
30	26, 29	raleqtrdv 3297	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
31		eqid 2736	. . 3 ⊢ ∪ (ordTop‘𝑅) = ∪ (ordTop‘𝑅)
32	31	ist1 23286	. 2 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ Fre ↔ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
33	1, 30, 32	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  {crab 3389   ∩ cin 3888   ⊆ wss 3889  {csn 4567  ∪ cuni 4850   class class class wbr 5085  dom cdm 5631  ‘cfv 6498  ordTopcordt 17463  PosetRelcps 18530  Topctop 22858  TopOnctopon 22875  Clsdccld 22981  Frect1 23272

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-om 7818  df-1o 8405  df-2o 8406  df-en 8894  df-fin 8897  df-fi 9324  df-topgen 17406  df-ordt 17465  df-ps 18532  df-top 22859  df-topon 22876  df-bases 22911  df-cld 22984  df-t1 23279

This theorem is referenced by: (None)