Theorem ordtt1 23403

Description: The order topology is T₁ for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtt1	⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Proof of Theorem ordtt1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordttop 23224	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
2		snssi 4813	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
3	2	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
4		sseqin2 4231	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥} ⊆ dom 𝑅 ↔ (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
5	3, 4	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
6		velsn 4647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ 𝑦 = 𝑥)
7		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
8	7	psref 18632	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
9	8	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
10	9, 9	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑥))
11		breq2 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑥))
12		breq1 5151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑥))
13	11, 12	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑥)))
14	10, 13	syl5ibrcom 247	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
15		psasym 18634	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
16	15	equcomd 2016	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
17	16	3expib 1121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
18	17	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
19	14, 18	impbid 212	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
20	6, 19	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
21	20	rabbi2dva 4234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)})
22	5, 21	eqtr3d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)})
23	7	ordtcld3 23223	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
24	23	3anidm23 1420	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
25	22, 24	eqeltrd 2839	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
26	25	ralrimiva 3144	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
27	7	ordttopon 23217	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
28		toponuni 22936	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → dom 𝑅 = ∪ (ordTop‘𝑅))
29	27, 28	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → dom 𝑅 = ∪ (ordTop‘𝑅))
30	26, 29	raleqtrdv 3326	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
31		eqid 2735	. . 3 ⊢ ∪ (ordTop‘𝑅) = ∪ (ordTop‘𝑅)
32	31	ist1 23345	. 2 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ Fre ↔ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
33	1, 30, 32	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ∀wral 3059  {crab 3433   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  {csn 4631  ∪ cuni 4912   class class class wbr 5148  dom cdm 5689  ‘cfv 6563  ordTopcordt 17546  PosetRelcps 18622  Topctop 22915  TopOnctopon 22932  Clsdccld 23040  Frect1 23331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-om 7888  df-1o 8505  df-2o 8506  df-en 8985  df-fin 8988  df-fi 9449  df-topgen 17490  df-ordt 17548  df-ps 18624  df-top 22916  df-topon 22933  df-bases 22969  df-cld 23043  df-t1 23338

This theorem is referenced by: (None)