MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtt1 21988
Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 21809 . 2 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
2 snssi 4704 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝑅 → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
32adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
4 sseqin2 4145 . . . . . . 7 ({𝑥} ⊆ dom 𝑅 ↔ (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
53, 4sylib 221 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
6 velsn 4544 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ 𝑦 = 𝑥)
7 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝑅 = dom 𝑅
87psref 17814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
98adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
109, 9jca 515 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥))
11 breq2 5037 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅𝑥))
12 breq1 5036 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥))
1311, 12anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥)))
1410, 13syl5ibrcom 250 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
15 psasym 17816 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
1615equcomd 2026 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
17163expib 1119 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ PosetRel → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
1914, 18impbid 215 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
206, 19syl5bb 286 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
2120rabbi2dva 4147 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)})
225, 21eqtr3d 2838 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)})
237ordtcld3 21808 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
24233anidm23 1418 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
2522, 24eqeltrd 2893 . . . 4 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
2625ralrimiva 3152 . . 3 (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
277ordttopon 21802 . . . . 5 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
28 toponuni 21523 . . . . 5 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → dom 𝑅 = (ordTop‘𝑅))
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ PosetRel → dom 𝑅 = (ordTop‘𝑅))
3029raleqdv 3367 . . 3 (𝑅 ∈ PosetRel → (∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
3126, 30mpbid 235 . 2 (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
32 eqid 2801 . . 3 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
3332ist1 21930 . 2 ((ordTop‘𝑅) ∈ Fre ↔ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
341, 31, 33sylanbrc 586 1 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  {crab 3113  cin 3883  wss 3884  {csn 4528   cuni 4803   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  cfv 6328  ordTopcordt 16768  PosetRelcps 17804  Topctop 21502  TopOnctopon 21519  Clsdccld 21625  Frect1 21916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-fin 8500  df-fi 8863  df-topgen 16713  df-ordt 16770  df-ps 17806  df-top 21503  df-topon 21520  df-bases 21555  df-cld 21628  df-t1 21923
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator