MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtt1 23103
Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Fre)

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 22924 . 2 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top)
2 snssi 4811 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ dom 𝑅 β†’ {π‘₯} βŠ† dom 𝑅)
32adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ {π‘₯} βŠ† dom 𝑅)
4 sseqin2 4215 . . . . . . 7 ({π‘₯} βŠ† dom 𝑅 ↔ (dom 𝑅 ∩ {π‘₯}) = {π‘₯})
53, 4sylib 217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ (dom 𝑅 ∩ {π‘₯}) = {π‘₯})
6 velsn 4644 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {π‘₯} ↔ 𝑦 = π‘₯)
7 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝑅 = dom 𝑅
87psref 18531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ π‘₯𝑅π‘₯)
98adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ π‘₯𝑅π‘₯)
109, 9jca 512 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (π‘₯𝑅π‘₯ ∧ π‘₯𝑅π‘₯))
11 breq2 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘₯𝑅𝑦 ↔ π‘₯𝑅π‘₯))
12 breq1 5151 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦𝑅π‘₯ ↔ π‘₯𝑅π‘₯))
1311, 12anbi12d 631 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯) ↔ (π‘₯𝑅π‘₯ ∧ π‘₯𝑅π‘₯)))
1410, 13syl5ibrcom 246 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (𝑦 = π‘₯ β†’ (π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯)))
15 psasym 18533 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯) β†’ π‘₯ = 𝑦)
1615equcomd 2022 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯)
17163expib 1122 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ ((π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯))
1817ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ ((π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯) β†’ 𝑦 = π‘₯))
1914, 18impbid 211 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (𝑦 = π‘₯ ↔ (π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯)))
206, 19bitrid 282 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) β†’ (𝑦 ∈ {π‘₯} ↔ (π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯)))
2120rabbi2dva 4217 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ (dom 𝑅 ∩ {π‘₯}) = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯)})
225, 21eqtr3d 2774 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ {π‘₯} = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯)})
237ordtcld3 22923 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅 ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯)} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
24233anidm23 1421 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (π‘₯𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅π‘₯)} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
2522, 24eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ π‘₯ ∈ dom 𝑅) β†’ {π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
2625ralrimiva 3146 . . 3 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝑅{π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
277ordttopon 22917 . . . . 5 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜dom 𝑅))
28 toponuni 22636 . . . . 5 ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ (TopOnβ€˜dom 𝑅) β†’ dom 𝑅 = βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…))
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ dom 𝑅 = βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…))
3029raleqdv 3325 . . 3 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ dom 𝑅{π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…){π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…))))
3126, 30mpbid 231 . 2 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…){π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…)))
32 eqid 2732 . . 3 βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…) = βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…)
3332ist1 23045 . 2 ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Fre ↔ ((ordTopβ€˜π‘…) ∈ Top ∧ βˆ€π‘₯ ∈ βˆͺ (ordTopβ€˜π‘…){π‘₯} ∈ (Clsdβ€˜(ordTopβ€˜π‘…))))
341, 31, 33sylanbrc 583 1 (𝑅 ∈ PosetRel β†’ (ordTopβ€˜π‘…) ∈ Fre)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  {crab 3432   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  β€˜cfv 6543  ordTopcordt 17449  PosetRelcps 18521  Topctop 22615  TopOnctopon 22632  Clsdccld 22740  Frect1 23031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-om 7858  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-fin 8945  df-fi 9408  df-topgen 17393  df-ordt 17451  df-ps 18523  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cld 22743  df-t1 23038
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator