Theorem ordtt1 23536

Description: The order topology is T₁ for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtt1	⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Proof of Theorem ordtt1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordttop 23357	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
2		snssi 4751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
3	2	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
4		sseqin2 4176	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥} ⊆ dom 𝑅 ↔ (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
5	3, 4	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
6		velsn 4605	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ 𝑦 = 𝑥)
7		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
8	7	psref 18625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
9	8	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
10	9, 9	jca 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑥))
11		breq2 5113	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑥))
12		breq1 5112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑥))
13	11, 12	anbi12d 643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑥)))
14	10, 13	syl5ibrcom 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
15		psasym 18627	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
16	15	equcomd 2049	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
17	16	3expib 1140	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
18	17	ad2antrr 738	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
19	14, 18	impbid 215	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
20	6, 19	bitrid 286	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
21	20	rabbi2dva 4178	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)})
22	5, 21	eqtr3d 2800	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)})
23	7	ordtcld3 23356	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
24	23	3anidm23 1448	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
25	22, 24	eqeltrd 2863	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
26	25	ralrimiva 3157	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
27	7	ordttopon 23350	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
28		toponuni 23071	. . . 4 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → dom 𝑅 = ∪ (ordTop‘𝑅))
29	27, 28	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → dom 𝑅 = ∪ (ordTop‘𝑅))
30	26, 29	raleqtrdv 3325	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
31		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∪ (ordTop‘𝑅) = ∪ (ordTop‘𝑅)
32	31	ist1 23478	. 2 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ Fre ↔ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
33	1, 30, 32	sylanbrc 594	1 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  {crab 3416   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ∪ cuni 4872   class class class wbr 5109  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  ordTopcordt 17548  PosetRelcps 18615  Topctop 23050  TopOnctopon 23067  Clsdccld 23173  Frect1 23464

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-om 7859  df-1o 8449  df-2o 8450  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9367  df-topgen 17491  df-ordt 17550  df-ps 18617  df-top 23051  df-topon 23068  df-bases 23103  df-cld 23176  df-t1 23471

This theorem is referenced by: (None)