Theorem ordtt1 22883

Description: The order topology is T₁ for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ordtt1	⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Proof of Theorem ordtt1

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ordttop 22704	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
2		snssi 4812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ dom 𝑅 → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
3	2	adantl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
4		sseqin2 4216	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥} ⊆ dom 𝑅 ↔ (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
5	3, 4	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
6		velsn 4645	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ 𝑦 = 𝑥)
7		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom 𝑅 = dom 𝑅
8	7	psref 18527	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
9	8	adantr 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
10	9, 9	jca 513	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑥))
11		breq2 5153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑥𝑅𝑥))
12		breq1 5152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑥))
13	11, 12	anbi12d 632	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑥 ∧ 𝑥𝑅𝑥)))
14	10, 13	syl5ibrcom 246	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
15		psasym 18529	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
16	15	equcomd 2023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
17	16	3expib 1123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
18	17	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → ((𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
19	14, 18	impbid 211	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
20	6, 19	bitrid 283	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)))
21	20	rabbi2dva 4218	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)})
22	5, 21	eqtr3d 2775	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)})
23	7	ordtcld3 22703	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
24	23	3anidm23 1422	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦 ∧ 𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
25	22, 24	eqeltrd 2834	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
26	25	ralrimiva 3147	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
27	7	ordttopon 22697	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
28		toponuni 22416	. . . . 5 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → dom 𝑅 = ∪ (ordTop‘𝑅))
29	27, 28	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → dom 𝑅 = ∪ (ordTop‘𝑅))
30	29	raleqdv 3326	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
31	26, 30	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
32		eqid 2733	. . 3 ⊢ ∪ (ordTop‘𝑅) = ∪ (ordTop‘𝑅)
33	32	ist1 22825	. 2 ⊢ ((ordTop‘𝑅) ∈ Fre ↔ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ ∀𝑥 ∈ ∪ (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
34	1, 31, 33	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  {crab 3433   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  {csn 4629  ∪ cuni 4909   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  ‘cfv 6544  ordTopcordt 17445  PosetRelcps 18517  Topctop 22395  TopOnctopon 22412  Clsdccld 22520  Frect1 22811

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-om 7856  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-fin 8943  df-fi 9406  df-topgen 17389  df-ordt 17447  df-ps 18519  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449  df-cld 22523  df-t1 22818

This theorem is referenced by: (None)