Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ordtt1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ordtt1 21988
 Description: The order topology is T1 for any poset. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ordtt1 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)

Proof of Theorem ordtt1
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ordttop 21809 . 2 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Top)
2 snssi 4704 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ dom 𝑅 → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
32adantl 485 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ⊆ dom 𝑅)
4 sseqin2 4145 . . . . . . 7 ({𝑥} ⊆ dom 𝑅 ↔ (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
53, 4sylib 221 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑥})
6 velsn 4544 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ 𝑦 = 𝑥)
7 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝑅 = dom 𝑅
87psref 17814 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
98adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → 𝑥𝑅𝑥)
109, 9jca 515 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑥𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥))
11 breq2 5037 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦𝑥𝑅𝑥))
12 breq1 5036 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥))
1311, 12anbi12d 633 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) ↔ (𝑥𝑅𝑥𝑥𝑅𝑥)))
1410, 13syl5ibrcom 250 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
15 psasym 17816 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑥 = 𝑦)
1615equcomd 2026 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥)
17163expib 1119 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ PosetRel → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
1817ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → ((𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥) → 𝑦 = 𝑥))
1914, 18impbid 215 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 = 𝑥 ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
206, 19syl5bb 286 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝑅) → (𝑦 ∈ {𝑥} ↔ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)))
2120rabbi2dva 4147 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → (dom 𝑅 ∩ {𝑥}) = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)})
225, 21eqtr3d 2838 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} = {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)})
237ordtcld3 21808 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
24233anidm23 1418 . . . . 5 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑦 ∈ dom 𝑅 ∣ (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
2522, 24eqeltrd 2893 . . . 4 ((𝑅 ∈ PosetRel ∧ 𝑥 ∈ dom 𝑅) → {𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
2625ralrimiva 3152 . . 3 (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
277ordttopon 21802 . . . . 5 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅))
28 toponuni 21523 . . . . 5 ((ordTop‘𝑅) ∈ (TopOn‘dom 𝑅) → dom 𝑅 = (ordTop‘𝑅))
2927, 28syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ PosetRel → dom 𝑅 = (ordTop‘𝑅))
3029raleqdv 3367 . . 3 (𝑅 ∈ PosetRel → (∀𝑥 ∈ dom 𝑅{𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)) ↔ ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
3126, 30mpbid 235 . 2 (𝑅 ∈ PosetRel → ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅)))
32 eqid 2801 . . 3 (ordTop‘𝑅) = (ordTop‘𝑅)
3332ist1 21930 . 2 ((ordTop‘𝑅) ∈ Fre ↔ ((ordTop‘𝑅) ∈ Top ∧ ∀𝑥 (ordTop‘𝑅){𝑥} ∈ (Clsd‘(ordTop‘𝑅))))
341, 31, 33sylanbrc 586 1 (𝑅 ∈ PosetRel → (ordTop‘𝑅) ∈ Fre)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  {crab 3113   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  {csn 4528  ∪ cuni 4803   class class class wbr 5033  dom cdm 5523  ‘cfv 6328  ordTopcordt 16768  PosetRelcps 17804  Topctop 21502  TopOnctopon 21519  Clsdccld 21625  Frect1 21916 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-fin 8500  df-fi 8863  df-topgen 16713  df-ordt 16770  df-ps 17806  df-top 21503  df-topon 21520  df-bases 21555  df-cld 21628  df-t1 21923 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator