Theorem peano2ons 28298

Description: The successor of a surreal ordinal is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 22-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
peano2ons	⊢ (𝐴 ∈ Ons → (𝐴 +s 1s ) ∈ Ons)

Proof of Theorem peano2ons

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ons 28290	. 2 ⊢ 1s ∈ Ons
2		onaddscl 28296	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 1s ∈ Ons) → (𝐴 +s 1s ) ∈ Ons)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (𝐴 +s 1s ) ∈ Ons)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7443   1_s c1s 27878   +_s cadds 28002  On_scons 28284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7764

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-ot 4657  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5650  df-se 5651  df-we 5652  df-xp 5701  df-rel 5702  df-cnv 5703  df-co 5704  df-dm 5705  df-rn 5706  df-res 5707  df-ima 5708  df-pred 6327  df-ord 6393  df-on 6394  df-suc 6396  df-iota 6520  df-fun 6570  df-fn 6571  df-f 6572  df-f1 6573  df-fo 6574  df-f1o 6575  df-fv 6576  df-riota 7399  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-1st 8024  df-2nd 8025  df-frecs 8316  df-wrecs 8347  df-recs 8421  df-1o 8516  df-2o 8517  df-nadd 8716  df-no 27697  df-slt 27698  df-bday 27699  df-sle 27800  df-sslt 27836  df-scut 27838  df-0s 27879  df-1s 27880  df-made 27896  df-old 27897  df-left 27899  df-right 27900  df-norec2 27992  df-adds 28003  df-ons 28285

This theorem is referenced by: (None)