Theorem peano2ons 28278

Description: The successor of a surreal ordinal is a surreal ordinal. (Contributed by Scott Fenton, 22-Aug-2025.)

Assertion

Ref	Expression
peano2ons	⊢ (𝐴 ∈ Ons → (𝐴 +s 1s ) ∈ Ons)

Proof of Theorem peano2ons

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ons 28270	. 2 ⊢ 1s ∈ Ons
2		onaddscl 28276	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Ons ∧ 1s ∈ Ons) → (𝐴 +s 1s ) ∈ Ons)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ Ons → (𝐴 +s 1s ) ∈ Ons)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7429   1_s c1s 27858   +_s cadds 27982  On_scons 28264

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4906  df-int 4945  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-1o 8502  df-2o 8503  df-nadd 8700  df-no 27677  df-slt 27678  df-bday 27679  df-sle 27780  df-sslt 27816  df-scut 27818  df-0s 27859  df-1s 27860  df-made 27876  df-old 27877  df-left 27879  df-right 27880  df-norec2 27972  df-adds 27983  df-ons 28265

This theorem is referenced by: (None)