Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem70 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem70 44879
Description: A piecewise continuous function is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem70.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
fourierdlem70.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
fourierdlem70.aleb (πœ‘ β†’ 𝐴 ≀ 𝐡)
fourierdlem70.f (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
fourierdlem70.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
fourierdlem70.q (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
fourierdlem70.q0 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
fourierdlem70.qm (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
fourierdlem70.qlt ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
fourierdlem70.fcn ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
fourierdlem70.r ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
fourierdlem70.l ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
fourierdlem70.i 𝐼 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
Assertion
Ref Expression
fourierdlem70 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ π‘₯)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑖   𝐡,𝑖   𝑖,𝐹,𝑠   π‘₯,𝐹,𝑠   𝑖,𝐼,𝑠   π‘₯,𝐼   𝐿,𝑠   𝑖,𝑀,𝑠   𝑄,𝑖,𝑠   π‘₯,𝑄   𝑅,𝑠   πœ‘,𝑖,𝑠   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,𝑠)   𝐡(π‘₯,𝑠)   𝑅(π‘₯,𝑖)   𝐿(π‘₯,𝑖)   𝑀(π‘₯)

Proof of Theorem fourierdlem70
Dummy variables 𝑑 𝑣 𝑦 𝑀 𝑏 𝑧 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prfi 9319 . . 3 {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼} ∈ Fin
21a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼} ∈ Fin)
3 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) β†’ 𝑠 ∈ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼})
4 fourierdlem70.q . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
5 ovex 7439 . . . . . . . . . . 11 (0...𝑀) ∈ V
6 fex 7225 . . . . . . . . . . 11 ((𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„ ∧ (0...𝑀) ∈ V) β†’ 𝑄 ∈ V)
74, 5, 6sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ V)
8 rnexg 7892 . . . . . . . . . 10 (𝑄 ∈ V β†’ ran 𝑄 ∈ V)
97, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝑄 ∈ V)
10 fzofi 13936 . . . . . . . . . . . 12 (0..^𝑀) ∈ Fin
11 fourierdlem70.i . . . . . . . . . . . . 13 𝐼 = (𝑖 ∈ (0..^𝑀) ↦ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
1211rnmptfi 43853 . . . . . . . . . . . 12 ((0..^𝑀) ∈ Fin β†’ ran 𝐼 ∈ Fin)
1310, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11 ran 𝐼 ∈ Fin
1413elexi 3494 . . . . . . . . . 10 ran 𝐼 ∈ V
1514uniex 7728 . . . . . . . . 9 βˆͺ ran 𝐼 ∈ V
16 uniprg 4925 . . . . . . . . 9 ((ran 𝑄 ∈ V ∧ βˆͺ ran 𝐼 ∈ V) β†’ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼} = (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
179, 15, 16sylancl 587 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼} = (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) β†’ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼} = (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
193, 18eleqtrd 2836 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) β†’ 𝑠 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
20 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ β„• ↦ {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑦)) ∣ (((π‘£β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘£β€˜π‘¦) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑦)(π‘£β€˜π‘–) < (π‘£β€˜(𝑖 + 1)))}) = (𝑦 ∈ β„• ↦ {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑦)) ∣ (((π‘£β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘£β€˜π‘¦) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑦)(π‘£β€˜π‘–) < (π‘£β€˜(𝑖 + 1)))})
21 fourierdlem70.m . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„•)
22 reex 11198 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
2322, 5elmap 8862 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ↔ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
244, 23sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)))
25 fourierdlem70.q0 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜0) = 𝐴)
26 fourierdlem70.qm . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡)
2725, 26jca 513 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡))
28 fourierdlem70.qlt . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
2928ralrimiva 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
3024, 27, 29jca32 517 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
3120fourierdlem2 44812 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„• β†’ (𝑄 ∈ ((𝑦 ∈ β„• ↦ {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑦)) ∣ (((π‘£β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘£β€˜π‘¦) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑦)(π‘£β€˜π‘–) < (π‘£β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
3221, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑄 ∈ ((𝑦 ∈ β„• ↦ {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑦)) ∣ (((π‘£β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘£β€˜π‘¦) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑦)(π‘£β€˜π‘–) < (π‘£β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘€) ↔ (𝑄 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑀)) ∧ (((π‘„β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘„β€˜π‘€) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑀)(π‘„β€˜π‘–) < (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))))
3330, 32mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ ((𝑦 ∈ β„• ↦ {𝑣 ∈ (ℝ ↑m (0...𝑦)) ∣ (((π‘£β€˜0) = 𝐴 ∧ (π‘£β€˜π‘¦) = 𝐡) ∧ βˆ€π‘– ∈ (0..^𝑦)(π‘£β€˜π‘–) < (π‘£β€˜(𝑖 + 1)))})β€˜π‘€))
3420, 21, 33fourierdlem15 44825 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
3534frnd 6723 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ran 𝑄 βŠ† (𝐴[,]𝐡))
3635sselda 3982 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
3736adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼)) ∧ 𝑠 ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
38 simpll 766 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑠 ∈ ran 𝑄) β†’ πœ‘)
39 elunnel1 4149 . . . . . . . . 9 ((𝑠 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼) ∧ Β¬ 𝑠 ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼)
4039adantll 713 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑠 ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼)
41 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼)
4211funmpt2 6585 . . . . . . . . . . 11 Fun 𝐼
43 elunirn 7247 . . . . . . . . . . 11 (Fun 𝐼 β†’ (𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 𝑠 ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
4442, 43mp1i 13 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 𝑠 ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
4541, 44mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 𝑠 ∈ (πΌβ€˜π‘–))
46 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑖 ∈ dom 𝐼 β†’ 𝑖 ∈ dom 𝐼)
47 ovex 7439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ V
4847, 11dmmpti 6692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 dom 𝐼 = (0..^𝑀)
4946, 48eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ dom 𝐼 β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
5011fvmpt2 7007 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) ∈ V) β†’ (πΌβ€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
5149, 47, 50sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ dom 𝐼 β†’ (πΌβ€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
53 ioossicc 13407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1)))
54 fourierdlem70.a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
5554rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
5655adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
57 fourierdlem70.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5857rexrd 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
5958adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝐡 ∈ ℝ*)
6034adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑄:(0...𝑀)⟢(𝐴[,]𝐡))
6149adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ (0..^𝑀))
6256, 59, 60, 61fourierdlem8 44818 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)[,](π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
6353, 62sstrid 3993 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
6452, 63eqsstrd 4020 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼) β†’ (πΌβ€˜π‘–) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
65643adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑠 ∈ (πΌβ€˜π‘–)) β†’ (πΌβ€˜π‘–) βŠ† (𝐴[,]𝐡))
66 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑠 ∈ (πΌβ€˜π‘–)) β†’ 𝑠 ∈ (πΌβ€˜π‘–))
6765, 66sseldd 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ dom 𝐼 ∧ 𝑠 ∈ (πΌβ€˜π‘–)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
68673exp 1120 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ dom 𝐼 β†’ (𝑠 ∈ (πΌβ€˜π‘–) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))))
6968adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (𝑖 ∈ dom 𝐼 β†’ (𝑠 ∈ (πΌβ€˜π‘–) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))))
7069rexlimdv 3154 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 𝑠 ∈ (πΌβ€˜π‘–) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)))
7145, 70mpd 15 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
7238, 40, 71syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑠 ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
7337, 72pm2.61dan 812 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼)) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
7419, 73syldan 592 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
75 fourierdlem70.f . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
7675ffvelcdmda 7084 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
7774, 76syldan 592 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
7877recnd 11239 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
7978abscld 15380 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
80 simpr 486 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ 𝑀 = ran 𝑄)
814adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
82 fzfid 13935 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ (0...𝑀) ∈ Fin)
83 rnffi 43857 . . . . . . 7 ((𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„ ∧ (0...𝑀) ∈ Fin) β†’ ran 𝑄 ∈ Fin)
8481, 82, 83syl2anc 585 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ ran 𝑄 ∈ Fin)
8580, 84eqeltrd 2834 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
8685adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) ∧ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ 𝑀 ∈ Fin)
8775ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) ∧ 𝑠 ∈ 𝑀) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„)
88 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) ∧ 𝑠 ∈ 𝑀) β†’ πœ‘)
89 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = ran 𝑄 ∧ 𝑠 ∈ 𝑀) β†’ 𝑠 ∈ 𝑀)
90 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 = ran 𝑄 ∧ 𝑠 ∈ 𝑀) β†’ 𝑀 = ran 𝑄)
9189, 90eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 = ran 𝑄 ∧ 𝑠 ∈ 𝑀) β†’ 𝑠 ∈ ran 𝑄)
9291adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) ∧ 𝑠 ∈ 𝑀) β†’ 𝑠 ∈ ran 𝑄)
9388, 92, 36syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) ∧ 𝑠 ∈ 𝑀) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
9487, 93ffvelcdmd 7085 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) ∧ 𝑠 ∈ 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ ℝ)
9594recnd 11239 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) ∧ 𝑠 ∈ 𝑀) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
9695abscld 15380 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) ∧ 𝑠 ∈ 𝑀) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
9796ralrimiva 3147 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
9897adantlr 714 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) ∧ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
99 fimaxre3 12157 . . . 4 ((𝑀 ∈ Fin ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑧)
10086, 98, 99syl2anc 585 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) ∧ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑧)
101 simpll 766 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) ∧ Β¬ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ πœ‘)
102 neqne 2949 . . . . . 6 (Β¬ 𝑀 = ran 𝑄 β†’ 𝑀 β‰  ran 𝑄)
103 elprn1 44336 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼} ∧ 𝑀 β‰  ran 𝑄) β†’ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼)
104102, 103sylan2 594 . . . . 5 ((𝑀 ∈ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼} ∧ Β¬ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼)
105104adantll 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) ∧ Β¬ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼)
10610, 12mp1i 13 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) β†’ ran 𝐼 ∈ Fin)
107 ax-resscn 11164 . . . . . . . . . 10 ℝ βŠ† β„‚
108107a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
10975, 108fssd 6733 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
110109ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ 𝐹:(𝐴[,]𝐡)βŸΆβ„‚)
11171adantlr 714 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ 𝑠 ∈ (𝐴[,]𝐡))
112110, 111ffvelcdmd 7085 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘ ) ∈ β„‚)
113112abscld 15380 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) ∧ 𝑠 ∈ βˆͺ ran 𝐼) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ∈ ℝ)
11447, 11fnmpti 6691 . . . . . . . . . 10 𝐼 Fn (0..^𝑀)
115 fvelrnb 6950 . . . . . . . . . 10 (𝐼 Fn (0..^𝑀) β†’ (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)(πΌβ€˜π‘–) = 𝑑))
116114, 115ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (𝑑 ∈ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)(πΌβ€˜π‘–) = 𝑑)
117116biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑑 ∈ ran 𝐼 β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)(πΌβ€˜π‘–) = 𝑑)
118117adantl 483 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)(πΌβ€˜π‘–) = 𝑑)
1194adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
120 elfzofz 13645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
121120adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑖 ∈ (0...𝑀))
122119, 121ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜π‘–) ∈ ℝ)
123 fzofzp1 13726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
124123adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝑖 + 1) ∈ (0...𝑀))
125119, 124ffvelcdmd 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (π‘„β€˜(𝑖 + 1)) ∈ ℝ)
126 fourierdlem70.fcn . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) ∈ (((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))–cnβ†’β„‚))
127 fourierdlem70.l . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝐿 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
128 fourierdlem70.r . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ 𝑅 ∈ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) limβ„‚ (π‘„β€˜π‘–)))
129122, 125, 126, 127, 128cncfioobd 44600 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
130 fvres 6908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘ ))
131130fveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ (absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ )) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )))
132131breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) β†’ ((absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
133132adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) ∧ 𝑠 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))) β†’ ((absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
134133ralbidva 3176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
135134rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜((𝐹 β†Ύ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))β€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
136129, 135mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
1371363adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
13847, 50mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (πΌβ€˜π‘–) = ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
139138eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (πΌβ€˜π‘–))
140139adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = (πΌβ€˜π‘–))
141 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑)
142140, 141eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))) = 𝑑)
143142raleqdv 3326 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ (βˆ€π‘  ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
144143rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
1451443adant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))(absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏 ↔ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
146137, 145mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑀) ∧ (πΌβ€˜π‘–) = 𝑑) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
1471463exp 1120 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πΌβ€˜π‘–) = 𝑑 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏)))
148147adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ ((πΌβ€˜π‘–) = 𝑑 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏)))
149148rexlimdv 3154 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)(πΌβ€˜π‘–) = 𝑑 β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏))
150118, 149mpd 15 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
151150adantlr 714 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) ∧ 𝑑 ∈ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑑 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑏)
152 eqimss 4040 . . . . . 6 (𝑀 = βˆͺ ran 𝐼 β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ ran 𝐼)
153152adantl 483 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) β†’ 𝑀 βŠ† βˆͺ ran 𝐼)
154106, 113, 151, 153ssfiunibd 44006 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑀 = βˆͺ ran 𝐼) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑧)
155101, 105, 154syl2anc 585 . . 3 (((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) ∧ Β¬ 𝑀 = ran 𝑄) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑧)
156100, 155pm2.61dan 812 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑀 ∈ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼}) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ 𝑀 (absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ 𝑧)
15721ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑀 ∈ β„•)
1584ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑄:(0...𝑀)βŸΆβ„)
159 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡))
16025eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐴 = (π‘„β€˜0))
16126eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐡 = (π‘„β€˜π‘€))
162160, 161oveq12d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
163162adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝐴[,]𝐡) = ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
164159, 163eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
165164adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑑 ∈ ((π‘„β€˜0)[,](π‘„β€˜π‘€)))
166 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄) β†’ Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄)
167 fveq2 6889 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = 𝑗 β†’ (π‘„β€˜π‘˜) = (π‘„β€˜π‘—))
168167breq1d 5158 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = 𝑗 β†’ ((π‘„β€˜π‘˜) < 𝑑 ↔ (π‘„β€˜π‘—) < 𝑑))
169168cbvrabv 3443 . . . . . . . . . . . . 13 {π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝑑} = {𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) < 𝑑}
170169supeq1i 9439 . . . . . . . . . . . 12 sup({π‘˜ ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘˜) < 𝑑}, ℝ, < ) = sup({𝑗 ∈ (0..^𝑀) ∣ (π‘„β€˜π‘—) < 𝑑}, ℝ, < )
171157, 158, 165, 166, 170fourierdlem25 44835 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑑 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
172138eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ (0..^𝑀) β†’ (𝑑 ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ 𝑑 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1)))))
173172rexbiia 3093 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑑 ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑑 ∈ ((π‘„β€˜π‘–)(,)(π‘„β€˜(𝑖 + 1))))
174171, 173sylibr 233 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄) β†’ βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑑 ∈ (πΌβ€˜π‘–))
17548eqcomi 2742 . . . . . . . . . . 11 (0..^𝑀) = dom 𝐼
176175rexeqi 3325 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘– ∈ (0..^𝑀)𝑑 ∈ (πΌβ€˜π‘–) ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 𝑑 ∈ (πΌβ€˜π‘–))
177174, 176sylib 217 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄) β†’ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 𝑑 ∈ (πΌβ€˜π‘–))
178 elunirn 7247 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐼 β†’ (𝑑 ∈ βˆͺ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 𝑑 ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
17942, 178mp1i 13 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄) β†’ (𝑑 ∈ βˆͺ ran 𝐼 ↔ βˆƒπ‘– ∈ dom 𝐼 𝑑 ∈ (πΌβ€˜π‘–)))
180177, 179mpbird 257 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) ∧ Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄) β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran 𝐼)
181180ex 414 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (Β¬ 𝑑 ∈ ran 𝑄 β†’ 𝑑 ∈ βˆͺ ran 𝐼))
182181orrd 862 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ (𝑑 ∈ ran 𝑄 ∨ 𝑑 ∈ βˆͺ ran 𝐼))
183 elun 4148 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼) ↔ (𝑑 ∈ ran 𝑄 ∨ 𝑑 ∈ βˆͺ ran 𝐼))
184182, 183sylibr 233 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑑 ∈ (𝐴[,]𝐡)) β†’ 𝑑 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
185184ralrimiva 3147 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑑 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
186 dfss3 3970 . . . 4 ((𝐴[,]𝐡) βŠ† (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼) ↔ βˆ€π‘‘ ∈ (𝐴[,]𝐡)𝑑 ∈ (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
187185, 186sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† (ran 𝑄 βˆͺ βˆͺ ran 𝐼))
188187, 17sseqtrrd 4023 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐴[,]𝐡) βŠ† βˆͺ {ran 𝑄, βˆͺ ran 𝐼})
1892, 79, 156, 188ssfiunibd 44006 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘  ∈ (𝐴[,]𝐡)(absβ€˜(πΉβ€˜π‘ )) ≀ π‘₯)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {crab 3433  Vcvv 3475   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {cpr 4630  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  dom cdm 5676  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678  Fun wfun 6535   Fn wfn 6536  βŸΆwf 6537  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7406   ↑m cmap 8817  Fincfn 8936  supcsup 9432  β„‚cc 11105  β„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  β„*cxr 11244   < clt 11245   ≀ cle 11246  β„•cn 12209  (,)cioo 13321  [,]cicc 13324  ...cfz 13481  ..^cfzo 13624  abscabs 15178  β€“cnβ†’ccncf 24384   limβ„‚ climc 25371
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185  ax-mulf 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-rest 17365  df-topn 17366  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-topgen 17386  df-pt 17387  df-prds 17390  df-xrs 17445  df-qtop 17450  df-imas 17451  df-xps 17453  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-submnd 18669  df-mulg 18946  df-cntz 19176  df-cmn 19645  df-psmet 20929  df-xmet 20930  df-met 20931  df-bl 20932  df-mopn 20933  df-cnfld 20938  df-top 22388  df-topon 22405  df-topsp 22427  df-bases 22441  df-cld 22515  df-ntr 22516  df-cls 22517  df-cn 22723  df-cnp 22724  df-cmp 22883  df-tx 23058  df-hmeo 23251  df-xms 23818  df-ms 23819  df-tms 23820  df-cncf 24386  df-limc 25375
This theorem is referenced by:  fourierdlem103  44912  fourierdlem104  44913
  Copyright terms: Public domain W3C validator